距離正則圖及其相關代數 下載 mobi epub pdf 電子書 2024

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內容介紹
　　本書共十四章，前三章介紹本書的基礎知識，包括距離正則圖及其錶示的基本理論和方法、格、一緻偏序集、有限辛幾何。後十一章是作者及其閤作者近年來的研究成果。在距離正則圖的結構方麵，涉及強閉包子圖及其應用，基於幾乎二部圖的一緻偏序集，Johnson圖、Grassmann圖、二部圖的Terwilliger代數；在Terwilliger代數錶示方麵，涉及帶尖的三對角對的跡和仿射變換、經典和正規化的Leonard對、Leonard對的構作、Leonard三元組的分類、Leonard三元組的構作和幾種型的代數模的分類。
目錄
目錄
前言
一些符號的說明
第1章 距離正則圖 1
1.1 圖的基本知識 1
1.1.1 圖的定義 1
1.1.2 完全圖、二部圖、補圖 1
1.1.3 圖的同構、子圖 2
1.1.4 途徑、路、距離 3
1.1.5 圖的譜 3
1.1.6 正則圖 5
1.2 強正則圖 6
1.3 距離正則圖的定義和基本性質 10
1.3.1 距離傳遞和距離正則圖 10
1.3.2 基本性質 13
1.4 交叉錶 16
1.4.1 交叉錶的定義及其性質 16
1.4.2 A.A.Ivanov 界 19
1.5 Bose-Mesner 代數 20
1.5.1 距離正則圖的鄰接矩陣 20
1.5.2 本原冪等元 23
1.6 Terwilliger 代數 29
1.6.1 Terwilliger 代數 29
1.6.2 T-模的若乾性質 39
1.7 結閤方案 45
1.7.1 結閤方案的定義 45
1.7.2 結閤方案的特徵值 48
1.7.3 Krein 參數 52
1.7.4 P(Q) 結閤方案 55
1.8 本原與非本原性質 58
1.9 注記 59
第2章 三對角對、Leonard 對、Leonard 三元組 60
2.1 三對角對 60
2.1.1 三對角對和三對角係 60
2.1.2 三對角係的參數陣列 63
2.1.3 三對角對和三對角係的同構 66
2.2 Leonard 對和 Leonard 係 67
2.2.1 Leonard 對和 Leonard 係的定義和相關知識 67
2.2.2 13 類 Leonard 係的參數陣列 74
2.2.3 Askey-Wilson 關係式 78
2.3 Leonard 三元組和 Leonard 三元係 79
2.4 注記 82
第3章 格、一緻偏序集、有限辛幾何 83
3.1 偏序集和格 83
3.1.1 偏序集 83
3.1.2 格、半模格與幾何格 86
3.2 一緻偏序集 90
3.3 有限辛幾何 94
3.4 注記 98
第4章 強閉包子圖及其應用 99
4.1 子空間的定義及其性質 99
4.2 子空間的計數定理 100
4.3 由子空間生成的格 106
4.4 認證碼 110
4.5 池設計 112
4.6 注記 114
第5章 基於幾乎二部圖的一緻偏序集 115
5.1 幾乎二部圖的定義及其性質 115
5.2 幾乎二部圖的提升矩陣、平坦矩陣和下降矩陣 118
5.3 R=L 綫性結構 119
5.4 幾乎二部距離正則圖的一緻結構 121
5.4.1 2D + 1 邊形的情形 122
5.4.2 摺疊超方體 H(2D + 1；2) 的情形 124
5.4.3 奇圖的情形 133
5.5 注記 139
第6章 Johnson 圖的 Terwilliger 代數 140
6.1 對偶 Hahn 型 Leonard 係的等價定義 140
6.2 泛包絡代數 U(sl2) 141
6.3 與給定的對偶 Hahn 型 Leonard 係相關的 U(sl2)-模結構 143
6.4 Johnson 圖的若乾性質 147
6.5 標準模的位移分解 149
6.6 標準模 V 上的 U(sl2)-模結構 150
6.7 Johnson 圖的 Terwilliger 代數 152
