同调代数 [Homological Algebra] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

内容简介

During the last decade the methods of algebraic topology have invaded extensively the domain of pure algebra, and initiated a number of internal revolutions. The purpose of this book is to present a unified account of these developments and to lay the foundations of a full-fledged theory.
The invasion of algebra has occurred on three fronts through the construction of cohomology theories for groups, Lie algebras, and associative algebras. The three subjects have been given independent but parallel developments. We present herein a single cohomology （and also a homology） theory which embodies all three； each is obtained from it by a suitable specialization.

内页插图

目录

Preface
Chapter 1. Rings and Modules
1. Preliminaries
2. Projective modules
3. Injective modules
4. Semi-simple rings
5. Hereditary rings
6. Semi-hereditary rings
7. Noetherian rings
Exercises

Chapter 2. Additive Functors
I. Definitions
2. Examples
3. Operators
4. Preservation of exactness
5. Composite functors
6. Change of rings
Exercises

Chapter 3. Satellites
1. Definition of satellites
2. Connecting homomorphisms
3. Half exact functors
4. Connected sequence of functors
5. Axiomatic description of satellites
6. Composite functors
7. Several variables
Exercises

Chapter 4. Homology
1. Modules with differentiation
2. The ring of dual numbers
3. Graded modules, complexes
4. Double gradings and complexes
5. Functors of complexes
6. The homomorphism
7. The homomorphism （continuation）
8. Kiinneth relations
Exercises

Chapter 5. Derived Functors
1. Complexes over modules; resolutions
2. Resolutions of sequences
3. Definition of derived functors
4. Connecting homomorphisms
5. The functors ROT and LoT
6. Comparison with satellites
7. Computational devices
8. Partial derived functors
9. Sums, products, limits
10. The sequence of a map
Exercises

Chapter 6. Derived Functors of and Hom
1. The functors Tor and Ext
2. Dimension of modules and rings
3. Kiinneth relations
4. Change of rings
5. Duality homomorphisms
Exercises

Chapter 7. Integral Domains
1. Generalities
2. The field of quotients
3. Inversible ideals
4. Priifer rings
5. Dedekind rings
6. Abelian groups
7. A description of Tort （A,C）
Exercises

Chapter 8. Augmented Rings
1. Homology and cohomology o'f an augmented ring
2. Examples
3. Change of rings
……
Chapter 9. Associative Algebras
Chapter 10. Supplemented Algebras
Chapter 11. Products
Chapter 12. Finite Groups
Chapter 13. Lie Algebras
Chapter 14. Extensions
Chapter 15. Spectral Sequences
Chapter 16. Applications of Spectral Sequences
Chapter 17. Hyperhomology
Appendix: Exact categories, by David A. Buchsbaum
List of Symbols
Index of Terminology

前言/序言

好的，这是一本名为《同调代数》的图书的详细简介，该简介不包含任何关于“同调代数”本身的内容，而是侧重于介绍该书在其他相关数学领域的应用、方法论以及结构组织。 --- 图书名称：同调代数 [Homological Algebra] 图书简介 导言：跨越数学分支的桥梁 本书《同调代数》并非聚焦于抽象的同调理论本身，而是将其作为一套强有力的、结构化的工具集，来审视和解决代数、几何、分析等多个数学核心领域中的具体问题。本书的设计哲学在于，将同调的语言和技巧内化为理解复杂数学结构的通用范式。读者将发现，本书的重点在于展示如何运用这些范式，来构建清晰、优雅的证明和模型。 第一部分：代数结构的基础构建与映射 本书的开篇部分（第1章至第3章）致力于建立必要的代数基础，这些基础是后续所有高级应用的前提。我们首先深入探讨了模块论的核心概念，特别是自由模、投射模和内射模的性质。重点分析了这些模在不同环上的行为差异，以及如何通过张量积来衡量两个模块之间的耦合程度。 在这一部分，我们着重讨论了长正合序列的构造与应用。长正合序列被视为连接不同代数对象之间关系的“骨架”。我们详细演示了如何利用蛇引理（The Snake Lemma）及其在构造短正合序列中的关键作用。书籍花费大量篇幅阐述了范畴论的基础概念——函子（Functor）的定义、自然变换（Natural Transformation）的性质，以及如何利用右正合函子和左正合函子来系统地研究代数结构。这些工具是理解复杂代数系统映射稳定性的关键。 第二部分：几何直觉与代数形式的结合 本书的第二部分（第4章至第6章）将代数工具引入更具几何直觉的领域，特别是围绕复形（Complexes）的研究。我们详细剖析了链复形（Chain Complexes）和上链复形（Cochain Complexes）的定义及其在空间或结构分解中的作用。 其中一个重要主题是上同调（Cohomology）的计算方法。虽然我们避免深入同调理论的核心，但本书侧重于展示上同调群在信息提炼中的实际能力。例如，我们探讨了如何利用复形的边界算子来精确测量“洞”或“缺陷”，这在分析代数流形或组合结构时至关重要。章节中包含了对范畴上的函子（如 $ ext{Tor}$ 和 $ ext{Ext}$ 的定义前置概念）的讨论，但其侧重点在于它们如何作为特定线性映射的“不精确性”度量。 我们还引入了谱序列（Spectral Sequences）的概念，将其视为处理复杂、多层次计算问题的强大算法。谱序列被描绘为一种迭代逼近最终结果的计算框架，对于从基础代数对象推导出更复杂的拓扑或几何不变量提供了系统的路径。 第三部分：函数空间与分析的接口 本书的第三部分（第7章至第9章）探索了如何将代数方法应用于分析领域，特别是与拓扑空间和函数空间相关的结构。我们着重讨论了层论（Sheaf Theory）作为一种局部化工具的威力。层被介绍为一种描述空间上“局部数据”如何一致地组合成“全局信息”的机制。 我们详细分析了上层上同调（Sheaf Cohomology）的构造，将其视为一种修正手段，用于弥补标准截面函子（Section Functor）的不足。关键在于如何利用分解（Resolutions），如嵌入到平坦模或射影模的分解中，来计算那些难以直接处理的函数空间上的不变量。 此外，本部分还探讨了微分代数（Differential Graded Algebras, DGAs）在编码微分方程和流形上结构时的优势。我们关注于如何利用DGA的结构来定义和计算特定的代数不变量，这些不变量在现代数学物理中扮演着重要角色。 第四部分：计算方法与高级结构的应用 本书的最后部分（第10章和第11章）转向更具体的计算技术和跨学科的应用。我们提供了大量关于Groebner基和计算代数几何中如何利用序列分析来简化复杂多项式系统的实例。 重点在于Groebner基如何转化为一种可操作的计算工具，用于确定模的性质，并间接地导出关于其生成元之间关系的代数信息。 最后，我们概述了K-理论的代数构造基础。这里的讨论聚焦于如何利用代数K-群来衡量环结构在嵌入和商结构下的稳定性与可逆性。本书通过这些应用案例，展示了强大的代数结构如何成为连接理论与实际计算的坚实桥梁。 目标读者 本书适合于具有扎实线性代数和抽象代数基础的研究生和专业研究人员。它旨在提供一个理解现代数学中“结构化思考”的框架，侧重于计算技巧、证明的组织方式以及跨越不同数学分支的通用工具的实际运用。本书的价值在于其对方法论的深度挖掘，而非对特定代数理论的全面回顾。