普通高等教育公共基礎課程用書：復變函數與積分變換（第2版） 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

《普通高等教育公共基礎課程用收：復變函數與積分變換（第2版）》是在編者多年來講授工科復變函數與積分變換課程的基礎上，遵照教育部製定的對本課程教學大綱的基本要求編寫而成的。在編寫過程中，我們廣泛吸取瞭國內同類教材的主要優點，並融閤瞭編者多年來講授該門課程的經驗和體會。考慮到工科學生學習本課程的目的主要在於實用，我們側重瞭對基本概念和解題方法的講解，基本概念的引入盡可能聯係實際，淡化瞭一些理論的證明。在內容安排上力求由淺入深，循序漸進。與同類教材相比，《普通高等教育公共基礎課程用收：復變函數與積分變換（第2版）》刪減瞭部分理論性較強的內容，使之更適閤工科學生閱讀。同時，為瞭便於自學和實際的需要，在注意行文的科學性與嚴密性的同時，力求敘述簡潔，通俗易懂。《普通高等教育公共基礎課程用收：復變函數與積分變換（第2版）》在每一章都安排瞭較多的例題與習題，並且在例題和習題的選擇上注重典型性和多樣性，以培養學生解決實際問題的能力。同時，《普通高等教育公共基礎課程用收：復變函數與積分變換（第2版）》以每三章為一階段配有階段復習題，並在全書的最後安排瞭期末模擬試題。書後附有習題答案供讀者參考。

內頁插圖

目錄

1 得數與復變函數
1.1 復數及其運算
1.1.1 復數的概念
1.1.2 復平麵
1.1.3 復數的四則運算
1.1.4 復數的乘冪與開方
1.1.5 復球麵與無窮遠點
1.2 平麵點集的一般概念
1.2.1 區域
1.2.2 平麵麯綫
1.3 復變函數
1.3.1 復變函數的概念
1.3.2 復變函數的極限與連續
1.3.3 復變函數的導數與微分
習題一

2 解析函數
2.1 解析函數的概念與柯西一黎曼方程
2.1.1 解析函數的概念
2.1.2 柯西黎曼方程
2.2 初等函數及其解析性
2.2.1 指數函數
2.2.2 對數函數
2.2.3 冪函數
2.2.4 三角函數和反三角函數
2.2.5 雙麯函數與反雙麯函數
2.3 解析函數與調和函數的關係
習題二

3.1 復變函數積分的概念．
3.1.1 復變函數積分的定義
3.1.2 復變函數積分的存在條件
3.1.3 復變函數積分的基本性質
3.1.4 復變函數積分的計算
3.2 柯西積分定理
3.2.1 柯西積分定理
3.2.2 變上限積分與原函數
3.3 復閤閉路定理
3.4 柯西積分公式
3.4.1 柯西積分公式
3.4.2 高階求導公式
習題三
階段復習題

4.1 復級數的基本概念
4.1.1 復數列的極限
4.1.2 復數項級數
4.1.3 復變函數項級數
4.2 冪級數
4.2.1 冪級數的收斂性
4.2.2 冪級數的運算和性質
4.3 解析函數的泰勒展開
4.3.1 泰勒（Taylor）定理
4.3.2 解析函數的泰勒展開法
4.4 洛朗級數
4.4.1 洛朗級數的概念
4.4.2 解析函數的洛朗展開
習題四

5 留數及其應用
6 共形映射
階段復習題二
7 Fourier變換
8 Laplace變換
階段復習題三
模擬試捲（一）
模擬試捲（二）
習題參考答案
附錄一 Fourier變換簡錶
附錄二 Laplace變換簡錶
參考文獻

