当代数论引论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 在线阅读 2026

内容简介

　　作者是一位训练有素的数学家，长期从事数论方面的研究工作.《当代数论引论》涵盖初等数论的主要内容以及使用实分析的广义初等数论的一些内容，同时将跨越数论和代数数论的一些重要内容也吸收进去了（它们需要引入虚单位i，但并不使用复变函数理论），特别是对Fermat问题、Goldbach问题、Kloosterman和估计问题、算术级数中的Dirichlet除数问题这些知名问题指出了迄今为止的结果（澄清了许多历史错误），并给予详细证明.《当代数论引论》包含的技术性强而深的非正统内容，有的取材于国内外一些数论名著，有的取材于作者已发表或尚待发表的研究论文，有的则取材于作者近年来对数学一些重要的基础理论与问题的探究.
　　《当代数论引论》适合具有大学以上数学学历的数论研究者阅读.

内页插图

目录

第一章 整数的基本性质
§1.1 辗转相除法
§1.2 算术基本定理
§1.3 Fibonacci数列的一个整除性质
§1.4 对余弦函数cos(pπ/q）是否无理数的判别
§1.5 超越数论的出发点，Liouville定理e的超越性

第二章 一次同余式
§2.1 同余的概念与性质
§2.2 完系与缩系
§2.3 -次同余式
§2.4 联立一次同余式组

第三章 不定方程（Diophantine方程）
§3.1 引言
§3.2 -次不定方程
§3.3 方程X2+y2=22
§3.4 方程x4+y4一24
§3.5 Fermat方程x3+y3一23和Fermat猜想
§3.6 方程x2-yp=1，超越数论，虚二次域的类数问题
§3.7 应用某些二次域的性质研究不定方程

第四章 数论函数
§4.1 数论函数[z]
§4.2 积性函数
§4.3 Mobius函数u（n）与Mobius变换
§4.4 Euler函数φ
§4.5 其他数论函数

第五章 高次同余式的一般理论
§5.1 引言
§5.2 复合模的同余式的解数
§5.3 模P的同余式的解数
§5.4 模pu(a≥2)的同余式的解数与解法

第六章 原根
§6.1 阶、原根与指数的概念
§6.2 模P的原根
§6.3 模pu及2pa的原根
§6.4 原根与指数对解二项同余式的应用
§6.5 -般模的缩系的乘方表示

第七章 二次同余式
§7.1 模P的Legendre记号詈
§7.2 Gauss引理
§7.3 二次互反律
§7.4 二次同余式的解数与解法
§7.5 模P的二次非剩余与原根
§7.6 含有Legendre记号的若干求和及其应用

第八章 Gauss和，Kloosterman和，Ramanujan和
§8.1 Gauss和及其基本性质
§8.2 Gauss和的计算
§8.3 -般形式的Gauss和
§8.4 模P的最小二次非剩余的一个上界估计
§8.5 Kloosterman和及其估计
§8.6 高次Gauss和的估计问题简介

