复变函数（第二版）/普通高等教育“十一五”国家级规划教材 pdf epub mobi txt 电子书 下载 在线阅读 2026

编辑推荐

　　普通高等教育“十一五”国家级规划教材。
　　英文版已在World Scientific出版社出版。
　　作者均系国家级优秀教学成果奖获得者。
　　首见于全国同类教材的、反映第一作者在该领域科研成果的“推广留数定理”，是对经典复积分理论的升华，好教好学，非常实用。
　　首见于全国同类教材的、对教学难点多值函数分枝问题的程式化、理论化的处理，易于读者掌握。
　　多值函数、共形映照、推广留数定理计算积分习题的类型化。

内容简介

　　《复变函数（第二版）/普通高等教育“十一五”国家级规划教材》根据原国家教委理科数学力学教材编审委员会函数论及泛函分析编审组于1987～1989年期间议定的《复变函数（侧重应用）教材编写提纲》的基础上编写的。全书包括复数及复函数、解析函数基础、积分、级数、留数、解析开拓、共形映照、调和函数、解析函数应用共九章。
　　作为尝试，《复变函数（第二版）/普通高等教育“十一五”国家级规划教材》增添了高阶奇异积分和推广留数定理等具有实用价值的新内容；对教学难点的多值函数作了全新的处理；对柯西定理（同伦形式）、辐角原理、共形映照和解析函数惟一性定理等引进新的证明方法和叙述方式；对传统内容的现代化处理或不同程度的改进渗及全书各章。经过多年教学实践显示它是一本切实可教可学的教材。
　　《复变函数（第二版）/普通高等教育“十一五”国家级规划教材》可供综合大学基础数学、应用数学、计算数学、力学、天文学等专业及师范院校数学专业的本科生及部分工科专业的研究生作为教材，也可供物理专业、工程技术人员及自学者参考。

内页插图

目录

第一章 复数和复函数
1.1复数
1.1.1复数域
1.1.2复数的几何表示
1.1.3球极投影、复球面、无穷远点、扩充复平面
习题1.1
1.2复变函数
1.2.1复变函数的概念
1.2.2复变函数的极限与连续性
1.2.3同伦概念和区域的连通性
1.2.4辐角函数
习题1.2
1.3复数列和复级数
1.3.1复数列和复数项级数
1.3.2复函数列和复函数项级数
习题1.3
第一章 习题

第二章 解析函数基础
2.1解析函数
2.1.1导数及其几何意义
2.1.2解析函数概念
习题2.1
2.2一些初等解析函数
2.2.1多项式和有理函数
2.2.2指数函数
2.2.3三角函数和双曲函数
2.2.4对数函数
2.2.5幂函数和根式函数
2.2.6初等多值函数分枝问题
2.2.7有理函数的对数
2.2.8有理函数的方根
2.2.9反三角函数和反双曲函数
习题2.2
第二章 习题

第三章 复积分
3.1复积分概念
3.1.1复积分的定义及计算
3.1.2复积分的基本性质
习题3.1
3.2基本定理
3.2.1柯西积分定理
3.2.2原函数
习题3.2
3.3基本公式
3.3.1柯西积分公式
3.3.2柯西导数公式
3.3.3柯西不等式
3.3.4莫瑞勒定理
习题3.3
3.4反常复积分
3.4.1反常复积分的定义
3.4.2柯西主值积分
3.4.3高阶奇异积分
习题3.4
第三章 习题

第四章 解析函数的级数理论
4.1一般理论
……
第五章 留数理论
第六章 解析开拓
第七章 共形映照
第八章 调和函数
第九章 解析函数在平面场中的应用
附录一 初等多值函数单值分枝判定定理充分性之证明
附录二 高（整数）阶奇异积分定义由来详述
习题答案或提示

