具体描述
商品参数
| 非线性微分方程 | ||
| 曾用价 | 158.00 | |
| 出版社 | 科学出版社 | |
| 版次 | 1 | |
| 出版时间 | 2011年06月 | |
| 开本 | 16 | |
| 作者 | 傅希林//范进军 | |
| 装帧 | 平装 | |
| 页数 | 367 | |
| 字数 | 462000 | |
| ISBN编码 | 9787030313119 | |
内容介绍
本书旨在介绍非线性微分方程研究的主要内容、典型方法和*新成果，其中包括作者近年的一些研究工作。本书系统地阐述了非线性常微分方程的基本理论、几何理论、稳定性理论、振动理论与分支理论等，还分别介绍厂非线性泛函微分方程及非线性脉冲微分方程的相应理论。本书致力于核心概念的引入、基小定理的阐述、思想方法的揭示，以及非线性微分方程在现代科技领域中的应用。
目录
目录
第1章 非线性微分方程基本理论 1
1.1 解的局部存在性与*一性 1
1.2 解的延展性 15
1.3 解的连续性、可微性 25
1.4 解的整体存在性 31
1.5 非线性泛函微分方程基本理论 38
1.6 非线性脉冲微分方程基本理论 52
附注 62
第2章 非线性微分方程几何理论 63
2.1 自治系统、动力系统、极限集 63
2.2 奇点吸引子 81
2.3 极限环吸引子 109
2.4 混沌吸引子 122
2.5 泛函微分自治系统的周期轨 140
2.6 脉冲微分自治系统的闭轨与混沌 145
附注 156
第3章 非线性微分方程稳定性理论 157
3.1 自治系统的稳定性 157
3.2 非自治系统的稳定性 166
3.3 稳定性比较定理 179
3.4 非自治系统的有界性 186
3.5 关于两个测度的稳定性 192
3.6 泛函微分方程的稳定性 211
3.7 脉冲微分方程的稳定性 223
附注 242
第4章 非线性微分方程振动理论 244
4.1 Sturm比较定理 244
4.2 一阶时滞微分方程的振动性 249
4.3 二阶时滞微分方程的振动性 259
4.4 高阶脉冲微分方程的振动性 264
4.5 抛物型脉冲偏微分系统的振动性 274
4.6 双曲型脉冲偏微分系统的振动性 287
附注 304
第5章 非线性微分方程分支理论 305
5.1 分支的概念 305
5.2 Hopf分支 308
5.3 从闭轨分支出极限环 316
5.4 同宿分支与异宿分支 326
5.5 泛函微分自治系统的分支 338
5.6 具实参数的脉冲微分自治系统的奇点与分支 349
附注 354
参考文献 355
在线试读
第1章 非线性微分方程基本理论
微分方程的基本问题在于求解和研究解的各种属性，众所周知，早在1841年，法国数学家Liouville(1809～1882)证明了Riccati方程
除了某些特殊类型外，一般不能用初等积分法求解，例如，形式上很简单的Riccati方程
就不能用初等积分法求解，在19世纪后半叶，天体力学及其他技术科学提出的一些问题中，需要研究较复杂的微分方程解的局部和全局的性质，但大量的微分方程不能用初等积分法求出其通解，因而提出了直接根据微分方程本身的结构和特点来探讨解的性质。
本章研究非线性微分方程的基本理论．1.1研究微分方程解的局部存在性与*一性．1.2研究解的延展性．1.3研究解对初值与参数的连续性、可微性．1.4研究解的整体存在性．1.5介绍非线性泛函微分方程的基本理论．1.6阐述非线性脉冲微分方程的基本理论.
1.1 解的局部存在性与*一性
考虑如下一阶非线性微分方程
其中
规定x∈Rn的范数或，对于一般的高阶方程，在一定条件下可化成形如方程(1.1.1)的等价方程.
设函数x=(t)在区间上的导数存在，如果把代入方程(1.1.1)，得到在区间上关于t的恒等式
则称z=妒(t)为方程(1.1.1)在区间I上的一个解，求方程(1.1.1)满足某种指定条件f通常称为定解条件）的解的问题称为定解问题，*重要的定解条件就是初值条件，即x(t0)=x0，其中￡o∈R，x0∈R”，求微分方程(1.1.1)满足初值条件的解的问题称为初值问题或Cauchy问题，记为
本节主要研究Cauchy问题(1.1.2)的解的局部存在性与*一性．
证明微分方程初值问题的解的存在性以及*一性主要基于Ascoli-Arzela定理、Schauder不动点定理和Banach压缩映像不动点原理，为此，我们先给出两个概念，设F是定义在区间[a，例上的一个m维实列向量函数族．
一致有界 若2M>O，使得llf(￡)』≤M(Vf∈F，≠∈[a，例)，则称函数族F是一孜有界的.
