普通高等教育公共基础课程用书：复变函数与积分变换（第2版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 在线阅读 2026

内容简介

《普通高等教育公共基础课程用收：复变函数与积分变换（第2版）》是在编者多年来讲授工科复变函数与积分变换课程的基础上，遵照教育部制定的对本课程教学大纲的基本要求编写而成的。在编写过程中，我们广泛吸取了国内同类教材的主要优点，并融合了编者多年来讲授该门课程的经验和体会。考虑到工科学生学习本课程的目的主要在于实用，我们侧重了对基本概念和解题方法的讲解，基本概念的引入尽可能联系实际，淡化了一些理论的证明。在内容安排上力求由浅入深，循序渐进。与同类教材相比，《普通高等教育公共基础课程用收：复变函数与积分变换（第2版）》删减了部分理论性较强的内容，使之更适合工科学生阅读。同时，为了便于自学和实际的需要，在注意行文的科学性与严密性的同时，力求叙述简洁，通俗易懂。《普通高等教育公共基础课程用收：复变函数与积分变换（第2版）》在每一章都安排了较多的例题与习题，并且在例题和习题的选择上注重典型性和多样性，以培养学生解决实际问题的能力。同时，《普通高等教育公共基础课程用收：复变函数与积分变换（第2版）》以每三章为一阶段配有阶段复习题，并在全书的最后安排了期末模拟试题。书后附有习题答案供读者参考。

内页插图

目录

1 得数与复变函数
1.1 复数及其运算
1.1.1 复数的概念
1.1.2 复平面
1.1.3 复数的四则运算
1.1.4 复数的乘幂与开方
1.1.5 复球面与无穷远点
1.2 平面点集的一般概念
1.2.1 区域
1.2.2 平面曲线
1.3 复变函数
1.3.1 复变函数的概念
1.3.2 复变函数的极限与连续
1.3.3 复变函数的导数与微分
习题一

2 解析函数
2.1 解析函数的概念与柯西一黎曼方程
2.1.1 解析函数的概念
2.1.2 柯西黎曼方程
2.2 初等函数及其解析性
2.2.1 指数函数
2.2.2 对数函数
2.2.3 幂函数
2.2.4 三角函数和反三角函数
2.2.5 双曲函数与反双曲函数
2.3 解析函数与调和函数的关系
习题二

3.1 复变函数积分的概念．
3.1.1 复变函数积分的定义
3.1.2 复变函数积分的存在条件
3.1.3 复变函数积分的基本性质
3.1.4 复变函数积分的计算
3.2 柯西积分定理
3.2.1 柯西积分定理
3.2.2 变上限积分与原函数
3.3 复合闭路定理
3.4 柯西积分公式
3.4.1 柯西积分公式
3.4.2 高阶求导公式
习题三
阶段复习题

4.1 复级数的基本概念
4.1.1 复数列的极限
4.1.2 复数项级数
4.1.3 复变函数项级数
4.2 幂级数
4.2.1 幂级数的收敛性
4.2.2 幂级数的运算和性质
4.3 解析函数的泰勒展开
4.3.1 泰勒（Taylor）定理
4.3.2 解析函数的泰勒展开法
4.4 洛朗级数
4.4.1 洛朗级数的概念
4.4.2 解析函数的洛朗展开
习题四

5 留数及其应用
6 共形映射
阶段复习题二
7 Fourier变换
8 Laplace变换
阶段复习题三
模拟试卷（一）
模拟试卷（二）
习题参考答案
附录一 Fourier变换简表
附录二 Laplace变换简表
参考文献

