Banach空间几何理论及应用 下载 mobi epub pdf 电子书 2024

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内容介绍
本书介绍Banach空间几何理论及其在不动点理论的应用。全书分为5章。存介绍一些Banach空间的基本知识、Banach空间的弱拓扑与白反性的基础上，一方面叙述Banach空间几何理论的基本内容，特别讲述了与不动点有关的各种几何性、Banach空间中的各种模和几何常数，同时给出了其存不动点理论、集值映射的不动点理论方面的应用等；另一方面研究了Banach空间几何和逼近性质，包括逼近紧和度量投影的连续性、距离函数的可导性与逼近紧性以及Banach空间几何性质与太阳集等。本书结合国内外相关的研究成果，将Banach空间几何理论与不动点理论有机结合在一起，并给出了其在逼近论方面的部分应用。
目录
目录
前言
第1章 Banach空间的弱拓扑与自反性 1
1.1 预备知识 1
1.2 Bishop-Phelps定理 6
1.2.1 半序Banach空间 6
1.2.2 Bishop-Phelps定理 8
1.3 Krein-Milman定理 11
1.4 Choquet定理 14
1.5 James定理 17
1.6 超幂 25
第2章 与不动点有关的几何性质 31
2.1 预备知识 31
2.2 严格凸性和光滑性 34
2.3 一致凸性和一致光滑性 35
2.4 对偶映射 50
2.5 K一致凸 62
2.6 接近一致凸和接近一致光滑 64
2.7 β-性质 80
2.8 F-凸和P-凸 83
2.9 E-凸和O-凸 86
2.10 UNC 和NUNC 88
2.11 r一致非折 96
2.12 Opial性质 103
2.13 (M)性质 107
2.14 Banach-Saks性质 109
2.15 Dunford-Pettis性质 113
2.16 Pelczynski 性质(V*) 118
第3章 Banach空间中的模和常数 124
3.1 弱正交系数 124
3.2 弱收敛序列系数 128
3.3 与NUS有关的系数R(X) 134
3.4 U凸模 139
3.5 广义弱*凸模 145
3.6 广义Jordan-von Neumann常数 150
3.7 广义James常数 158
3.8 新常数JX,p(t) 166
第4章 集值映射不动点理论 175
4.1 集值映射 175
4.2 (DL)-条件 178
4.3 (D)性质 181
4.4 蕴含集值不动点性质的几何条件 183
第5章 Banach空间几何和逼近性质 192
5.1 逼近紧和度量投影的连续性 192
5.2 距离函数的可导性与逼近紧性 206
5.3 Banach空间几何性质和太阳集 212
参考文献 224
在线试读
第1章 Banach空间的弱拓扑与自反性
　　1.1 预备知识
　　设是Banach空间，用和分别表示Banach空间X的单位球及单位球面。用表示X的对偶空间，即为X上的有界线性泛函的全体。众所周知，线性空间X在赋予范数下为Banach空间。
　　称分离X，是指对于，存在y2Y满足；其中，n为自然数。若，则称为X的弱拓扑。如果X是对偶空间，即存在Banach空间Y满足，则称为X的弱拓扑。
　　记满足则JX为从X到JX(X)上的等距线性映射。若，则称X是自反的Banach空间。简记为。
　　引理1.1.1 设满足。则存在使得，其中称为f的核空间。
　　证明 设f6=0，则满足f(x0)6=0，于是，对于8x2X有x=y+ax0，其中。进而有；故，即当n=1时，结论成立。
　　假设时结论成立。当k=n时，考虑则有。由前面假设，存在满足若记，则对于有，即有。故又存在an2R满足因此，
　　若X是有限维Banach空间，则强拓扑与弱拓扑是等价的；对于无穷维Banach空间来说，强拓扑强于弱拓扑。对于凸集有下面结果。
　　引理1.1.2 (Mazur)设为有界凸集，则。
　　证明 若存在，则对应用分离定理，即存在，满足从而存在，使得，则存在，使得则。于是由(1.1.1)式，有这与矛盾，故。
　　注1.1.3 设，记表示的闭凸包，它是包含的*小闭凸集。若即，则存在满足，其中。
　　注1.1.4 弱Banach-Saks性质：设，若，且存在子列，满足则称X具有弱Banach-Saks性质。
　　Banach-Saks性质：若对任意有界序列，都存在子列及满足则称X具有Banach-Saks性质。
　　定义1.1.1 设X0是X的子集，对任意x2X，定义称为x到X0的距离。
　　引理1.1.5 (Riesz引理)设X0是X的真闭子空间，则
　　证明 由于对任意x2X，都有，故只需证明，对任意的，都存在，满足。
　　由于X0是X的真闭子空间，故存在，使得。由的定义知，对于，存在，满足
　　令则对于任意，有即
　　定义1.1.2 设记若对任意x2X，有，则称C是可逼近集；若对任意x2X，有PC(x)为单点集，则称C是Chebeshev集。
　　注1.1.6 若X0是X的可逼近子空间，则存在，满足；若对任意；都有；则X0是X的不可逼近子空间。
　　例1.1.1 在中，令则是X0的不可逼近子空间。
　　定义1.1.3 设为X中的一个序列，若对X中每个元x，存在*一数列，使得其中级数是按范数收敛的，则称X具有可列Schauder基，而叫做X的一个Schauder基，an称为x关于基fxng的第n个坐标。
　　引理1.1.7 (Helly定理)设X是赋范线性空间，为X上某n个有界线性泛函，为n个复数，是某一正数。则对于任意正数，存在，使其满足条件：
　　(1)；
　　(2)的充要条件是对于任意n个复数均有
　　证明 必要性。由条件(1)，(2)知，对任意n个复数，及任意，存在使得：由的任意性，有：
　　充分性。不妨设是线性无关的。考虑从X到n维复欧氏空间Cn的映射T，满足则T是满线性算子，事实上，若T的值域是Cn的m维(m　　于是，取X的n个元，使得当复数满表示半径为以原点为心的球)，则即包含着内以原点为心，以2为边长的n维开方体，当然也必然包含Cn的一个原点为心的球。
　　*后，用归谬法推出结论。反之，假设原命题不成立，则必存在某正数使得X中不存在满足定理的条件(1)，(2)的，即注意到与为两个不交的凸集，且由上述论证知。于是，当把Cn看成n维实线性空间时，由于由Eidelheit定理知，存在X上的实有界线性泛函，使得令泛函显然式变为由于必存在不均为0的n个复数，使得由(1.1.2)式中的元y以及元b的假设，可得注意到是球域，均为线性泛函，故由复数的特点及以上证明得即可得到由于f线性无关，故，从而有这与定理假设矛盾。
　　引理1.1.8 (Zorn)设X是半序集，若其每一个全序子集都有一个上界，则X有极大元。
　　1.2 Bishop-Phelps定理
　　1.2.1 半序Banach空间
　　定义1.2.1 称为凸集是指，对有
　　定义1.2.2 设是半序Banach空间，K是X中的闭凸集。满足
　　(1)若x2；则；
　　(2)若x2K；则x=μ；则称K是X的闭凸锥。
　　设K是X的闭凸锥，规定
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