抽象代数讲义（第2卷）（英文） [Lectures in Abstract Algebra 2] pdf epub mobi txt 电子书 下载 在线阅读 2026

内容简介

　　The present volume is the second in the author's series of three dealing with abstract algebra. For an understanding of this volume a certain familiarity with the basic concepts treated in Volume I: groups， rings， fields， homomorphisms， is presup- posed. However， we have tried to make this account' of linear algebra independent of a detailed knowledge of our first volume. References to specific results are given occasionally but some of the fundamental concepts needed have been treated again. In short， it is hoped that this volume can be read with complete understanding by any student who is mathematically sufficiently mature and who has a familiarity with the standard notions of modern algebra.

内页插图

目录

CHAPTER I: FINITE DIMENSIONAL VECTOR SPACES
S ECTION
1. Abstract vector spaces
2. Rightvectorspaces
3. o-modules
4. Linear dependence
5. Invariance of dimensionality
6. Bases and matrices
7. Applications to matrix theory
8. Rank ofa set ofvectors
9. Factor spaces
10. Algebra ofsubspaces
11. Independent subspaces, direct sums

CHAPTER II: LINEAR TRANSFORMATIONS
1. Definition and examples
2. Compositions of linear transformations
3. The matrix of a linear transformation
4. Compositions ofmatrices
5. Change of basis. Equivalence and similarity of matrices
6. Rank space and null space of a linear transformation
7. Systems oflinear equations
8. Linear transformations in right vector spaces
9. Linear functions
10. Duality between a finite dimensional space and its .conjugate space
11. Transpose of a linear transformation
12. Matrices of the transpose
13. Projections

CHAPTER III: THE THEORY OF A SINGLE LINEAR TRANSFORMATION
1. The minimum polynomial of a linear transformation
2. Cyclicsubspaces
3. Existence of a vector whose order is the minimum polynomial
4. Cyclic linear transformations
5. The module det:ermiried by a linear transformation
6. Finitely generated o-modules, o, a principal ideal domain
7. Normalization of the generators of; and of
8. Equivalence of matrices with elements in a principal ideal domain
9. Structure of finitely generated o-modules
10. Invarjance theorems
11. Decomposition of a vector space relative to a linear trans- formation
12. The characteristic and minimum polynomials
13. Direct proof of Theorem 13
14. Formal properties of the trace and the characteristic poly- nomial
15. The ring of o-endomorphisms of a cyclic o-module
16. Determination of the ring of o-endomorphisms of a finitely generated o-module, o principal
17. The linear transformations which commute with a given lin- ear transformation
18. The center of the ring

CHAPTER Ⅳ: SETS OF LINEAR TRANSFORMATIONS
1. Invariant subspaces
2. Induced linear transformations
3. Composition series
4. Decomposability
5. Complete reducibility
6. Relation to the theory of operator groups and the theory of modules
7. Reducibility, decomposability, complete reducibility for a single linear transformation
8. The primary components of a space relative to a linear trans- formation
9. Sets of commutative linear transformations

CHAPTER Ⅴ: BILINEAR FORMS
1. Bilinear forms
2. Matrices of a bilinear form
……

CHAPTER VI: EUCLIDEAN AND UNITARY SPACES
CHAPTER Ⅶ: PRODUCTS OF VECTOR SPApES
CHAPTER Ⅷ: THE RING OF LINEAR TRANSFORMATIONS
CHAPTER IX: INFINITE DIMENSIONAL VECTOR SPACES
Index

