高等微积分教程(上)/一元函数微积分与常微分方程/刘智新 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

作  者:刘智新//闫浩//章纪民 著作 定  价:32 出 版 社:清华大学出版社 出版日期:2014年09月01日 装  帧:平装 ISBN:9787302381013 ●暂无

内容简介

本教材是编者在多年的教学经验与教学研究的基础上编写而成的.教材中适当加强了微积分的基本理论，同时并重微积分的应用，使之有助于培养学生分析问题和解决问题的能力.书中还给出了习题答案或提示，以方便教师教学与学生自学.
教材分为上、下两册, 此书是上册,内容包括实数与实数列的极限、一元函数极限与连续、一元函数导数与导数应用、一元函数积分与广义积分、常微分方程.
本书可作为大学理工科非数学专业微积分课程的教材.

高等微积分教程（上）：一元函数微积分与常微分方程 这本书是高等微积分系列教材的开篇之作，旨在为读者构建扎实的一元函数微积分和常微分方程理论基础。它不仅涵盖了传统微积分的核心概念，更注重从不同角度审视和深化理解，为后续更复杂的数学学习奠定坚实的地基。全书逻辑严谨，例证丰富，力求让读者在掌握抽象概念的同时，体会数学的严密性与普适性。 第一部分：函数与极限 本部分是整个微积分体系的基石，我们将从最基本的概念出发，逐步深入。 函数的基本概念： 我们将回顾和梳理函数的三要素：定义域、值域和对应法则，并重点分析各种常见函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。函数是描述自然界和社会现象中变量之间关系的重要数学工具，理解函数的本质对于掌握微积分至关重要。我们将通过大量的实际例子，例如物理学中的运动轨迹、经济学中的成本收益模型，来展示函数在不同领域的应用，激发读者对数学建模的兴趣。 数列的极限： 数列极限是理解函数极限的预备知识。我们将严格定义数列的收敛与发散，并介绍ε-N语言这一重要的数学语言，用于精确描述极限的含义。在此基础上，我们将探讨无穷数列的性质，如单调有界定理，它为判断数列的收敛性提供了一种重要的方法。理解数列的极限，能够帮助我们建立对“无穷”这个概念的直观认识，为后续进入函数极限打下基础。 函数的极限： 这是微积分的核心概念之一。我们将给出函数在一点处以及在无穷远处的极限的严格定义，并深入剖析极限存在的条件。我们会详细讲解极限的四则运算法则，以及夹逼定理、单调有界定理等重要工具，帮助读者熟练地求解各种函数的极限。理解函数极限，意味着我们能够描述函数在某个点附近的行为，这是研究函数变化率和累积效应的前提。我们将通过图像和数值模拟，直观地展示极限的形成过程，让抽象的定义变得生动具体。 无穷小与无穷大： 作为极限概念的补充和深化，我们将讨论无穷小和无穷大这两个重要的概念。通过比较无穷小和无穷大的“速度”，我们将引入“高阶无穷小”和“等价无穷小”的概念，这些工具在求解不定式极限时具有极其重要的实用价值，能够极大地简化计算过程。我们将演示如何利用这些概念来分析函数的局部行为，为后续的泰勒展开等内容打下铺垫。 连续性： 在掌握了极限的概念后，我们将进入函数的连续性。我们将给出函数在一点连续的定义，并进一步推广到区间的连续性。我们还将重点分析连续函数的性质，特别是介值定理和极值定理，这些定理在证明许多数学问题时扮演着至关重要的角色。连续性是微积分研究的“常规”背景，大多数微积分的定理都基于函数的连续性假设。我们将通过实例说明，不连续函数可能带来的特殊情况，从而凸显连续性的重要性。 第二部分：导数与微分 导数是微积分的核心概念，它描述了函数的变化率，是研究函数性质的关键工具。 导数的概念与计算： 我们将从一个引人入胜的实际问题出发——“瞬时速度”——来引入导数的定义，即函数在某一点的变化率。我们将详细讲解导数的几何意义（切线的斜率）和物理意义（瞬时速度）。在此基础上，我们将系统地介绍基本初等函数的导数公式，并详细推导和练习导数的四则运算法则、复合函数求导法则（链式法则）以及反函数求导法则。这些法则构成了导数计算的核心工具，熟练掌握它们是解决后续问题的基础。我们将通过大量的例子，展示如何利用这些法则计算各种复杂函数的导数。 微分的概念： 我们将区分“微分”和“导数”这两个密切相关但又有所区别的概念。我们将给出微分的定义，并解释它与导数的关系，以及微分在近似计算中的应用。通过理解微分，我们可以更直观地感受到函数在某一点微小变化的“线性”近似。 