高等学校数学公共课辅导系列·高等数学解题指导：概念、方法与技巧（下册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 在线阅读 2026

内容简介

　　 《高等学校数学公共课辅导系列·高等数学解题指导：概念、方法与技巧（下册）》是高等院校理工科、经济管理和财经类专业数学公共课“高等数学” 的学习辅导书，与国内通用的《高等数学》教材配套，可同步使用，全书共十二章，分上、下两册出版。上册内容包括函数、极限与连续，导数与微分，中值定理与导数应用，不定积分，定积分及其应用；下册内容包括空间解析几何与向量代数，多元函数微分及其应用，重积分，曲线积分与典面积分，无究级数，微分方程等，每章按内容提要、教学要求、解题方法概论与错误辨析、典型例题分析、练习题及练习题答案，共分为五个部分。典型例题分析中的例题分为A，B，C三类：A类为基本题，B类为综合题，C类题大部分选自历年研究入学考试的试题。
　　 《高等学校数学公共课辅导系列·高等数学解题指导：概念、方法与技巧（下册）》按照教育颁布的“高等数学”教学大纲要求进行编写，注重数学思想、方法和技巧三位一体，结合了作者在教学第一线总结出的学习高等数学的认知规律与解题方法。
　　 《高等学校数学公共课辅导系列·高等数学解题指导：概念、方法与技巧（下册）》重点是各章典型例题分析中给出的解题指导与错误辨析，典型例题是为解决学生在学习过程中暴露出的疑难与困惑而精心安排的，力求具有代表性，由浅入深，通过多侧面、不同解法的讨论以及对初学者易犯错误进行的剖析，使学生加深对高等数学中概念的理解并对解题方法与技巧进行归纳和总结，提高分析问题和解决问题的能力。
　　 《高等学校数学公共课辅导系列·高等数学解题指导：概念、方法与技巧（下册）》可作为高等院校理工科、经济管理和财经类各专业本科大学生学习“高等数学”的畏导教材，也可作为任课教师的教学参考书。对于报考硕士研究生的高年级大学生，《高等学校数学公共课辅导系列·高等数学解题指导：概念、方法与技巧（下册）》也是复习备考者的良师益友。

目录

第七章 空间解析几何与向量代数
一、内容提要
（一）本章框架
（二）重要的概念、性质与计算
二、教学要求
三、解题方法概论及错误辨析
（一）解题方法概论
（二）错误辨析
四、典型例题分析
五、练习题

第八章 多元函数微分及其应用
一、内容提要
（一）本章框架
（二）重要的概念、性质与计算
二、教学要求
三、解题方法概论及错误辨析
（一）解题方法概论
（二）错误辨析
四、典型例题分析
五、练习题

第九章 重积分
一、内容提要
（一）本章框架
（二）重要的概念、性质与计算
二、教学要求
三、解题方法概论及错误辨析
（一）解题方法概论
（二）错误辨析
四、典型例题分析
五、练习题

第十章 典线积分与典面积分
一、内容提要
（一）本章框架
（二）重要的概念、性质与计算
二、教学要求
三、解题方法概论及错误辨析
（一）解题方法概论
（二）错误辨析
四、典型例题分析
五、练习题

第十一章 无穷级数
一、内容提要
（一）本章框架
（二）重要的概念、性质与计算
二、教学要求
三、解题方法概论及错误辨析
（一）解题方法概论
（二）错误辨析
四、典型例题分析
五、练习题

第十二章 微分方程
一、内容提要
（一）本章框架
（二）重要的概念、性质与计算
二、教学要求
三、解题方法概论及错误辨析
（一）解题方法概论
（二）错误辨析
四、典型例题分析
五、练习题
附录1 常用曲面方程及图形
附录2 常用曲面所围立体图形
附录3 练习题答案、提示与解答

