组合数学及其应用/21世纪高等学校规划教材·计算机科学与技术 pdf epub mobi txt 电子书 下载 在线阅读 2026

内容简介

　　《组合数学及其应用/21世纪高等学校规划教材·计算机科学与技术》主要内容分为6个层次。组合数学的计数理论系统地介绍了组合数学中最基本的知识，包括容斥原理、母函数、递归关系等必须掌握的基本内容以及基本的排列组合计数算法；存在性理论主要介绍鸽笼原理和Ramsey定理；构造性问题主要介绍了简单排列和组合的构造方法；组合设计初步阐述了有关区组设计的基本知识；组合优化侧重介绍了线性规划的基本原理和方法、图着色、最大团原理和方法；组合数学的应用主要介绍了组合数学的基本理论和方法在计算机等相关领域和学科中的应用。
　　《组合数学及其应用/21世纪高等学校规划教材·计算机科学与技术》叙述详尽，由浅入深、层次分明，并配有大量实例和难易不同的习题。《组合数学及其应用/21世纪高等学校规划教材·计算机科学与技术》适于计算机专业及非数学专业的理科、工科专业的本科生、研究生作为教材或参考书，也可作为工程技术人员自学的教材或参考书。

内页插图

目录

第1章 排列与组合
1.1 加法规则和乘法规则
1.2 排列
1.3 组合
1.4 二项式定理
1.5 组合恒等式
习题1

第2章 容斥原理
2.1 容斥原理
2.2 重集的r-组合
2.3 错排问题
2.4 相对位置上有限制的排列问题
2.5 一般有限制的排列
习题2

第3章 母函数
3.1 母函数的基本概念
3.2 母函数的基本运算
3.3 母函数在排列、组合中的应用
3.4 整数的拆分
3.5 母函数在组合恒等式中的应用
习题3

第4章 递归关系
4.1 递归关系的建立
4.2 常系数线性齐次递归关系
4.3 常系数线性非齐次递归关系
4.4 迭代法与归纳法
4.5 母函数法求解递归关系
4.6 Stirling数
习题4

第5章 鸽笼原理与Ramsey定理
5.1 鸽笼原理的简单形式
5.2 鸽笼原理的一般形式
5.3 Ramsey定理
习题5

第6章 排列与组合的构造
6.1 排列的构造
6.2 组合的构造
习题6

第7章 组合设计
7.1 问题来源
7.2 有限运算系统
7.3 拉丁方
7.4 区组设计
7.5 三连组系
习题7

第8章 线性规划
8.1 线性规划问题的数学模型
8.2 线性规划问题的几何意义
8.3 凸多边形与凸多面体
8.4 线性规划问题的标准形式
8.5 线性规划问题的基本定理
8.6 单纯形方法
8.7 表格法
8.8 初始基本可行解
8.9 单纯形法中的特例
8.10 线性规划问题的对偶问题
习题8

第9章 图着色和最大团
9.1 问题的引入
9.2 SAT和r-着色
9.3 最大团
习题9

第10章 组合数学的应用
10.1 网络规划与设计
10.2 二分搜索算法
10.3 网络可靠度问题
10.4 光盘的通道编码
10.5 冒泡排序算法
习题10
参考文献