前言/序言

好的，这是一份针对一本名为《抽象代数讲义（第2卷）》的著作，但内容完全不涉及该书具体内容的详细简介。 --- 《群论基础与结构分析》 作者： [此处留空，或使用一个假想的作者名称] 出版社： [此处留空，或使用一个假想的出版社名称] 丛书系列： 数学基础研究系列 全书概览： 本书旨在为读者提供一个坚实而深入的群论基础，重点在于解析代数结构在不同层面的表现及其内在联系。作为一套深入数学核心概念的入门读物，本卷（第二卷）将重点关注群的结构理论、置换群的性质以及与拓扑、几何领域初步的交叉点。本书的编写风格力求清晰严谨，通过大量的具体例子和逐步深入的证明，引导读者从抽象的定义跃升至对复杂结构的直观理解。 第一部分：群的结构与同构理论 本部分详述了群论中的核心概念，为后续更高级的结构分析奠定了基石。 第1章：群的再探：子群与陪集 本章首先回顾了群、幺半群与独异点的基本定义。随后，深入探讨了子群的性质，包括交集与生成子群的性质。特别关注了正规子群的概念及其重要性。陪集的引入旨在为商群的构建做准备，详细阐述了拉格朗日定理的证明及其在有限群计数中的应用。本章还探讨了有限生成群的概念，并介绍了生成元集合的最小化问题。 第2章：同态与同构 本章系统性地介绍了群同态的概念，着重于核（Kernel）和像（Image）的性质。核作为正规子群的关键特征被深入剖析。商群的构造原理是本章的核心，通过对陪集构成的集合，我们展示了如何在一个商群上定义一个自然的群运算，并证明了第一同构定理——这是连接同态、核与商群的最重要桥梁。本章后续讨论了群的自同构与自同构群，以及如何利用这些工具来研究群自身的对称性。 第3章：直积与半直积 本章探讨了如何通过已有群来构造新的群。直积（Direct Product）的定义及其性质，包括其交换性。在此基础上，引入了半直积（Semi-direct Product）的概念，这是一种更具普适性的构造方法，允许我们将群的结构视为一个群作用在另一个群上的结果。通过详细的例子，如二面体群 $D_n$ 和一般线性群的特定子群，读者将学会如何识别和分解复杂的群结构。 第二部分：置换群的深入分析 置换群是理解有限群结构最直观的途径。本部分将重点研究这些具有具体元素的群，并展示其在组合学中的应用。 第4章：置换与循环分解 本章从集合的置换概念出发，定义了对称群 $S_n$。置换的乘法运算和逆元被详细说明。核心内容在于循环分解理论：任何置换都可以唯一地分解为不相交循环的乘积。本章探讨了置换的奇偶性（Sign）及其与交错群 $A_n$ 的关系。交错群作为 $S_n$ 的正规子群，其性质和结构在后续的解群问题中至关重要。 第5章：共轭类与中心 在置换群的背景下，共轭类的概念得以生动体现。本章详细分析了置换的共轭关系，并展示了如何利用循环结构来判断两个置换是否共轭。群的中心（Center）被定义为与所有元素可交换的元素集合，它是衡量一个群“非交换程度”的关键指标。本章探讨了中心与正规子群的关系，特别是对于交换群和中心平凡群的讨论。 第6章：Sylow定理的铺垫 本章作为通往Sylow理论的桥梁，介绍了p-群的概念。p-群的特殊性质，例如其中心非平凡，将被证明。本章引入了群作用（Group Action）的概念，这是Sylow定理证明的核心工具。通过定义一个群作用于一个集合上，我们可以利用轨道-稳定子定理来计算集合的大小和群的元素数量。本章通过这些基础工具，为下一卷中更精妙的结构分类做好了准备。 第三部分：群与几何/拓扑的初步交汇 本部分开始触及群论如何与其他数学分支联系起来，特别是它在描述对称性和空间变换中的作用。 第7章：几何的群论视角 本章将群论的应用扩展到具体的几何对象。我们以欧几里得空间中的刚体运动为例，介绍了欧几里得群的结构，以及它如何作用于点集上。刚体运动的分类，包括旋转、反射和平移，被视为群的特定元素。本章还简要介绍了晶体学的背景，展示了有限群如何精确描述晶体的对称性。 第8章：基本群的萌芽 本章引入了拓扑学中描述空间连通性的基本工具——基本群（Fundamental Group）。虽然尚未深入拓扑细节，但本章侧重于说明如何将一个空间（如圆周）的拓扑结构转化为一个代数群（如整数加法群 $mathbb{Z}$）。通过环路和同伦类的概念，读者将初步体会到代数结构如何捕获几何形状的内在“洞”和“缺口”。 结语： 本书的结构设计旨在确保读者在掌握了群论的基础定义和基本构造后，能够对群的内部结构，特别是置换群的复杂性有一个清晰的认识，并初步感知代数工具在分析几何和拓扑对象时的强大潜力。本书的严谨性要求读者具备扎实的集合论和初等数论背景。