6.8 注記 152
第7章 Grassmann 圖的 Terwilliger 代數 153
7.1 對偶 q-Hahn 型 Leonard 係的若乾性質 153
7.2 量子代數 Uq(sl2) 155
7.3 q-四麵體代數 *q 156
7.4 相關的 Uq(sl2)-模結構和 *q-模結構 157
7.5 Grassmann 圖的若乾性質 159
7.6 標準模 V 上的 Uq(sl2)-模結構和 *q-模結構 162
7.7 Grassmann 圖的 Terwilliger 代數 166
7.8 注記 166
第8章 二部圖的 Terwilliger 代數 167
8.1 二部距離正則圖的偏序集 167
8.2 H(2D；2) 的情形 168
8.3 一類 D = 3 且 b2 = 1 的二部距離正則圖 175
8.4 一類 D = 3 且 b2 > 1 的二部距離正則圖 176
8.5 H(D；2) 圖的情形 177
8.6 一類含有參數 q；s* 的二部距離正則圖 177
8.7 注記 180
第9章 與帶尖三對角係相關的跡及帶尖三對角對的仿射變換 181
9.1 與帶尖三對角係相關的跡 181
9.2 帶尖三對角對的仿射變換 185
9.2.1 一些基本事實 185
9.2.2 三對角係的仿射變換和仿射同構 188
9.2.3 帶尖的三對角係在仿射同構下的分類 194
9.2.4 三對角對的仿射同構 195
9.3 注記 198
第10章 經典和正規化 Leonard 對 199
10.1 量子參數不是單位根的 Leonard 對 199
10.2 經典 Leonard 對和經典 Leonard 係 201
10.3 正規化 Racah 型 Leonard 對及其分類 207
10.4 正規化 Bannai/Ito 型 Leonard 對 212
10.4.1 直徑是奇數的情形 212
10.4.2 直徑是偶數的情形 214
10.5 注記 215
第11章 Leonard 對的構作 216
11.1 有限辛幾何上的 Leonard 對 216
11.1.1 分次偏序集 LO(m；s；2o) 及其性質 216
11.1.2 子偏序集 L0
O(m；s；2o) 218
11.1.3 L0
O(m；s；2o) 的強一緻性 224
11.1.4 利用 L0
O(m；s；2o) 構作 Leonard 對 227
11.2 利用量子代數 Uq(sl2) 構作 Leonard 對 230
11.2.1 LB-TD 型 Leonard 對 230
11.2.2 利用量子代數 Uq(sl2) 構作 Leonard 對 232
11.3 注記 238
第12章 Leonard 三元組的分類 239
12.1 帶有非單位根量子參數 Leonard 三元組的類型 239
12.2 經典 Leonard 三元組 243
12.3 經典 Racah 型 Leonard 三元組與 Z3-對稱 Askey-Wilson 關係式 247
12.4 經典 Krawtchouk 型 Leonard 三元組與 Z3-對稱 Askey-Wilson
關係式 252
12.5 經典 Racah 型 Leonard 三元組的分類 254
12.6 正規化 Bannai/Ito 型 Leonard 三元組 261
12.6.1 直徑是奇數的情形 262
12.6.2 直徑是偶數的情形 263
12.7 注記 263
第13章 Leonard 三元組的構作 264
13.1 q-Racah 型 Leonard 三元組的構作 264
13.2 經典 Racah 型 Leonard 三元組的構作 267
13.3 經典 Krawtchouk 型 Leonard 三元組的構作 271
13.4 Bannai/Ito 型 Leonard 三元組的構作 274
13.4.1 Bannai/Ito 型 Leonard 對 (A；A*) 及其正規化 274
13.4.2 正規化的 Leonard 三元組 (B；B*；B") 276