等度连续 若对，使得时，
对一切，f∈F均有
则称函数族F是等度连续的．
Ascoli-Arzela定理 设F={f(t))是定义在上的一致有界、等度连续的函数族，其中，则从F中必可选取一个在[α,β]上一致收敛的序列
证明 设是区间[α,β]上的全体有理点，
首先，构造函数序列
因为集合有界，所以可选出一个收敛的予序列，同理，集合有界，从而可选出一个收敛的子序列，这样，继续下去，便得可数个收敛的子序列：
其中是的子列．如命，则．
其次，利用Cauchv准则和有限覆盖定理证明{^(t))器，在[d，例上是一致收敛的.
根据的取法知，它在[α,β]的一切有理点上是收敛的，这样，由数列收敛的Cauchy准则知，对，使得m，n > Ns(rk)时，有
根据的等度连续性知，对，使得时，对一切正整数p有
由于，其中，所以由有限覆盖定理知，[α,β]存在有限覆盖．不妨设为．令，则当时，对，必存在某一个，使得，这祥通过插项即得
由函数列收敛的Cauchv准则知，上是一致收敛的，证毕．
Schauder不动点定理 设D是Banach空间E中有界闭凸集，全连续，则T在D上必有不动点.
所谓T:D→D全连续是指，T:D→D是连续的，而且又是紧的．
Banach压缩映像原理 设(X，p)是一个完备的度量空间，是一个非空闭集，若a∈[0，1）使得
则存在*一的，使得．这样的x*称为T的不动点，满足上述条件的算子T称为压缩映像(或压缩算子)．
以上两定理的证明参阅文献[18，19]．
定理1.1.1（Peano，解的存在性定理） 若f(t，x)在空间Rn+1中某一区域
上连续，则初值问题(1.1.2)至少在区间上存在一解，其中.
关于该定理的证明，这里给出Euler折线法、Tonelli逼近法及Schauder不动点法三种证明方法，
方法1 Euler折线法．
以平面系统为例说明其证明思路，从(t0，x0)出发，沿(1.1.2)的方程所确定的线素场向右作直线段，其斜率为f (to，x0)；在这直线段上再取一点(t1，X1)，过此点沿线素场向右再作直线段，其斜率为，(t1，X1)；如此下去，即可得到一条右行折线，同理可得一条左行折线，这条折线称为(1.1.2)的方程过点(to，x0)的Euler折线，当每次所做线段非常小时，这条折线就近似于(1.1.2)的积分曲线，
证明 构造Euler折线，然后使用Ascoli-Arzela定理证之.
首先，构造Euler折线族，即对Vg>0，存在(1.1.2)的一个ε逼近解满足
(1)当t∈J时；
(2)在J上连续，并在J上除有限个点外，处处具有连续导数，而在这有限个点处，其左、右导数存在：
(3)但在导数不存在点处，应理解为右导数（在t=to+h处为左导数）．
以右半区间J+=[to，to+h]为例说明上述的存在性并证明定理的结论成立(对于左半区间类似可证)．
因为，所以，在上一致连续，故对，使得时有
对区间J+进行分割，并使分割细度满足
定义函数如下：
易证这样定义的(t)即满足上述条件(1)、(2)和(3)．
其次，设εm递减趋于零(m→∞)．由刚证得的结论知，对每个，存在(1.1.2)的一个逼近解，它在J+上有定义，m(to)=x0，且
于是在上式中令t= t0得
故在J+上是一致有界、等度连续的，由Ascoli-Arzela定理，存在一致收敛子列，令其极限为c(t)，则．
*后，证是(1.1.2)在J+上的解，
事实上，由的逼近解知
从而
故
由f在R上一致连续及在J+上一致牧敛于(t)知，在J+上一致收敛于．这样，在上式中令k→∞得
由知，(t)是(1.1.2)在J+上的解，证毕，
方法2 7ronelli逼近法．
证明的基本思想是用逐次逼近法作近似解，再用Ascoli-Arzela定理证之．
证明 以右行解为例给出证明，对左行解类似可证，
对（N+表示正整数集合），令
(1.1.3)
首先，说明定义(1.1.3)的合理性，
事实上，当，从而(1.1.3)中第二式右端积分号下的函数有定义，故，且在此区间上有
所以(t，m (t)∈R．
类似地，可以确定上的值，以及
故上有定义，且在此区间上有．
上述过程继续下去，经有限步之后便得m(t)在[to，to+h]上有定义，且在此区间上．
其次，证明有一致收敛子列，且其极限函数为(1.1.2)的解.