前言/序言

纯粹的数学之美：现代代数基础与应用 本书旨在为读者提供一个深入而严谨的现代代数世界的导览。我们将聚焦于群论、环论和域论的核心概念、基本定理及其在不同数学分支中的应用。本书力求在保持数学严谨性的同时，注重概念的清晰阐释和逻辑链条的完整构建，帮助学习者构建坚实的抽象代数思维框架。 第一部分：群论的基石 本部分将系统介绍群的基本概念和结构。 第一章：群的基本概念 我们从代数结构的最基本单元——集合与运算的定义出发，引申出群的四个基本公理：封闭性、结合律、单位元和逆元。随后，将详细讨论子群的判定定理，以及陪集的概念，为拉格朗日定理的证明打下基础。此外，我们还将探讨循环群的特性，证明每一个循环群都同构于 $mathbb{Z}$ 或 $mathbb{Z}_n$，这是理解无限群和有限群结构的关键一步。 第二章：群同态与同构 本章侧重于研究群之间的结构保持映射。我们详细定义群同态（Homomorphism）和群同构（Isomorphism），并证明同构关系是一种等价关系。核（Kernel）和像（Image）的性质被深入剖析，特别是核是群的正规子群的证明，这是理解商群构造的先决条件。 第三章：正规子群与商群 正规子群（Normal Subgroup）是群论中的核心概念，其定义与陪集密切相关。我们将展示正规子群的等价判定条件。基于正规子群，我们构造出商群（Quotient Group），并详细阐述商群的运算规则。第一同构定理（或称基本同态定理）将作为本章的压轴，它深刻揭示了群、同态、核与商群之间的内在联系。 第四章：群的作用与应用 本章探讨群如何“作用”于一个集合上。我们定义群作用的两个公理，并引入轨道（Orbit）和稳定子（Stabilizer）的概念。利用这些工具，我们将证明著名的柯西定理（Cauchy's Theorem）和Sylow定理（Sylow Theorems）。这些定理是分析有限群结构的最强大工具。特别地，我们将应用Sylow定理分析 $p$-群的性质，以及简单群的结构。 第五章：直接积与半直积 对于由较小群构成的较大群的分解研究，直积（Direct Product）提供了一种直接的构造方法。我们将区分内直积和外直积。更进一步，为了描述更复杂的结构，我们将引入半直积（Semi-direct Product），并阐述其与群作用的内在联系，为理解非阿贝尔群的构造提供新的视角。 第二部分：环论的拓展 本书的第二部分将代数运算从一个扩展到两个——引入乘法结构，从而进入环的世界。 第六章：环的基本结构 我们定义环（Ring）的结构，包含加法阿贝尔群和满足分配律的乘法运算。接着，区分交换环、单位环（含单位元）和整环。我们将深入探讨环中的子环和环同态。 第七章：理想与商环 类似于群中的正规子群，理想（Ideal）是环中的关键结构，它确保了商构造的良好定义。我们将讨论左理想、右理想和双边理想，并证明双边理想是构造商环（Quotient Ring）的基础。第一同构定理在环论中的对应形式将被严格证明。 第八章：整环中的重要概念 本章专注于结构更为良好的整环（Integral Domain）。我们将定义和研究零因子的概念。接着，我们将引入分式域（Field of Quotients）的构造，证明每一个整环都同构于某个域的子域，这是理解有理数域构造的抽象基础。 第九章：主理想、唯一分解与多项式环 本章将聚焦于具有特定分解性质的环。 主理想环（Principal Ideal Domain, PID）：所有理想都可以由单个元素生成的环。我们将证明 $mathbb{Z}$ 和 $F[x]$（$F$为域）都是PID。 欧几里得整环（Euclidean Domain）：具有“除法算法”的整环，是PID的推广。 唯一分解整环（Unique Factorization Domain, UFD）：元素可以唯一地分解为不可约元素乘积的环。本章将证明：欧几里得整环 $implies$ 主理想环 $implies$ 唯一分解整环。 多项式环 $F[x]$：详细分析多项式环的性质，特别是与整除性、最大公约式（GCD）和欧几里得算法在 $F[x]$ 中的应用。 第十章：域论的初步探索 域是具有完全除法运算的环，是线性代数、伽罗瓦理论的根基。我们将讨论域的扩张（Field Extension）的概念，定义代数元和超越元。介绍最小多项式的概念，并解释它在构造更复杂的域（如 $mathbb{Q}(sqrt{2})$ 或 $mathbb{C}$）中的作用。本章将为后续深入研究伽罗瓦理论打下必要的代数背景。 本书结构清晰，例题丰富，旨在帮助有微积分或线性代数基础的读者，从代数的角度重新认识数学结构，为进一步学习抽象数学、密码学、代数几何等领域做好充分准备。每章末均附有难度递进的习题，以巩固所学概念与技巧。