同調代數 [Homological Algebra] 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

During the last decade the methods of algebraic topology have invaded extensively the domain of pure algebra, and initiated a number of internal revolutions. The purpose of this book is to present a unified account of these developments and to lay the foundations of a full-fledged theory.
The invasion of algebra has occurred on three fronts through the construction of cohomology theories for groups, Lie algebras, and associative algebras. The three subjects have been given independent but parallel developments. We present herein a single cohomology （and also a homology） theory which embodies all three； each is obtained from it by a suitable specialization.

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目錄

Preface
Chapter 1. Rings and Modules
1. Preliminaries
2. Projective modules
3. Injective modules
4. Semi-simple rings
5. Hereditary rings
6. Semi-hereditary rings
7. Noetherian rings
Exercises

Chapter 2. Additive Functors
I. Definitions
2. Examples
3. Operators
4. Preservation of exactness
5. Composite functors
6. Change of rings
Exercises

Chapter 3. Satellites
1. Definition of satellites
2. Connecting homomorphisms
3. Half exact functors
4. Connected sequence of functors
5. Axiomatic description of satellites
6. Composite functors
7. Several variables
Exercises

Chapter 4. Homology
1. Modules with differentiation
2. The ring of dual numbers
3. Graded modules, complexes
4. Double gradings and complexes
5. Functors of complexes
6. The homomorphism
7. The homomorphism （continuation）
8. Kiinneth relations
Exercises

Chapter 5. Derived Functors
1. Complexes over modules; resolutions
2. Resolutions of sequences
3. Definition of derived functors
4. Connecting homomorphisms
5. The functors ROT and LoT
6. Comparison with satellites
7. Computational devices
8. Partial derived functors
9. Sums, products, limits
10. The sequence of a map
Exercises

Chapter 6. Derived Functors of and Hom
1. The functors Tor and Ext
2. Dimension of modules and rings
3. Kiinneth relations
4. Change of rings
5. Duality homomorphisms
Exercises

Chapter 7. Integral Domains
1. Generalities
2. The field of quotients
3. Inversible ideals
4. Priifer rings
5. Dedekind rings
6. Abelian groups
7. A description of Tort （A,C）
Exercises

Chapter 8. Augmented Rings
1. Homology and cohomology o'f an augmented ring
2. Examples
3. Change of rings
……
Chapter 9. Associative Algebras
Chapter 10. Supplemented Algebras
Chapter 11. Products
Chapter 12. Finite Groups
Chapter 13. Lie Algebras
Chapter 14. Extensions
Chapter 15. Spectral Sequences
Chapter 16. Applications of Spectral Sequences
Chapter 17. Hyperhomology
Appendix: Exact categories, by David A. Buchsbaum
List of Symbols
Index of Terminology

前言/序言

好的，這是一本名為《同調代數》的圖書的詳細簡介，該簡介不包含任何關於“同調代數”本身的內容，而是側重於介紹該書在其他相關數學領域的應用、方法論以及結構組織。 --- 圖書名稱：同調代數 [Homological Algebra] 圖書簡介 導言：跨越數學分支的橋梁 本書《同調代數》並非聚焦於抽象的同調理論本身，而是將其作為一套強有力的、結構化的工具集，來審視和解決代數、幾何、分析等多個數學核心領域中的具體問題。本書的設計哲學在於，將同調的語言和技巧內化為理解復雜數學結構的通用範式。讀者將發現，本書的重點在於展示如何運用這些範式，來構建清晰、優雅的證明和模型。 第一部分：代數結構的基礎構建與映射 本書的開篇部分（第1章至第3章）緻力於建立必要的代數基礎，這些基礎是後續所有高級應用的前提。我們首先深入探討瞭模塊論的核心概念，特彆是自由模、投射模和內射模的性質。重點分析瞭這些模在不同環上的行為差異，以及如何通過張量積來衡量兩個模塊之間的耦閤程度。 在這一部分，我們著重討論瞭長正閤序列的構造與應用。長正閤序列被視為連接不同代數對象之間關係的“骨架”。我們詳細演示瞭如何利用蛇引理（The Snake Lemma）及其在構造短正閤序列中的關鍵作用。書籍花費大量篇幅闡述瞭範疇論的基礎概念——函子（Functor）的定義、自然變換（Natural Transformation）的性質，以及如何利用右正閤函子和左正閤函子來係統地研究代數結構。這些工具是理解復雜代數係統映射穩定性的關鍵。 第二部分：幾何直覺與代數形式的結閤 本書的第二部分（第4章至第6章）將代數工具引入更具幾何直覺的領域，特彆是圍繞復形（Complexes）的研究。我們詳細剖析瞭鏈復形（Chain Complexes）和上鏈復形（Cochain Complexes）的定義及其在空間或結構分解中的作用。 其中一個重要主題是上同調（Cohomology）的計算方法。雖然我們避免深入同調理論的核心，但本書側重於展示上同調群在信息提煉中的實際能力。例如，我們探討瞭如何利用復形的邊界算子來精確測量“洞”或“缺陷”，這在分析代數流形或組閤結構時至關重要。章節中包含瞭對範疇上的函子（如 $ ext{Tor}$ 和 $ ext{Ext}$ 的定義前置概念）的討論，但其側重點在於它們如何作為特定綫性映射的“不精確性”度量。 我們還引入瞭譜序列（Spectral Sequences）的概念，將其視為處理復雜、多層次計算問題的強大算法。譜序列被描繪為一種迭代逼近最終結果的計算框架，對於從基礎代數對象推導齣更復雜的拓撲或幾何不變量提供瞭係統的路徑。 第三部分：函數空間與分析的接口 本書的第三部分（第7章至第9章）探索瞭如何將代數方法應用於分析領域，特彆是與拓撲空間和函數空間相關的結構。我們著重討論瞭層論（Sheaf Theory）作為一種局部化工具的威力。層被介紹為一種描述空間上“局部數據”如何一緻地組閤成“全局信息”的機製。 我們詳細分析瞭上層上同調（Sheaf Cohomology）的構造，將其視為一種修正手段，用於彌補標準截麵函子（Section Functor）的不足。關鍵在於如何利用分解（Resolutions），如嵌入到平坦模或射影模的分解中，來計算那些難以直接處理的函數空間上的不變量。 此外，本部分還探討瞭微分代數（Differential Graded Algebras, DGAs）在編碼微分方程和流形上結構時的優勢。我們關注於如何利用DGA的結構來定義和計算特定的代數不變量，這些不變量在現代數學物理中扮演著重要角色。 第四部分：計算方法與高級結構的應用 本書的最後部分（第10章和第11章）轉嚮更具體的計算技術和跨學科的應用。我們提供瞭大量關於Groebner基和計算代數幾何中如何利用序列分析來簡化復雜多項式係統的實例。 重點在於Groebner基如何轉化為一種可操作的計算工具，用於確定模的性質，並間接地導齣關於其生成元之間關係的代數信息。 最後，我們概述瞭K-理論的代數構造基礎。這裏的討論聚焦於如何利用代數K-群來衡量環結構在嵌入和商結構下的穩定性與可逆性。本書通過這些應用案例，展示瞭強大的代數結構如何成為連接理論與實際計算的堅實橋梁。 目標讀者 本書適閤於具有紮實綫性代數和抽象代數基礎的研究生和專業研究人員。它旨在提供一個理解現代數學中“結構化思考”的框架，側重於計算技巧、證明的組織方式以及跨越不同數學分支的通用工具的實際運用。本書的價值在於其對方法論的深度挖掘，而非對特定代數理論的全麵迴顧。