高阶导数： 在计算了一阶导数后，我们将进一步探讨高阶导数，即导数的导数。我们将介绍二阶、三阶乃至任意阶导数的概念，并给出计算高阶导数的一些技巧。高阶导数在描述函数的凹凸性、曲率以及更深入的函数逼近（如泰勒公式）中起着至关重要的作用。 微分中值定理： 这是微积分理论中一组极其重要的定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。我们将严格证明这些定理，并详细阐述它们的几何意义和数学含义。中值定理不仅是理解导数性质的关键，更是许多重要数学结论的出发点，例如洛必达法则的证明以及导数与函数单调性、极值等性质的联系。我们将通过丰富的几何和物理背景来帮助读者理解这些定理的直观意义。 洛必达法则： 针对不定式极限（如 0/0 型和 ∞/∞ 型），我们将系统地介绍和推导洛必达法则。我们将详细讲解洛必达法则的使用条件和注意事项，并通过大量的实例演示如何运用洛必达法则高效地求解这类极限问题。掌握洛必达法则，将极大地提高求解极限的效率和能力。 导数的应用： 本部分是导数知识的综合应用。我们将探讨导数在分析函数性质方面的广泛应用，包括： 单调性与极值： 利用导数判断函数的单调区间，并找出函数的局部极值点。我们将深入分析导数与函数增减性的关系，并给出求极值的具体步骤。 凹凸性与拐点： 利用二阶导数判断函数的凹凸性，并找出函数的拐点。我们将解释凹凸性如何影响函数的图像形状，以及拐点所代表的曲率变化。 函数图像的绘制： 综合运用导数、极值、凹凸性等信息，指导读者如何准确地绘制复杂函数的图像。我们将提供一系列步骤和技巧，帮助读者系统地分析函数，从而绘制出精确的图像。 曲率： 简要介绍曲率的概念，它是衡量曲线弯曲程度的量，通常与二阶导数相关。 相关变化率问题： 解决涉及两个或多个变量之间存在函数关系，且它们的变化率相互关联的问题。我们将通过具体的例子，例如几何图形尺寸的变化，来展示如何建立变量之间的关系，并利用导数求解相关变化率。 第三部分：积分与微分方程 在深入研究了函数的“瞬时变化”后，我们将转向研究函数的“累积效应”，这便是积分的核心思想。 不定积分： 我们将引入不定积分的概念，即导数的逆运算。我们将给出不定积分的定义，并讨论不定积分的性质。在此基础上，我们将系统地介绍基本积分公式，并重点讲解积分的线性性质。我们将通过大量的练习，帮助读者熟练地掌握基本函数的积分计算。 定积分： 我们将从“求面积”这个直观问题出发，引入定积分的概念。我们将给出定积分的严格定义，并探讨定积分的几何意义。我们将详细阐述牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理），这是连接微分和积分的桥梁，它极大地简化了定积分的计算。我们将通过各种类型的例子，演示如何应用微积分基本定理求解定积分。 定积分的应用： 定积分在求解几何问题和物理问题方面有着广泛的应用，包括： 平面图形的面积计算： 利用定积分求解直线、曲线围成的平面图形的面积，包括一般区域的面积。 旋转体的体积计算： 利用定积分求解由曲线绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积。 曲线的弧长计算： 利用定积分计算平面曲线的长度。 物理应用： 简要介绍定积分在计算功、压力、质心等物理量中的应用。 常微分方程入门： 本部分我们将进入常微分方程的初步探索。我们将首先给出常微分方程的定义、阶数和解的概念。我们将介绍几种最简单的、最基本类型的常微分方程的解法，例如： 可分离变量方程： 讲解如何识别和求解可分离变量的微分方程。 线性一阶微分方程： 介绍求解线性一阶微分方程的方法，包括常数变易法和积分因子法。 全微分方程： 讨论全微分方程的判断条件和求解方法。 其他简单类型： 可能会提及一些其他易于求解的特殊类型的常微分方程。 我们将通过丰富的例子，展示常微分方程在描述自然现象和社会规律中的重要作用，例如人口增长模型、放射性衰变模型、电路模型等，从而激发读者对微分方程的进一步学习兴趣。 全书在编写过程中，始终贯穿着“由浅入深，由易到难”的教学思路。我们力求在概念的引入上尽可能直观，在定理的证明上力求严谨，在例题的选择上力求典型，在习题的设计上力求多样。我们相信，通过对本书内容的系统学习和深入理解，读者将能够牢固掌握一元函数微积分和常微分方程的基础知识，为未来在科学、工程、经济等各个领域中应用数学工具打下坚实的基础。