13.4.3 由 (A；A*) 構作 Leonard 三元組 279
13.5 注記 284
第14章 幾種型的代數模的分類 285
14.1 Bannai/Ito 代數的有限不可約模的分類 285
14.1.1 Bannai/Ito 代數 A(α，β，γ) 285
14.1.2 Bannai/Ito 代數不可約模的分類 288
14.2 Racah 代數不可約模的分類 298
14.2.1 Racah 代數 A(d0；e1；e2) 298
14.2.2 Racah 代數 A(d0；e1；e2) 的生成元在不可約模上的作用 300
14.2.3 Racah 代數不可約模的分類 301
14.3 注記 303
參考文獻 304
在綫試讀
第1章 距離正則圖
　　本章介紹距離正則圖和結閤方案的基本知識，包括交叉錶、Bose-Mesner代數和Terwilliger代數等。
　　1.1 圖的基本知識
　　1.1.1 圖的定義
　　定義1.1 圖是一個偶對，記作，其中X是頂點的集閤，也稱為點集，R是X中所有2-子集（無序對，元素可重復）所組成集閤的一個子集，稱為邊集。頂點集和邊集也可分彆用和錶示。
　　如果X和R都是有限集閤，則。稱為有限圖；否則，稱為無限圖。沒有任何邊的圖稱為空圖，記作.。隻有一個頂點的圖稱為平凡圖。圖中頂點的個數叫做圖的階。連接兩個相同頂點的邊的條數，叫做邊的重數。
　　注記1 一個圖可用一個幾何圖形來描述。在保持圖的頂點和邊的關係不變的情況下，圖形的位置、大小、形狀都是無關緊要的。
　　一條邊的端點稱為與這條邊關聯。反之，一條邊也稱為與它的端點關聯。與同一條邊關聯的兩個端點稱為鄰接，用或錶示頂點x；y鄰接，或它們之間有一條邊；用x y錶示頂點x；y不鄰接。如果兩條邊有一個公共的頂點，則稱這兩條邊鄰接。兩個端點重閤的邊叫做環。沒有環以及沒有重數大於1的邊的圖稱為簡單圖。
　　本書中的圖都是指簡單有限圖。
　　1.1.2 完全圖、二部圖、補圖
　　定義1.2 每一對不同的頂點均有一條邊相連的簡單圖稱為完全圖。n階完全圖記作Kn。
　　定義1.3 設X1和X2是圖。的頂點子集，使，且。的每一條邊的一個端點在X1中，另外一個端點在X2中，則稱。為二部圖，記作。
　　例1.1 圖1.1是一個二部圖，這裏。
　　圖1.1
　　在中，如果X1中的頂點與X2中的每個頂點都相連，則稱。為完全二部圖。若，則完全二部圖記作。
　　圖1.2即為K2；3。
　　圖1.2 K2；3
　　定義1.4 設。是簡單圖，H是一個以為頂點集的圖，且兩個頂點在H中鄰接當且僅當它們在。中不鄰接，則稱H為。的補圖，記作。如圖1.3所示。
　　圖1.3
　　1.1.3 圖的同構、子圖
　　定義1.5 設和是兩個圖。
　　（i）雙射叫做。與間的同構映射，如果當且僅當
　　（ii）若，則這個同構映射。叫做。的自同構映射，簡稱自同構。
　　易證。的全體自同構對映射的作成一個群，叫做。的自同構群，記作。
　　定義1.6 圖叫做的子圖，記作，如果。
　　定義1.7 設X0是圖的頂點集閤X的一個非空子集，以X0作為頂點集，如果對任意的，隻要，就有，那麼稱（X0；R0）為由X0誘導齣的。的子圖，記為，也說是。的導齣子圖。
　　1.1.4 途徑、路、距離
　　定義1.8 圖的一個頂點和邊的交替序列，使得對，邊的端點是和，則稱1是一條連接w0和wl的途徑。w0和wl分彆稱為1的起點和終點。1中邊的數目l稱為它的長。
　　若w0=wl，則稱此途徑為閉的；否則，稱為開的。邊均不相同的途徑稱為鏈。
　　定義1.9 頂點均不同（從而所有邊也均不同）的途徑稱為路。連接不同點w0，w1；；wl的路也可用w0sw1sw2sswl錶示。
　　定義1.10 兩點x；y間的*短路的長度叫做這兩點間的距離，記作，其中為距離函數。
　　顯然，如果點x；y間沒有路，則稱x；y的距離是1，記作。
　　定義1.11 圖。的直徑是。中所有兩點距離的*大值，記作。
　　圖叫做連通的，若直徑是有限的，即對中任兩點x；y，總存在由x到y的路。
　　顯然，距離函數滿足三角不等式：