事实上，由的定义知，纠且
又由(1.1.3)得
所以在医间[to，to+h]上是一致有界且等度连续的函数族，根据Ascoli-Arzela定理，在区间上存在一致收敛于某一函数的子列．既然每一个都在上连续，因此，其中,根据(1.1.3)得
由于，在有界闭集瓦上连续，从而一致连续，故一致收敛于，这样，在上式中令k→∞即得
用户评价
终于收到了我心心念念的这本《非线性微分方程》，迫不及待地翻开了它。书的装帧设计非常吸引人，封面采用了深邃的蓝色调，点缀着复杂的曲线图案，仿佛预示着书中将要探索的深奥数学世界。我特别喜欢它纸张的质感，厚实而略带韧性，翻阅起来有种沉甸甸的踏实感。 序言部分就给我留下了深刻的印象。作者用一种非常宏大的视角，描绘了非线性微分方程在自然科学和社会科学领域中的广泛应用，从天体运动的混沌现象到经济市场的波动，再到生物体的生长发育，无处不见其身影。这让我对这本书的价值有了初步的认识，也激发了我进一步探索的兴趣。 第一章节的内容，虽然还没有深入到具体的数学推导，但作者通过生动有趣的例子，解释了线性与非线性的本质区别。例如，线性系统中的“叠加原理”和“比例性”在非线性系统中可能完全失效，这常常导致非常复杂和难以预测的行为。作者巧妙地引入了一些直观的比喻，让我这个非数学专业背景的读者也能大致理解这些核心概念。 整本书的排版清晰，符号标注规范，这对于阅读数学类书籍至关重要。我注意到作者在阐述定理和证明时，逻辑严谨，步步为营，并且会穿插一些历史背景的介绍，让我了解这些数学理论是如何一步步发展起来的。这种人文关怀与严谨学术的结合，让学习过程变得更加有趣和有深度。 我非常期待书中后续章节的内容，特别是关于数值解法和稳定性分析的部分。从序言的描述来看，这些章节将是本书的重头戏，也是解决实际问题不可或缺的工具。我希望通过学习这本书，能够真正掌握分析和理解非线性微分方程的工具和方法，从而能够更好地应用到我自己的研究领域。
这本书拿在手里，就有种厚重而扎实的感觉。封面的设计简约大气，没有任何花哨的装饰，但却透着一股严谨的气息。我比较关注的是书中对不同类型非线性方程的分类和特征描述。从目录上看，似乎涵盖了许多重要的方程类型，这对于我系统地学习和掌握这个领域非常有帮助。 我特别想了解的是书中关于“分岔理论”和“混沌吸引子”的阐述。我知道非线性系统在参数变化时，其解的行为可能会发生突变，这被称为分岔，而混沌吸引子则是描绘混沌系统长期演化状态的关键概念。如果这本书能对这些内容进行深入浅出的讲解，并辅以图形化的演示，那将是非常宝贵的学习资源。 作者的写作风格给我一种沉稳而富有条理的感觉。他似乎非常注重逻辑的严密性，无论是概念的引入还是定理的证明，都力求做到滴水不漏。我欣赏这种严谨的治学态度，它能帮助读者建立起坚实的数学基础。 书中在讲解一些复杂概念时，会适当地引用一些实际的物理模型或工程应用作为例子。这让我感觉学习的内容并非是空中楼阁，而是与现实世界有着紧密的联系。这种联系有助于提升学习的积极性和对知识的掌握程度。 我个人比较喜欢在阅读技术书籍时，能够有清晰的章节划分和索引。这本书在这方面做得很好，目录清晰明了，每个章节的主题都非常明确，这使得我可以在需要时快速找到感兴趣的内容。我期待着在后续的学习中，能够深入掌握这些非线性微分方程的分析方法。
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