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商品參數

代數選講
	曾用價	68.00
	齣版社	科學齣版社
	版次	1
	齣版時間	2018年03月
	開本
	作者	王憲棟
	裝幀	平裝
	頁數	0
	字數	255000
	ISBN編碼	9787030566621

內容介紹
本書是代數學的入門讀物，主要討論基本概念與方法。從直觀例子分析到抽象概念引入，循序漸進，不斷深化。全書共24講，前12講主要對代數學的基礎性內容進行梳理，包括群、環、域、模及嚮量空間與綫性映射的定義與例子，以及一些基本結論的推導；後12講介紹代數學中的一些經典構造方法，包括張量代數、對稱代數、李代數的泛包絡代數、量子群、Hopf-代數等，還介紹瞭頂點算子代數的概念與初步性質。
目錄
目錄
前言
第1講 中國剩餘定理 1
第2講 算術基本定理 7
第3講 代數數與超*數 14
第4講 同態基本定理 19
第5講 群在集閤上的作用 25
第6講 嚮量空間基的存在性 30
第7講 綫性映射與矩陣 36
第8講 多綫性映射與行列式 42
第9講 綫性變換的特徵值與特徵嚮量 49
第10講 Jordan-Chevalley分解 55
第11講 嚮量空間的典範構造 60
第12講 群在嚮量空間上的綫性作用 66
第13講 非結閤代數 74
第14講 有限生成可換群的結構 81
第15講 張量代數 86
第16講 李代數sl2及其錶示 94
第17講 Hopf-代數的概念 103
第18講 量子群Uq(sl2)及其錶示 113
第19講 模的張量積與局部化 126
第20講 Hilbert零點定理 135
第21講 GL(V )與多元多項式 142
第22講 Yoneda引理 153
第23講 頂點代數與局部係統 164
第24講 VIR與VOA 178
參考文獻 190
索引 192
在綫試讀
第1講 中國剩餘定理
　　中國剩餘定理是由下列問題衍生齣來的：今有物不知其數，三三數之剩二；五五數之剩三：七七數之剩二。問物幾何？意思是說：有一些物品，不知道它的數量，如果三個三個地數*後剩二個，五個五個地數*後剩三個，七個七個地數*後剩二個，問這些物品共有多少個？
　　《孫子算經》中的這道數學問題是我國古代數學思想“大衍求一術”的具體體現[1]，針對這道題給齣的解法是。
　　中國剩餘定理的一般形式為如下定理。
　　定理1.1 （中國剩餘定理）設R是有單位元的交換環，Ps是R的兩兩互素的理想，則有典範滿射環同態同態的核為所有這些理想的交。
　　本講的主要目的是詳細解釋並嚴格證明上述定理，證明中用到的方法將用於上述古典問題的求解，也由此說明上述解法的閤理性。這個定理涉及有單位元的交換環，這個抽象的數學概念有一個重要特例：整數環。因此，我們首先討論整數環的構造與定義，並假定自然數及其運算等基本知識是讀者所熟悉的。
　　自然數的集閤通常記為，它有兩個運算：加法“+”與乘法。這兩個運算滿足一些通常的運算規則。例如，有加法結閤律、交換律、零元素（自然數0），有乘法結閤律、交換律、單位元（自然數1），還有乘法關於加法的分配律等。
　　對兩個自然數a，b，稱a小於b（記為aa），如果存在非零的自然數c，使得b=a+c；對任意的自然數a；b，必有a=b或ab或a=b，則記a>b（a大於等於b）。類似地，可以定義a6b（a小於等於b）。
　　定義1.2 給定自然數的集閤N，構造新集閤，這是集閤的通常直積。是如下定義的二元關係。
　　對任意元素定義子集稱其為元素（a；b）所在的等價類。令稱其為整數的集閤，其中的元素稱為整數（一個整數就是一個“子集”）。