前言/序言

深入解析《数学分析原理与方法》（第3版）：构建严谨的微积分理论基石 图书定位与目标读者 本书《数学分析原理与方法》（第3版）是一部面向高等院校理工科专业、师范院校数学系，以及需要深入理解微积分理论基础的研究生和高年级本科生的经典教材。它不仅仅是对传统微积分知识点的罗列与计算技巧的传授，更致力于构建一套严谨、逻辑清晰的数学分析理论体系，培养读者深刻的数学思维和抽象概括能力。本书特别适合于对数学本质有强烈探究欲望，并计划未来从事理论研究、高等数学教学或需要高精度数学建模的工程师和科学家。 内容结构与核心特色 本教材的编排遵循了数学分析学科的内在逻辑顺序，从最基础的实数系统出发，逐步攀登至多变量函数、级数理论和傅里叶分析的巅峰。全书共分为六大部分，每一部分的衔接都力求自然与严密。 第一部分：实数系统与极限理论的基石 本部分是整个数学分析大厦的根基。我们并未将实数系统视为已知公理，而是从有理数域出发，通过Dedekind截割或Cauchy序列的完备化两种方法之一（本版倾向于更具直观性的Dedekind截割），严格地构造出实数域 $mathbb{R}$。 数集的结构：详细讨论了上确界、下确界原理（完备性公理），并以此为基础引入了区间、邻域的概念。 序列的极限：对极限的 $varepsilon-N$ 定义进行了详尽的阐述和变体，区分了有界序列、收敛序列和发散序列的判别准则（如子序列极限定理、Cauchy准则）。 函数的极限与连续性：函数极限的定义引入了更精细的对映关系，重点分析了函数在某点连续、在区间上一致连续的区别与联系。拓扑概念如开集、闭集在实数轴上的具体表现被融入到连续性的讨论中，为后续的拓扑学思想打下基础。 第二部分：微分学——局部变化率的精确描述 本部分聚焦于函数的局部性质——导数。本书强调导数的几何意义（切线斜率）和物理意义（瞬时变化率）的同时，更注重其作为一种线性逼近工具的本质。 导数的严格定义与基本性质：详细讨论了可导性、连续性之间的关系（可导蕴含连续）。 微分中值定理的深入探讨：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明被详尽展示，尤其强调了它们在建立不等式和估算误差中的关键作用。泰勒定理被作为核心工具贯穿始终，特别是佩亚诺余项和施瓦茨余项的引入，为后面函数近似和误差分析提供了精确工具。 导数的应用：除了常规的极值、凹凸性分析外，本部分还专门辟出章节讨论参数方程、隐函数求导，并引入了微分形式的推广思想，为过渡到多元函数微分学做铺垫。 第三部分：积分学——累积效应的量化 积分是连接微小变化累积效应的桥梁。本书采用黎曼可积性作为核心，并严格构建了积分的定义和性质。 黎曼可积性的判定：基于上和、下和的定义，系统地给出了函数可积的充分必要条件（即振幅和的控制），并区分了常见函数类（如单调函数、有间断点的函数）的可积性。 微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）：作为全书的黄金定理，其证明过程被分解为多个严谨的步骤，揭示了微分与积分之间深刻的互逆关系。 积分的性质与应用：详细讨论了积分的线性性、保序性，并引入了广义积分（不正确积分）的概念，处理积分号下的极限问题，为后续的特殊积分运算做准备。 第四部分：多变量函数的微分学 本部分将分析的视角从一维实轴扩展到多维欧几里得空间 $mathbb{R}^n$，是对前两部分理论的系统提升。 拓扑预备知识：在 $mathbb{R}^n$ 上的开球、闭球、有界集、紧集等拓扑概念被引入，为多元函数的极限和连续性分析提供几何直觉和理论支撑。 偏导数与方向导数：清晰区分了偏导数（沿坐标轴方向的变化率）与方向导数（沿任意方向的变化率）。 微分的概念与全微分：全微分的定义被严格构建，强调了它与线性逼近的关系。本部分详细论述了可微性与偏导数存在性的区别，并通过一个关键定理说明了连续偏导数蕴含可微性。 多元函数的极值与约束优化：链式法则（多元复合函数的求导法则）被系统推导。极值点的分析引入了Hessian矩阵和二阶偏导数判别法，并对拉格朗日乘数法的几何意义进行了详尽的几何解释。 第五部分：多变量函数的积分学（多元微积分） 这是数学分析中计算量最大、概念最为复杂的部分，本书注重几何直观与积分技巧的结合。 二重积分与三重积分：引入区域的定义，并严格推导了直角坐标系下积分的累次计算（Fubini定理在有界闭区域上的应用）。重点讲解了积分区域的划分技巧。 变量替换与雅可比行列式：变量替换公式的推导是本部分的关键难点。雅可比行列式（Jacobian）被引入作为体积（面积）的尺度因子，详细分析了极坐标、柱坐标、球坐标变换下的雅可比式计算。 线积分与面积分：向量场、保守场、势函数的概念被引入。格林公式、斯托克斯公式和高斯公式（散度定理）作为三大核心公式，其证明和应用被分开论述，帮助读者区分它们在二维平面、曲面上的适用范围和物理意义（如功的计算、通量的计算）。 第六部分：级数理论与傅里叶分析初步 本部分探讨函数的无限求和表示，是连接分析学与应用数学（如偏微分方程）的桥梁。 常数项级数：收敛性的判别方法（比值判别法、根值判别法、积分判别法）被全面介绍。重点讨论了绝对收敛与条件收敛的区别。 幂级数：严格确定了幂级数的收敛半径和收敛区间，并证明了幂级数在其收敛区间内可以逐项求导和积分的定理。 傅里叶级数引论：作为傅里叶分析的初步，本书介绍了周期函数的傅里叶三角级数展开，狄利克雷条件，以及收敛性定理（如点态收敛、平方可积函数在傅里叶系数意义下的收敛性），为后续深入学习泛函分析和傅里叶变换打下了坚实的基础。 教学与学习辅助设计 本书的每一章末尾都精心设计了“理论拓展与思考题”部分，这些题目远超常规的计算演练，许多是历史上著名的数学分析难题的简化版，旨在激发学生的批判性思维。此外，书中的大量例题均采用“问题提出—解题思路—严谨求解—结论与反思”的结构，确保读者不仅学会“如何做”，更能理解“为何如此做”。本书对严密性的追求，使得其成为掌握现代分析学思维方法的不可或缺的工具书。