俄罗斯数学教材选译 数学分析讲义 阿黑波夫 第3版 王昆扬译 高等教育出版社 数学类专业本 pdf epub mobi txt 电子书 下载 在线阅读 2026

 

俄罗斯数学教材选译

数学分析讲义第3版

 

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基本信息

书名:俄罗斯数学教材选译?数学分析讲义(第3版)

：65.00元

作者:阿黑波夫

出版社：高等教育出版社

出版日期：2008年6月1日

ISBN：9787040183061

字数：

页码：550

版次：第2版

装帧：平装

开本：

商品重量：739 g

编辑推荐

 

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《数学分析讲义(第3版)》可供数学类专业的本科生、研究生、教师和研究人员参考使用。

内容提要

 

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《数学分析讲义(第3版)》是俄罗斯莫斯科大学数学力学系现行的数学分析课程的教材，反映了作者较新的数学教学思想与方法。通过《数学分析讲义》可了解近年来俄罗斯大学数学系的数学分析课的教学与改革的情况。全书共分四个部分21章。部分(第1～6章)为单变量函数的微分学，第二部分(第7～14章)为黎曼积分、多变量函数的微分学，第三部分(第15～18章)为函数级数与参变积分，第四部分(第19～21章)为多重黎曼积分、曲面积分。书末附有用于讨论班和考试的示范性问题和习题。

目录

 

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《俄罗斯数学教材选译》序
原书的序
部分 单变量函数的微分学
章 引论
讲
§1．集合集合的运算．集合的笛卡儿乘积．映射和函数．
第二讲
§2．对等的集合可数集和不可数集连续统的势
第三讲
§3．实数
第四讲
§4．实数集的完备性
55．关于集合的分离性的引理，关于嵌套闭区间系的引理以及关于收缩闭
区间序列的引理
第二章 数列的极限
第五讲
§1．数学归纳法、牛顿二项式以及伯努利不等式
§2．数列、无穷小数列和无穷大数列及其性质
第六讲
§3．数列的极限．
§4．不等式中的极限过程
第七讲
§5．单调数列．魏尔斯特拉斯定理．数“e”和欧拉常数
第八讲
§6．关于有界数列存在部分极限的波尔查诺一魏尔斯特拉斯定理
§7．数列收敛的柯西准则
第三章 函数在一点处的极限
第九讲
§1．数值函数的极限的概念
§2．集合基．函数沿着基的极限
第十讲
§3．在不等式中取极限
§4．函数沿着基存在极限的柯西准则
第十一讲
§5．柯西的收敛定义与海涅的收敛定义的等价陛．
§6．关于复合函数的极限的定理
§7．无穷小函数的阶
第四章 函数在一点处的连续性
第十二讲
§1．在一点处连续的函数的性质
§2．初等函数的连续性
第十三讲
§3．重要的极限
§4．函数在集合上的连续性
第十四讲
§5．闭区间上的连续函数的一般性质
第十五讲
§6．一致连续的概念．
§7．闭集和开集的性质．紧致性．紧致集上的连续函数
第五章 单变量函数的微分
第十六讲
§1．函数的增量．函数的微分和导数
第十七讲
§2．复合函数的微分
§3．微分法则
第十八讲
§4．高阶导数和高阶微分
§5．函数在一点处的增与减
第十九讲
§6．罗尔定理，柯西定理以及拉格朗日定理．
第二十讲
§7．拉格朗日定理的推论．
§8．一些不等式
§9．以参数形式给出的函数的导数
第二十一讲
§10．不定式的展开
第二十二讲
§11．局部泰勒公式
§12．带有一般型余项的泰勒公式
第二十三讲
§13．泰勒公式对于某些函数的应用
第二十四讲
§14．借助于导数研究函数．极值点凸性
第二十五讲
§15．拐点
第二十六讲
§16．插值
第二十七讲
§17．割线法和切线法(牛顿法)．快速计算
第六章 不定积分
第二十八讲
§1．真实原函数．可积函数
第二十九讲
§2．不定积分的性质
第三十讲
补充．按海涅方式的极限概念向沿集合基收敛的函数的推广

第二部分 黎曼积分多变量函数的微分学
第七章 定积分
第八章 黎曼积分理论的基本定理
第九章 反常积分
第十章 曲线的长度
第十一章 若尔当测度
第十二章 勒贝格测度论与勒贝格积分论初步.斯蒂尔切斯积分
第十三章 一般拓扑学的某些概念.度量空间
第十四章 多变量函数的微分学
第三部分 函数级数与参变积分
第十五章 数值级数
第十六章 函数序列与函数级数
第十七章 依赖于参数的积分
第十八章 傅里叶级数和傅里叶积分
第四部分 多重黎曼积分 曲面积分
第十九章 多重积分
第二十章 曲面积分
第二十一章 一般的斯托克斯公式
用于讨论班和考试的示范性问题和习题
参考文献
名词索引