前言/序言

离散数学基础：算法思维与结构化设计 本书聚焦于离散数学领域的核心概念及其在现代计算机科学中的实际应用，旨在为学习者构建坚实的理论基础和解决实际问题的能力。 本书避开了组合数学的特定分支内容，而是将重点放在了支撑所有计算和信息处理的普遍性结构与逻辑之上。 第一部分：逻辑与证明的基石 本部分系统阐述了数学逻辑的基础，这是所有严谨推理和算法设计的前提。 第一章：命题逻辑与谓词逻辑 本章从最基本的陈述句和真值概念入手，详细介绍了逻辑联结词（合取、析取、否定、蕴含、双条件）的精确含义和真值表构建方法。在此基础上，我们深入探讨了逻辑等价、重言式、矛盾式和可满足式。 随后，本书引入了谓词逻辑（一阶逻辑），扩展了描述能力。重点讲解了全称量词（$forall$）和存在量词（$exists$）的用法、量词的辖域以及量词的否定规则。我们还探讨了如何将自然语言描述精确地翻译成逻辑表达式，这是形式化建模的关键一步。 第二章：证明的方法与技巧 证明是数学和计算机科学的语言。本章详尽介绍了主要的证明范式： 1. 直接证明 (Direct Proof)： 如何从已知公理和定义出发，通过一系列有效的逻辑推理直接推导出结论。 2. 间接证明： 重点讲解反证法（Proof by Contradiction），即假设结论不成立，并由此推导出已知事实的矛盾，从而确立原结论的正确性。 3. 数学归纳法 (Mathematical Induction)： 针对序列、递归定义结构和自然数范围内的命题，详细阐述了基础步骤、归纳假设和归纳步骤的严谨性要求。我们还会探讨强归纳法（Strong Induction）和良基归纳法（Well-Ordering Principle）的应用场景。 4. 构造性证明 (Constructive Proof)： 强调如何通过明确的算法或构造过程来证明某个对象的存在性，而非仅仅证明其不存在是不可能的。 第二部分：集合、关系与函数 本部分深入探讨了数学对象之间的组织结构，这是数据结构和数据库理论的理论基础。 第三章：集合论的严谨表述 本章回顾并深化了集合的基本概念，包括子集、幂集、集合的基数（有限集和无限集）。详细讨论了集合的运算（并、交、差、对称差）及其满足的代数律（如分配律、德摩根律）。特别关注了集合的笛卡尔积，为理解关系奠定基础。 第四章：关系代数与性质 关系是连接集合元素的桥梁。本章定义了二元关系，并分析了关系的关键性质：自反性、对称性、反对称性和传递性。 核心内容集中在等价关系 (Equivalence Relations) 及其划分（Partitioning）的概念，以及偏序关系 (Partial Order Relations) 和它们在偏序集（Poset）中的表示（如哈斯图 Hasse Diagrams）。我们探讨了偏序关系中的极大元、极小元、最大元和最小元。 第五章：函数与映射的性质 函数作为一种特殊的关系，在计算中扮演核心角色。本章分类讨论了函数的类型：单射（One-to-One）、满射（Onto）和双射（Bijective）。深入分析了复合函数的性质，以及可逆函数存在的充要条件。此外，本节还会引入鸽巢原理（Pigeonhole Principle）在函数和映射计数中的应用。 第三部分：图论基础结构 图论是研究网络、连接和结构的最强大工具之一，广泛应用于网络路由、数据结构和优化问题。 第六章：图的表示与基本概念 本章定义了图（Graph）的正式结构，包括顶点集和边集。区别和详述了无向图、有向图、多重图和简单图。详细讨论了图的各种表示方法：邻接矩阵（Adjacency Matrix）、邻接表（Adjacency List）及其在时间和空间复杂度上的权衡。 关注图的关键特征，如度数（Degree）、路径（Path）、环（Cycle）、连通性（Connectivity）和子图。 第七章：特殊结构的图 本章聚焦于几类具有特殊结构和重要意义的图： 1. 二分图 (Bipartite Graphs)： 定义、识别方法（通过图着色）及其在匹配问题中的应用。 2. 完全图 (Complete Graphs) 和轮图 (Wheel Graphs)。 3. 欧拉路径与哈密顿路径 (Eulerian and Hamiltonian Paths)： 探讨它们存在的充分必要条件（如欧拉定理），这是路径搜索问题的理论基础。 第八章：树结构及其性质 树作为无环连通图，是层次结构和分层数据存储的理想模型。 深入探讨了树的定义、性质（如$n$个顶点有且仅有$n-1$条边的特性）。重点分析了生成树 (Spanning Trees) 的概念，并引入了寻找最小生成树的经典算法（如Prim算法和Kruskal算法）的理论依据，这些算法是网络优化中的关键技术。 第四部分：代数结构与计数方法 本部分侧重于结构化的代数概念和精确的计数技术，为算法复杂性分析和概率计算打下基础。 第九章：基础代数结构 本章介绍了代数结构中的基本元素，侧重于群论 (Group Theory) 的入门概念。定义了代数系统、二元运算，并详细阐述了群的四个公理（封闭性、结合律、单位元、逆元）。讨论了半群、幺半群和阿贝尔群的特点。 第十章：计数原理与组合分析 本章是理解概率论和算法效率的关键： 1. 加法原理和乘法原理： 作为最基本的计数工具。 2. 排列 (Permutations) 与组合 (Combinations)： 详细分析有重复和无重复的排列组合问题，包括阶乘、组合公式 $C(n, k)$ 的推导和应用。 3. 容斥原理 (Principle of Inclusion-Exclusion)： 解决复杂集合交集计数问题的有力工具。 4. 生成函数 (Generating Functions) 简介： 作为解决复杂递推关系的代数工具，展示如何通过函数的幂级数来编码序列。 第十一章：递推关系 本章系统地处理序列的递归定义，这是分析分治算法（如快速排序、归并排序）时间复杂度的核心方法。 讲解了一阶和高阶线性齐次递推关系及其求解方法，包括利用特征方程求解。同时，探讨了非齐次递推关系的处理技巧，并将其与主定理（Master Theorem）的背景知识进行关联，为后续的算法分析打下坚实基础。 全书特色： 本书侧重于概念的严谨定义和相互之间的逻辑联系，强调从抽象概念到具体算法模型（如逻辑电路、网络结构、数据排序）的转化过程，是计算机科学、软件工程和信息安全等专业学生不可或缺的理论支撑教材。