第九章 几个与素数有关的问题
第十章 若干数论函数求和的渐近公式
附录
参考文献

前言/序言

图书简介：《数论的宏伟殿堂：从古老智慧到现代前沿》 一、导言：揭开数字世界的神秘面纱 本书旨在带领读者进入一个既古老又充满活力的数学分支——数论的广阔疆域。数论，作为“数学女王”的核心领域之一，其研究对象是整数的性质与结构。从毕达哥拉斯的神秘主义信仰，到欧几里得对素数无穷性的严谨证明，再到费马大定理跨越三个半世纪的挑战，数论的历史本身就是一部充满智慧、直觉和不懈探索的史诗。 本书并非专注于某一特定流派或某一深度分支的细枝末节，而是力求勾勒出数论全景图的壮丽轮廓。我们将从最基础的算术概念出发，逐步攀升至现代数学的尖端议题，旨在为所有对数字本质充满好奇的读者，无论是初学者还是有一定基础的数学爱好者，搭建一座坚实的知识桥梁。我们关注的是数论思想的演变、核心工具的构建，以及它如何渗透到其他数学分支乃至信息科学的基石之中。 二、第一篇章：基础的坚实地基——算术的基石与代数的视角 本篇将从最朴素的整数集合 $mathbb{Z}$ 出发，重新审视我们日常使用的加法、乘法运算背后的深刻规律。 1. 整数的结构与整除理论： 我们将深入探讨除法算法，理解最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）的本质。欧几里得算法将以其简洁高效的姿态出现，并在此基础上引出贝祖定理，揭示线性丢番图方程的解的存在性。同余理论（Modular Arithmetic）是数论的灵魂之一，我们将详细阐述模运算的定义、性质，以及它如何将无限的整数世界压缩到有限的剩余类中。这不仅是理解密码学的关键，也是处理周期性问题的强大工具。 2. 素数的奥秘与唯一分解： 素数，是构成所有整数的“原子”，其性质是数论研究的核心。我们将回顾算术基本定理——任何大于1的整数都可以唯一地分解为素数的乘积——这一看似平凡却极具力量的定理。随后，我们将探索验证素数性的方法，从试除法到更高效的概率性测试算法（如米勒-拉宾测试）。当然，我们不会绕过对素数分布的早期探索，介绍素数定理的直观意义，即素数在自然数中出现的稀疏性。 3. 丢番图方程的初步探索： 丢番图方程，即要求整数解的方程，是数论的经典议题。本章将重点解析最简单的二次方程——勾股定理的整数解（即勾股数）。我们将展示如何系统地生成所有本原勾股数，这不仅是一个代数练习，更是对欧几里得几何直觉的数学提炼。 三、第二篇章：数论与代数的交融——抽象结构的引入 随着对基本概念的掌握，我们将视角提升到代数结构层面，观察数论问题如何在更广阔的数学框架下得到统一的解释。 1. 环论与理想： 在这一部分，我们将引入抽象代数中的“环”（Ring）的概念，并将整数环 $mathbb{Z}$ 置于此背景下考察。我们将讨论整环、唯一分解整环（UFD）和主理想整环（PID）的定义与相互关系。通过考察如高斯整数环 $mathbb{Z}[i]$，读者将理解为何某些整数方程（如费马和的平方和问题）在特定数系中可以被轻易解决，而在标准整数中却异常困难。这揭示了“唯一分解”这一性质并非普遍存在，而是特定代数结构赋予的宝贵属性。 2. 中国剩余定理的威力： 这一古老的定理是理解同余方程组的钥匙。我们将详细阐述其构造性证明，并展示它如何被应用于将复杂的模运算问题分解为一系列独立的、更容易处理的小问题。它在编码理论和算法设计中的实际应用也将被简要提及。 3. 模形式的萌芽： 虽然模形式是高等主题，但我们将在此处植入其早期思想的种子。介绍佩尔方程（Pell's Equation，形如 $x^2 - Dy^2 = 1$ 的丢番图方程）的解法与连分数之间的深刻联系。佩尔方程的解法天然地引出了无限的代数整数，这预示着我们将要离开有限的整数世界，进入无限代数数域的探索。 四、第三篇章：分析的武器——数论中的微积分与无穷求和 数论与分析学的结合催生了解析数论这一强大的分支。本篇旨在展示如何运用极限、级数和函数的工具来研究离散的整数性质。 1. 算术函数与狄利克雷级数： 我们将定义和研究诸如欧拉 $phi$ 函数、除数函数 $sigma_k(n)$、加性函数和积性函数等核心算术函数。重点在于理解积性函数如何通过其对应素数幂上的函数值来完全确定，这是处理乘法结构问题的关键技巧。随后，我们将引入狄利克雷级数——一种形如 $sum_{n=1}^{infty} frac{a_n}{n^s}$ 的形式级数。我们将解释狄利克雷函数的收敛性与算术函数之间的对应关系，这是解析数论的“语言”。 2. 黎曼 $zeta$ 函数与素数的分布： 黎曼 $zeta$ 函数 $zeta(s) = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^s}$ 是解析数论的中心对象。我们将介绍它与素数之间的欧拉乘积公式，从而建立起函数解析性质与素数分布之间的桥梁。虽然不深入复杂的复分析，但会清晰阐述黎曼假设的意义——它对素数间隔的预测精度具有决定性影响。 3. 狄利克雷定理：等差数列中的素数： 我们将展示狄利克雷对算术级数（形如 $a + nd$ 的数列）中素数分布的里程碑式成果。这个定理是分析工具处理离散结构能力的一个有力证明，它表明在所有与公差互质的数中，素数是均匀分布的。 五、第四篇章：几何、拓扑与数论的交汇 数论并非孤立存在，它与几何和拓扑的互动产生了许多引人入胜的交叉领域。 1. 几何数论的视角： 几何数论的核心是明可夫斯基的几何方法。我们将介绍点阵（Lattice）的概念，以及如何用几何体积、面积来估计特定代数结构（如理想或代数整数）中元素的数量。明可夫斯基定理的直观阐释将帮助读者理解，为何代数数论中的许多困难问题，在几何框架下可以转化为对凸集的测量问题。 2. 椭圆曲线的代数几何： 椭圆曲线——即形如 $y^2 = x^3 + Ax + B$ 的曲线——是现代数论研究的前沿热点。我们将简要介绍其群律（如何定义曲线上两点的“和”），以及费马大定理的最终证明（安德鲁·怀尔斯的工作）正是建立在对谷山-志村猜想的证明之上，而该猜想的核心正是连接椭圆曲线与模形式。 六、结语：数论的未来图景 本书的终点不是终结，而是通向更深层次研究的门户。我们将回顾数论在现代密码学（如RSA算法、椭圆曲线密码学）中的实际应用，强调其作为信息安全基石的地位。数论的魅力在于其无尽的开放性——每一个被解决的问题都可能催生出十个新的、更深奥的猜想。我们希望读者在合上书卷时，能够带着对数字世界结构性的深刻理解，继续探索这个永恒的、充满挑战与美的数学殿堂。