　　嚴格來講，。是直積集閤上的一個等價關係，而Z是集閤關於等價關係。的商集，一個整數就是一個等價類（見下麵的定義）。
　　定義1.3 集閤S上的一個二元關係是的一個子集，元素也記為。按照通常的做法，任何二元關係R都將用統一的符號“。”錶示。稱二元關係。是一個等價關係，如果它滿足：
　　（1）反身性；
　　（2）對稱性；
　　（3）傳遞性。
　　集閤S上的任何一個等價關係，誘導該集閤關於的商集，其元素形如，即商集中的元素[x]（有時也記為1x）稱為原集閤S中的元素x所在的等價類，而元素x隻是等價類[x]中的元素之一，也稱其為等價類[x]的代錶元。
　　根據等價關係的定義可以直接驗證：這些不同的等價類是集閤S的一些互不相交的子集，並且它們的並集是整個集閤S。此時，這些等價類構成瞭集閤S的一個“劃分”：把集閤S錶示成互不相交的子集並的分解式。
　　反之，任意給定集閤S的一個劃分，可以*一確定集閤S上的一個等價關係使得元素x當且僅當它們屬於劃分的同一個子集。此時，等價關係。確定的等價類的集閤構成原來給定的劃分。
　　因此，相對抽象的集閤上等價關係的概念與比較直觀的集閤劃分的概念本質上是一樣的。但是，考慮到和其他數學概念的相容性，以後主要采用等價關係這一術語。
　　注記1.4 在上述整數集閤的定義中，元素所在的等價類，一般記為。特彆地，當b=0時，整數可以等同於自然數；當時，整數記為，稱為負整數。
　　考慮映射，不難驗證：這是一個單射。即，當時。從而，自然數集閤N可以看成整數集閤Z的一部分。當給齣整數的加法與乘法運算之後，還可以說明：上述映射關於這兩個運算是相容的。即，先運算後映射的結果與先映射後運算的結果一緻。
　　命題1.5 整數集閤Z可以錶示為自然數集閤N與負整數的集閤的不交並：N[負整數集閤。
　　證明若a=b，則是自然數；若a　　注記1.6 通過自然數的運算，可以按照下述方式定義整數的運算。
　　加法：
　　乘法：
　　定義1.7 整數集閤Z，帶有上述加法與乘法運算，滿足通常的運算規則。關於加法有：結閤律、零元素、負元素、交換律；關於乘法有：結閤律、單位元、交換律；關於加法與乘法有：分配律。稱Z為整數環。
　　注記1.8 關於整數乘法結閤律的驗證，有等式類似有下列等式從而，乘法的結閤律成立。這裏用到自然數運算的結閤律、分配律等。
　　練習1.9 驗證整數加法與乘法運算的閤理性（一個整數是一個等價類，閤理性是指運算結果與等價類中代錶元的選取無關）；驗證其加法與乘法運算的所有規則。整數之間也可以定義小於等於關係：對任意兩個整數則記。
　　類似於自然數的情形，當時，也記b>a，稱整數b大於等於a；當aa，稱整數b大於a。
　　定義1.10 集閤G，帶有一個運算（稱為乘法），滿足結閤律，有單位元，每個元素有逆元，則稱G是一個群。若運算還滿足交換律，則稱G是一個可換群（也稱為Abel群）。此時，群的運算稱為加法。
　　定義1.11 集閤R，帶有加法與乘法兩個運算，並滿足上述整數的八條運算規則，稱R是一個有單位元的交換環。當乘法交換律未必成立時，稱R是一個有單位元的環，簡稱環。
　　由上述討論可知，整數集閤Z關於加法構成一個可換群，其加法零元素為自然數0；整數集閤Z關於加法與乘法構成一個有單位元的交換環，其乘法單位元為自然數1。
　　定義1.12 設R，S是有單位元的環是一個映射。稱是環的同態，如果它保持單位元，保持加法與乘法運算。即，有下列等式這裏分彆錶示環R與S的單位元（以後均可以簡寫為1）。
　　稱是環的一個同構映射，如果它是環的同態，也是雙射。
　　稱環R與S是同構的，如果它們之間存在同構映射。當'是單射環同態時，環R可以看成環S的一個子環（環的子環是指：包含單位元，且關於環的兩個運算封閉的非空子集）。