前言/序言

现代数学分析导论 作者： [此处可填写一位虚构的、在分析领域有建树的数学家姓名] 出版社： [此处可填写一家信誉良好的学术出版社名称] 版本： 第一版 ISBN： [此处填写一个合乎逻辑的虚构ISBN] 页数： 约 650 页 --- 内容简介 《现代数学分析导论》旨在为高等院校数学、物理、工程及相关专业本科高年级和研究生提供一套严谨、深入且富有启发性的实分析基础教材。本书立足于经典分析学的坚实地基，并以前瞻性的视野引入现代拓扑、测度论和泛函分析的初步概念，力求在培养学生扎实计算能力的同时，提升其抽象思维和数学建模的能力。 本书内容组织遵循逻辑递进的原则，从最基础的集合论和拓扑空间的概念开始，逐步过渡到实数系的完备性、序列与级数的收敛性，最终构筑起勒贝格测度、积分理论和初步的函数空间结构。 第一部分：基础与拓扑结构（第 1 章 – 第 3 章） 第 1 章：预备知识与集合论基础 本章回顾了必要的集合论语言，包括集合运算、映射的性质、序数与基数（仅作简介，不深入探讨其公理化基础）。重点在于建立严谨的数学语言，为后续的分析奠定基础。我们详细讨论了数学归纳法、反演法以及构造性证明的基本思想。 第 2 章：拓扑空间的引入 这是全书的基石之一。本章不直接从 $mathbb{R}^n$ 开始，而是首先引入抽象的拓扑空间概念，包括开集、闭集、邻域、基与子基。通过对这些抽象概念的探讨，读者能更深刻地理解 $mathbb{R}^n$ 欧氏空间拓扑结构的本质。我们详细分析了闭包、内部、边界、导集等重要拓扑概念，并引入了紧致性、连通性等核心性质，并利用这些性质来阐明 Heine-Borel 定理在抽象空间中的推广意义。 第 3 章：度量空间与完备性 度量空间作为一种特殊的拓扑空间，是本领域计算和收敛性讨论的基础。本章详细定义了度量空间，讨论了开球、闭球的性质。核心内容聚焦于序列的收敛性、柯西序列以及完备性。我们深入探讨了 Baire 纲定理及其在分析学中的应用，例如证明连续函数集合的稠密性。完备性概念的引入，为后续的巴拿赫不动点定理打下基础。 第二部分：黎曼积分与序列极限（第 4 章 – 第 6 章） 第 4 章：实数系与序列极限 本章重新审视了实数系的构造，着重强调其作为有序域的完备性。随后，我们严格定义了序列的收敛性、上下极限，并深入分析了单调收敛定理和 Bolzano-Weierstrass 定理。与传统教材不同，本章在讨论级数时，强调了比值检验、根值检验的局限性，并引入了更一般的收敛性判别准则。 第 5 章：连续性、一致收敛性与函数空间 连续性的概念被推广到度量空间，重点区分了点态收敛与一致收敛。一致收敛的讨论是本章的重中之重，我们详细阐述了 Weierstrass 逼近定理（多项式逼近连续函数）的证明及其重要性。本章还引入了等度连续性的概念，并利用 Arzela-Ascoli 定理初步探讨了函数空间中紧集的特征。 第 6 章：黎曼积分的理论 本章严格定义了有限闭区间上的黎曼积分，并讨论了积分的线性、保序性。关键部分在于对可积性的充分必要条件——狄利克雷判别法的深入分析。我们比较了黎曼可积与后继章节将要介绍的勒贝格可积之间的差异，为从黎曼到勒贝格的过渡做铺垫。 第三部分：勒贝格测度与积分（第 7 章 – 第 9 章） 第 7 章：测度论的构建 本章标志着分析进入现代阶段。我们从集合的“长度”概念出发，逐步建立 $sigma$-代数、外测度，并最终定义了 Lebesgue 测度。我们详细论证了可测集的性质，重点展示了如何使用外测度来构造一个满足 Carathéodory 测度扩张的结构。非测集（如 Vitali 集合）的构造被用作教材的佐证，以说明选择公理的重要性。 第 8 章：勒贝格积分 本章基于测度论，定义了简单函数、非负可测函数和一般可测函数的勒贝格积分。我们专注于证明积分的单调收敛定理（MCT）和法图引理（Fatou's Lemma），这两个定理是现代分析中进行极限与积分互换的基础。同时，我们详细介绍了支配收敛定理（DCT）的严谨证明和应用场景。 第 9 章：积分的性质与 $L^p$ 空间初步 本章探讨了积分在可测函数空间上的性质。我们定义了 $L^p$ 空间，并推导了 Hölder 不等式和 Minkowski 不等式。通过这些不等式的推导，读者能够建立起测度论与经典不等式（如 Cauchy-Schwarz）之间的深刻联系。本章最后简要介绍了 $L^1$ 空间的完备性，为泛函分析的进一步学习做准备。 第四部分：微分与积分的相互作用（第 10 章） 第 10 章：微分与绝对连续性 本章将微分的概念提升到更一般的测度空间背景下。我们讨论了测度论框架下的导数概念（如 Radon-Nikodym 导数），并引入了绝对连续性的概念。核心内容是 Lebesgue 分解定理，它揭示了测度之间复杂关系的结构。最后，本章探讨了绝对连续函数与黎曼可积函数之间的关系，并提供了函数可微性的初步分析。 --- 本书特色 1. 理论深度与计算广度兼顾： 本书在建立严格的抽象结构（拓扑、测度）的同时，并未忽视对具体函数的分析技巧的训练。 2. 现代分析的无缝过渡： 避开了将黎曼积分视为终点的传统模式，而是将勒贝格积分作为分析学的核心工具，为后续的傅里叶分析、偏微分方程和泛函分析学习奠定坚实基础。 3. 严谨的证明体系： 所有核心定理均提供详尽、逻辑清晰的证明，鼓励读者跟随每一步推理，培养严谨的数学思维习惯。 4. 丰富的例题与习题： 每章末尾设计了难度递增的习题，包括基础概念巩固、中等难度计算以及需要创新思维的高难度探究题，以检验和深化学生对材料的理解。 5. 强调几何直觉： 尽管内容抽象，但作者始终试图通过对 $mathbb{R}^n$ 空间的实例和几何直观的描述，帮助读者建立起抽象概念与具体问题的联系。 《现代数学分析导论》是一部面向未来的分析教材，它不仅传授知识，更旨在塑造新一代数学家的分析思维模式。