前言/序言

深入解析《數學分析原理與方法》（第3版）：構建嚴謹的微積分理論基石 圖書定位與目標讀者 本書《數學分析原理與方法》（第3版）是一部麵嚮高等院校理工科專業、師範院校數學係，以及需要深入理解微積分理論基礎的研究生和高年級本科生的經典教材。它不僅僅是對傳統微積分知識點的羅列與計算技巧的傳授，更緻力於構建一套嚴謹、邏輯清晰的數學分析理論體係，培養讀者深刻的數學思維和抽象概括能力。本書特彆適閤於對數學本質有強烈探究欲望，並計劃未來從事理論研究、高等數學教學或需要高精度數學建模的工程師和科學傢。 內容結構與核心特色 本教材的編排遵循瞭數學分析學科的內在邏輯順序，從最基礎的實數係統齣發，逐步攀登至多變量函數、級數理論和傅裏葉分析的巔峰。全書共分為六大部分，每一部分的銜接都力求自然與嚴密。 第一部分：實數係統與極限理論的基石 本部分是整個數學分析大廈的根基。我們並未將實數係統視為已知公理，而是從有理數域齣發，通過Dedekind截割或Cauchy序列的完備化兩種方法之一（本版傾嚮於更具直觀性的Dedekind截割），嚴格地構造齣實數域 $mathbb{R}$。 數集的結構：詳細討論瞭上確界、下確界原理（完備性公理），並以此為基礎引入瞭區間、鄰域的概念。 序列的極限：對極限的 $varepsilon-N$ 定義進行瞭詳盡的闡述和變體，區分瞭有界序列、收斂序列和發散序列的判彆準則（如子序列極限定理、Cauchy準則）。 函數的極限與連續性：函數極限的定義引入瞭更精細的對映關係，重點分析瞭函數在某點連續、在區間上一緻連續的區彆與聯係。拓撲概念如開集、閉集在實數軸上的具體錶現被融入到連續性的討論中，為後續的拓撲學思想打下基礎。 第二部分：微分學——局部變化率的精確描述 本部分聚焦於函數的局部性質——導數。本書強調導數的幾何意義（切綫斜率）和物理意義（瞬時變化率）的同時，更注重其作為一種綫性逼近工具的本質。 導數的嚴格定義與基本性質：詳細討論瞭可導性、連續性之間的關係（可導蘊含連續）。 微分中值定理的深入探討：羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的證明被詳盡展示，尤其強調瞭它們在建立不等式和估算誤差中的關鍵作用。泰勒定理被作為核心工具貫穿始終，特彆是佩亞諾餘項和施瓦茨餘項的引入，為後麵函數近似和誤差分析提供瞭精確工具。 導數的應用：除瞭常規的極值、凹凸性分析外，本部分還專門闢齣章節討論參數方程、隱函數求導，並引入瞭微分形式的推廣思想，為過渡到多元函數微分學做鋪墊。 第三部分：積分學——纍積效應的量化 積分是連接微小變化纍積效應的橋梁。本書采用黎曼可積性作為核心，並嚴格構建瞭積分的定義和性質。 黎曼可積性的判定：基於上和、下和的定義，係統地給齣瞭函數可積的充分必要條件（即振幅和的控製），並區分瞭常見函數類（如單調函數、有間斷點的函數）的可積性。 微積分基本定理（牛頓-萊布尼茨公式）：作為全書的黃金定理，其證明過程被分解為多個嚴謹的步驟，揭示瞭微分與積分之間深刻的互逆關係。 積分的性質與應用：詳細討論瞭積分的綫性性、保序性，並引入瞭廣義積分（不正確積分）的概念，處理積分號下的極限問題，為後續的特殊積分運算做準備。 第四部分：多變量函數的微分學 本部分將分析的視角從一維實軸擴展到多維歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$，是對前兩部分理論的係統提升。 拓撲預備知識：在 $mathbb{R}^n$ 上的開球、閉球、有界集、緊集等拓撲概念被引入，為多元函數的極限和連續性分析提供幾何直覺和理論支撐。 偏導數與方嚮導數：清晰區分瞭偏導數（沿坐標軸方嚮的變化率）與方嚮導數（沿任意方嚮的變化率）。 微分的概念與全微分：全微分的定義被嚴格構建，強調瞭它與綫性逼近的關係。本部分詳細論述瞭可微性與偏導數存在性的區彆，並通過一個關鍵定理說明瞭連續偏導數蘊含可微性。 多元函數的極值與約束優化：鏈式法則（多元復閤函數的求導法則）被係統推導。極值點的分析引入瞭Hessian矩陣和二階偏導數判彆法，並對拉格朗日乘數法的幾何意義進行瞭詳盡的幾何解釋。 第五部分：多變量函數的積分學（多元微積分） 這是數學分析中計算量最大、概念最為復雜的部分，本書注重幾何直觀與積分技巧的結閤。 二重積分與三重積分：引入區域的定義，並嚴格推導瞭直角坐標係下積分的纍次計算（Fubini定理在有界閉區域上的應用）。重點講解瞭積分區域的劃分技巧。 變量替換與雅可比行列式：變量替換公式的推導是本部分的關鍵難點。雅可比行列式（Jacobian）被引入作為體積（麵積）的尺度因子，詳細分析瞭極坐標、柱坐標、球坐標變換下的雅可比式計算。 綫積分與麵積分：嚮量場、保守場、勢函數的概念被引入。格林公式、斯托剋斯公式和高斯公式（散度定理）作為三大核心公式，其證明和應用被分開論述，幫助讀者區分它們在二維平麵、麯麵上的適用範圍和物理意義（如功的計算、通量的計算）。 第六部分：級數理論與傅裏葉分析初步 本部分探討函數的無限求和錶示，是連接分析學與應用數學（如偏微分方程）的橋梁。 常數項級數：收斂性的判彆方法（比值判彆法、根值判彆法、積分判彆法）被全麵介紹。重點討論瞭絕對收斂與條件收斂的區彆。 冪級數：嚴格確定瞭冪級數的收斂半徑和收斂區間，並證明瞭冪級數在其收斂區間內可以逐項求導和積分的定理。 傅裏葉級數引論：作為傅裏葉分析的初步，本書介紹瞭周期函數的傅裏葉三角級數展開，狄利剋雷條件，以及收斂性定理（如點態收斂、平方可積函數在傅裏葉係數意義下的收斂性），為後續深入學習泛函分析和傅裏葉變換打下瞭堅實的基礎。 教學與學習輔助設計 本書的每一章末尾都精心設計瞭“理論拓展與思考題”部分，這些題目遠超常規的計算演練，許多是曆史上著名的數學分析難題的簡化版，旨在激發學生的批判性思維。此外，書中的大量例題均采用“問題提齣—解題思路—嚴謹求解—結論與反思”的結構，確保讀者不僅學會“如何做”，更能理解“為何如此做”。本書對嚴密性的追求，使得其成為掌握現代分析學思維方法的不可或缺的工具書。