　　定義1.13 設R是有單位元的環，稱R的非空子集I是R的理想，如果它滿足條件：
　　若I是環R的理想，且，則稱I為R的真理想。由理想的定義直接看齣：環R的任何真理想不可能包含R的單位元1。
　　例1.14 對整數環，它是由n的所有整數倍數構成的子集，則I是整數環Z的一個理想。在第2講將證明：整數環Z的任何理想都具有這種形式。
　　練習1.15 （1）設是環的同態，定義同態的核同態的像。證明：是環R的理想，是環S的子環。
　　（2）設是環R的理想，定義理想的和：與積：有限和。證明：與都是R的理想。
　　（3）對環R的有限個理想，歸納定義它們的和與積，並說明它們還是R的理想。
　　（4）環R的任意多個理想的交還是R的理想。
　　提示 根據理想的定義及理想運算的定義，容易驗證這些結論成立。
　　通過環R的理想I，定義R上的一個二元關係可以驗證：。是一個等價關係，從而有商集：在集閤R=I上定義兩個運算根據理想的定義條件可以證明（見下麵引理）：這兩個運算的定義閤理，且關於有單位元的環的條件都成立。因此，商集R=I是一個有單位元的環，稱其為環R關於其理想I的商環。
　　由乘法的定義不難看齣：當R是可換環時，商環R=I也是可換環。
　　引理1.16 上述加法與乘法運算定義閤理：與代錶元的選取無關。
　　證明 隻證明加法運算定義的閤理性，乘法情形的證明是類似的。
　　設，隻要證明：根據等價關係。的定義，有。再根據理想的定義，直接得到即。
　　定義1.17 設R是有單位元的交換環，稱R的真理想I是R的素理想，如果它滿足條件：對或。
　　稱R的兩個理想I，J是互素的，如果它滿足條件：I+J=R。
　　稱R的真理想J是極大理想，如果它不嚴格包含於R的任何其他真理想內。即，對R的任何理想K，由J。K，必有K=J或者K=R。
　　引理1.18 設Ps是有單位元的交換環R的理想，且Q與每個都互素，則Q與乘積理想也是互素的。
　　證明 由條件，要證明。隻要證明：Ps。利用乘積理想的定義容易看齣此包含關係成立。
　　中國剩餘定理的證明按照自然的方式定義環的直積（對應分量做加法與乘法運算）它也是一個有單位元的交換環。容易驗證，典範映射：）保持環的加法與乘法運算。因此，它是一個環同態。
　　另外，對固定的m，由定理條件及上述引理不難看齣即，在商環R=Pm中，[a]=[am]。因此，上述映射為滿射。
　　*後，不難看齣同態的核為所有這些理想的交，從而定理結論成立。
　　例1.19 對整數環Z，任何整數m確定它的一個理想I=（m），它由m的所有倍數構成，也稱為主理想。相應於I的商環為剩餘類環在環Z=（m）中，加法與乘法也稱為模m的加法與乘法。
　　對，分彆有剩餘類環。考慮典範映射由中國剩餘定理可知，這是一個滿射同態。
　　特彆地，對像元素，根據上述定理證明中的做法，由等式得到，由等式得到，由等式得到於是，是它的一個原像，這就是前麵提到的古典數學問題的一個解。
　　注記1.20 在中國剩餘定理中的典範映射是環的滿同態，它的核是理想的交此時，有等式事實上，利用上述證明中的等式，隻要對兩個理想的情形證明即可。通過取固定的元素使得中的元素。
　　特彆地，對例1.19中的整數環情形，我們得到關於理想的等式:這涉及整數分解的問題，詳見第2講的內容。
　　注記1.21 在這一講我們主要給齣瞭有單位元的環、有單位元的交換環、環的理想與同態等概念，整數環是它的一個*基本的例子。在第2講給齣多項式環的構造之後，將會有大量環的例子自然齣現。
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