　　（1.1）
　　定理1.1 設，則。
　　證明 設，則存在u到v的*短路。於是是到的長為k的路。故。同理，可得。故
　　1.1.5 圖的譜
　　一個圖也可以用下麵的鄰接矩陣來刻畫。設。定義。的鄰接矩陣A是階的0-1矩陣，它的行與列均用。的頂點標定，A的（x；y）位置的元素為
　　下麵介紹圖的譜。
　　記，這裏，In是n階單位矩陣，其中稱為A的特徵多項式。易知是關於A的n次特徵多項式。
　　由高斯定理，特徵方程有n個根。因為不一定互異，本書把重集稱為方陣A的譜，記為或
　　這裏，互異，是的重數（即是的mi重根），對於每一個特徵值，mi稱為的代數重數。而對應的所有特徵嚮量加上零嚮量構成一個綫性子空間，稱為與相應的根子空間。它的維數是，這稱為特徵值的幾何重數。
　　例如，完全圖K4的鄰接矩陣為
　　易得K4的譜為
　　A的特徵值也叫做。的特徵值，並且A的特徵多項式也叫做。的特徵多項式，用錶示。
　　定義1.12 由鄰接矩陣A生成的的子代數叫做圖。的鄰接代數或Bose-Mesner代數，記作M。
　　鄰接代數M中的每一個元素都是關於鄰接矩陣A的多項式。因此通過研究Al的性質可以得到關於M的一些性質。
　　引理1.2 圖。中從頂點xi到xj長為l的路的條數等於矩陣Al中（xi；xj）位置的元素。
　　證明 顯然，當l=0和l=1時，結論成立。假設結論對l=L也成立，那麼由頂點xi到xj長為L+1的路對應由頂點xi到xh再到xj的路，其中由xi到xh的路長為L，且xh與xj鄰接。因此
　　即從頂點xi到xj長為L+1的路的條數等於矩陣AL+1中（xi；xj）位置的元素。
　　定理1.3 設是一個直徑為D的連通圖，其鄰接代數為M，則
　　證明 設的兩個頂點x；y的距離為D，不妨設是一條長為D的路，所以對每一個，至少存在一條*短的長為i的路連接w0和wi，且沒有比它更短的路。因此Ai的（w0，wi）位置的元素非零，並且的（w0，wi）位置的元素都為零。由此可知Ai不能用I，A，A2；；Ai.1綫性錶齣。進一步AD在M中綫性無關，故
　　圖。的鄰接代數和譜有十分密切的聯係。如果其鄰接矩陣A有s個不同的特徵值，則因A是實對稱矩陣，故A的*小多項式的次數為s。因此鄰接代數的維數是s，所以關於A的不同特徵值的個數有以下推論。
　　推論1.4 一個直徑為D的連通圖，至少有D+1個不同的特徵值。
　　1.1.6 正則圖
　　定義1.13設。中與頂點x關聯的邊的數目稱為x的度或價。
　　如果一個圖的每一個頂點都具有相同的度，則稱這個圖是正則的。每個頂點的度均為k的正則圖，稱為k-正則圖。
　　下麵給齣正則圖的等價定義和特徵值的性質。我們令j錶示一個每個元素都等於1的列嚮量，J錶示一個每個元素都等於1的矩陣。
　　引理1.5 給定圖，其鄰接矩陣為A，那麼下列條件等價：
　　（i）是正則的；
　　（ii）AJ=JA；
　　（iii）j是A的一個特徵嚮量。
　　證明 由正則圖的定義易知。
　　引理1.6 設。是價為k的正則圖，那麼
　　（i）k是的特徵值；
　　（ii）如果是連通的，那麼k的重數是1（即k是單根）；
　　（iii）對的任意特徵值，有。
　　證明 （i）顯然。
　　（ii）設。是連通圖。要證k是單根，隻需證，其中是A的屬於k的特徵子空間。設，且：令。考慮的第個分量：
　　其中左端P錶示對所有與固定點鄰接的點xi的求和，這樣的xi共有k個。比如：其中。
　　由vj的值的*大性，可得對所有這k個點有。
　　如果k=n，則，即是由生成的一維子空間。
　　如果k　　如此下去，有v的所有分量相等，即存在實數1，使得。這說明。
　　其中。令，與（ii）一樣考慮的第j個分量，則。其中右端錶示對所有與固定點鄰接的的求和。兩端取值，有
　　1.2 強正則圖
　　定義1.14 一個圖。叫做強正則圖，如果它是正則的，不是完全的或空的，並且對於。的任意兩個不同的頂點u和v，同時與u和v鄰接的頂點個數僅依賴於u和v是否鄰接。
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