當代數論引論 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

　　作者是一位訓練有素的數學傢，長期從事數論方麵的研究工作.《當代數論引論》涵蓋初等數論的主要內容以及使用實分析的廣義初等數論的一些內容，同時將跨越數論和代數數論的一些重要內容也吸收進去瞭（它們需要引入虛單位i，但並不使用復變函數理論），特彆是對Fermat問題、Goldbach問題、Kloosterman和估計問題、算術級數中的Dirichlet除數問題這些知名問題指齣瞭迄今為止的結果（澄清瞭許多曆史錯誤），並給予詳細證明.《當代數論引論》包含的技術性強而深的非正統內容，有的取材於國內外一些數論名著，有的取材於作者已發錶或尚待發錶的研究論文，有的則取材於作者近年來對數學一些重要的基礎理論與問題的探究.
　　《當代數論引論》適閤具有大學以上數學學曆的數論研究者閱讀.

內頁插圖

目錄

第一章 整數的基本性質
§1.1 輾轉相除法
§1.2 算術基本定理
§1.3 Fibonacci數列的一個整除性質
§1.4 對餘弦函數cos(pπ/q）是否無理數的判彆
§1.5 超越數論的齣發點，Liouville定理e的超越性

第二章 一次同餘式
§2.1 同餘的概念與性質
§2.2 完係與縮係
§2.3 -次同餘式
§2.4 聯立一次同餘式組

第三章 不定方程（Diophantine方程）
§3.1 引言
§3.2 -次不定方程
§3.3 方程X2+y2=22
§3.4 方程x4+y4一24
§3.5 Fermat方程x3+y3一23和Fermat猜想
§3.6 方程x2-yp=1，超越數論，虛二次域的類數問題
§3.7 應用某些二次域的性質研究不定方程

第四章 數論函數
§4.1 數論函數[z]
§4.2 積性函數
§4.3 Mobius函數u（n）與Mobius變換
§4.4 Euler函數φ
§4.5 其他數論函數

第五章 高次同餘式的一般理論
§5.1 引言
§5.2 復閤模的同餘式的解數
§5.3 模P的同餘式的解數
§5.4 模pu(a≥2)的同餘式的解數與解法

第六章 原根
§6.1 階、原根與指數的概念
§6.2 模P的原根
§6.3 模pu及2pa的原根
§6.4 原根與指數對解二項同餘式的應用
§6.5 -般模的縮係的乘方錶示

第七章 二次同餘式
§7.1 模P的Legendre記號詈
§7.2 Gauss引理
§7.3 二次互反律
§7.4 二次同餘式的解數與解法
§7.5 模P的二次非剩餘與原根
§7.6 含有Legendre記號的若乾求和及其應用

第八章 Gauss和，Kloosterman和，Ramanujan和
§8.1 Gauss和及其基本性質
§8.2 Gauss和的計算
§8.3 -般形式的Gauss和
§8.4 模P的最小二次非剩餘的一個上界估計
§8.5 Kloosterman和及其估計
§8.6 高次Gauss和的估計問題簡介

第九章 幾個與素數有關的問題
第十章 若乾數論函數求和的漸近公式
附錄
參考文獻

前言/序言

圖書簡介：《數論的宏偉殿堂：從古老智慧到現代前沿》 一、導言：揭開數字世界的神秘麵紗 本書旨在帶領讀者進入一個既古老又充滿活力的數學分支——數論的廣闊疆域。數論，作為“數學女王”的核心領域之一，其研究對象是整數的性質與結構。從畢達哥拉斯的神秘主義信仰，到歐幾裏得對素數無窮性的嚴謹證明，再到費馬大定理跨越三個半世紀的挑戰，數論的曆史本身就是一部充滿智慧、直覺和不懈探索的史詩。 本書並非專注於某一特定流派或某一深度分支的細枝末節，而是力求勾勒齣數論全景圖的壯麗輪廓。我們將從最基礎的算術概念齣發，逐步攀升至現代數學的尖端議題，旨在為所有對數字本質充滿好奇的讀者，無論是初學者還是有一定基礎的數學愛好者，搭建一座堅實的知識橋梁。我們關注的是數論思想的演變、核心工具的構建，以及它如何滲透到其他數學分支乃至信息科學的基石之中。 二、第一篇章：基礎的堅實地基——算術的基石與代數的視角 本篇將從最樸素的整數集閤 $mathbb{Z}$ 齣發，重新審視我們日常使用的加法、乘法運算背後的深刻規律。 1. 整數的結構與整除理論： 我們將深入探討除法算法，理解最大公約數（GCD）和最小公倍數（LCM）的本質。歐幾裏得算法將以其簡潔高效的姿態齣現，並在此基礎上引齣貝祖定理，揭示綫性丟番圖方程的解的存在性。同餘理論（Modular Arithmetic）是數論的靈魂之一，我們將詳細闡述模運算的定義、性質，以及它如何將無限的整數世界壓縮到有限的剩餘類中。這不僅是理解密碼學的關鍵，也是處理周期性問題的強大工具。 2. 素數的奧秘與唯一分解： 素數，是構成所有整數的“原子”，其性質是數論研究的核心。我們將迴顧算術基本定理——任何大於1的整數都可以唯一地分解為素數的乘積——這一看似平凡卻極具力量的定理。隨後，我們將探索驗證素數性的方法，從試除法到更高效的概率性測試算法（如米勒-拉賓測試）。當然，我們不會繞過對素數分布的早期探索，介紹素數定理的直觀意義，即素數在自然數中齣現的稀疏性。 3. 丟番圖方程的初步探索： 丟番圖方程，即要求整數解的方程，是數論的經典議題。本章將重點解析最簡單的二次方程——勾股定理的整數解（即勾股數）。我們將展示如何係統地生成所有本原勾股數，這不僅是一個代數練習，更是對歐幾裏得幾何直覺的數學提煉。 三、第二篇章：數論與代數的交融——抽象結構的引入 隨著對基本概念的掌握，我們將視角提升到代數結構層麵，觀察數論問題如何在更廣闊的數學框架下得到統一的解釋。 1. 環論與理想： 在這一部分，我們將引入抽象代數中的“環”（Ring）的概念，並將整數環 $mathbb{Z}$ 置於此背景下考察。我們將討論整環、唯一分解整環（UFD）和主理想整環（PID）的定義與相互關係。通過考察如高斯整數環 $mathbb{Z}[i]$，讀者將理解為何某些整數方程（如費馬和的平方和問題）在特定數係中可以被輕易解決，而在標準整數中卻異常睏難。這揭示瞭“唯一分解”這一性質並非普遍存在，而是特定代數結構賦予的寶貴屬性。 2. 中國剩餘定理的威力： 這一古老的定理是理解同餘方程組的鑰匙。我們將詳細闡述其構造性證明，並展示它如何被應用於將復雜的模運算問題分解為一係列獨立的、更容易處理的小問題。它在編碼理論和算法設計中的實際應用也將被簡要提及。 3. 模形式的萌芽： 雖然模形式是高等主題，但我們將在此處植入其早期思想的種子。介紹佩爾方程（Pell's Equation，形如 $x^2 - Dy^2 = 1$ 的丟番圖方程）的解法與連分數之間的深刻聯係。佩爾方程的解法天然地引齣瞭無限的代數整數，這預示著我們將要離開有限的整數世界，進入無限代數數域的探索。 四、第三篇章：分析的武器——數論中的微積分與無窮求和 數論與分析學的結閤催生瞭解析數論這一強大的分支。本篇旨在展示如何運用極限、級數和函數的工具來研究離散的整數性質。 1. 算術函數與狄利剋雷級數： 我們將定義和研究諸如歐拉 $phi$ 函數、除數函數 $sigma_k(n)$、加性函數和積性函數等核心算術函數。重點在於理解積性函數如何通過其對應素數冪上的函數值來完全確定，這是處理乘法結構問題的關鍵技巧。隨後，我們將引入狄利剋雷級數——一種形如 $sum_{n=1}^{infty} frac{a_n}{n^s}$ 的形式級數。我們將解釋狄利剋雷函數的收斂性與算術函數之間的對應關係，這是解析數論的“語言”。 2. 黎曼 $zeta$ 函數與素數的分布： 黎曼 $zeta$ 函數 $zeta(s) = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^s}$ 是解析數論的中心對象。我們將介紹它與素數之間的歐拉乘積公式，從而建立起函數解析性質與素數分布之間的橋梁。雖然不深入復雜的復分析，但會清晰闡述黎曼假設的意義——它對素數間隔的預測精度具有決定性影響。 3. 狄利剋雷定理：等差數列中的素數： 我們將展示狄利剋雷對算術級數（形如 $a + nd$ 的數列）中素數分布的裏程碑式成果。這個定理是分析工具處理離散結構能力的一個有力證明，它錶明在所有與公差互質的數中，素數是均勻分布的。 五、第四篇章：幾何、拓撲與數論的交匯 數論並非孤立存在，它與幾何和拓撲的互動産生瞭許多引人入勝的交叉領域。 1. 幾何數論的視角： 幾何數論的核心是明可夫斯基的幾何方法。我們將介紹點陣（Lattice）的概念，以及如何用幾何體積、麵積來估計特定代數結構（如理想或代數整數）中元素的數量。明可夫斯基定理的直觀闡釋將幫助讀者理解，為何代數數論中的許多睏難問題，在幾何框架下可以轉化為對凸集的測量問題。 2. 橢圓麯綫的代數幾何： 橢圓麯綫——即形如 $y^2 = x^3 + Ax + B$ 的麯綫——是現代數論研究的前沿熱點。我們將簡要介紹其群律（如何定義麯綫上兩點的“和”），以及費馬大定理的最終證明（安德魯·懷爾斯的工作）正是建立在對榖山-誌村猜想的證明之上，而該猜想的核心正是連接橢圓麯綫與模形式。 六、結語：數論的未來圖景 本書的終點不是終結，而是通嚮更深層次研究的門戶。我們將迴顧數論在現代密碼學（如RSA算法、橢圓麯綫密碼學）中的實際應用，強調其作為信息安全基石的地位。數論的魅力在於其無盡的開放性——每一個被解決的問題都可能催生齣十個新的、更深奧的猜想。我們希望讀者在閤上書捲時，能夠帶著對數字世界結構性的深刻理解，繼續探索這個永恒的、充滿挑戰與美的數學殿堂。