 

作者介绍

 

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作者：(俄罗斯)阿黑波夫

文摘

 

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序言

 

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从上世纪50年代初起，在当时全面学习苏联的大背景下，国内的高等学校大量采用了翻译过来的苏联数学教材。这些教材体系严密，论证严谨，有效地帮助了青年学子打好扎实的数学基础，培养了一大批优秀的数学人才。到了60年代，国内开始编纂出版的大学数学教材逐步代替了原先采用的苏联教材，但还在很大程度上保留着苏联教材的影响，同时，一些苏联教材仍被广大教师和学生作为主要参考书或课外读物继续发挥着作用。客观地说，从解放初一直到文化大革命前夕，苏联数学教材在培养我国高级专门人才中发挥了重要的作用，起了不可忽略的影响，是功不可没的

 

 

现代数学分析的基石：一套深入浅出的理论体系 数学分析，作为现代数学的基石，是理解微积分、微分方程、复变函数、拓扑学等众多高级数学分支的必备工具。它不仅是数学类专业本科生的必修课程，更是物理学、工程学、经济学、计算机科学等领域研究人员不可或缺的理论支撑。本书籍旨在为读者提供一套严谨、系统且富有启发性的数学分析理论体系，帮助学习者在掌握基本概念和定理的同时，深刻理解数学分析的精髓与逻辑。 第一部分：实数理论与数列极限 数学分析的起点在于对实数系统的深入理解。本书将首先构建完整的实数理论体系，包括集合、上确界与下确界原理，以及完备性公理。这些基础概念是后续一切分析理论的根基。通过对实数性质的充分阐述，读者将能够清晰地认识到实数轴的连续性与无隙性，为理解极限的概念奠定坚实的基础。 接下来，我们将正式引入数列极限的概念。从直观的定义出发，逐步过渡到ε-δ语言的严谨表述。本书将详细阐述收敛数列的各种性质，例如唯一性、有界性、保号性以及和、差、积、商的极限运算。我们会通过大量的例题和习题，帮助读者熟练运用极限的定义和性质解决实际问题，例如判断数列的收敛性、计算数列的极限值。 此外，本书还将深入探讨一些重要的数列，如调和数列、几何数列、以及与e相关的数列。这些特殊数列的分析不仅能加深对极限概念的理解，更能为后续函数极限的学习提供重要的铺垫。我们会特别关注单调有界数列的收敛性定理，这是判断数列是否收敛的强大工具，也是许多重要数学常数（如e）得以定义的理论基础。 第二部分：函数极限与连续性 在掌握了数列极限的基础上，本书将自然而然地过渡到函数极限的概念。我们将区分函数在某点处的极限与数列极限的不同之处，并同样采用ε-δ语言来严谨地定义函数极限。本书将系统介绍函数极限的性质，包括唯一性、局部有界性、局部保号性以及极限的四则运算。 为了更有效地计算函数极限，本书将详细讲解各种求极限的方法，包括但不限于： 代入法： 对于连续函数，直接代入即可得到极限值。 约简法： 利用因式分解、有理化等技巧，消去零因子，简化表达式后再求解。 等价无穷小代换： 学习和掌握常见的等价无穷小，并熟练运用其进行极限计算。 洛必达法则： 当遇到0/0或∞/∞型未定式时，掌握洛必达法则的应用条件和技巧。 夹逼准则（三明治定理）： 对于难以直接求解的极限，将其夹在两个极限相等的函数之间，从而求得其极限。 函数极限是理解函数连续性的前提。本书将在此基础上，严谨地定义函数在一点处的连续性，并推广到区间上的连续性。我们将深入探讨连续函数的性质，包括： 初等函数的连续性： 证明多项式、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数等初等函数在其定义域内的连续性。 连续函数的四则运算的连续性： 证明连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍然是连续的。 复合函数的连续性： 证明连续函数的复合仍然是连续的。 本书还将重点阐述几个极其重要的连续函数性质定理，它们构成了实数分析理论的核心： 有界性定理： 闭区间上连续函数一定在该区间上取得最大值和最小值。 介值定理： 闭区间上连续函数一定能取到介于其最大值和最小值之间的任何值。 零点定理： 闭区间上连续函数，若端点函数值异号，则在区间内至少存在一点，使得函数值为零。 这些定理不仅在理论上至关重要，在解决实际问题时也具有强大的应用价值。 第三部分：导数与微分 导数是数学分析中一个极其核心的概念，它描述了函数变化的瞬时速率，是刻画函数局部性质的关键工具。本书将从几何和物理两个角度出发，生动地引入导数的概念，并给出其严谨的数学定义。我们将区分左导数和右导数，并探讨它们与导数存在的关系。 本书将系统介绍导数的计算方法，包括： 基本初等函数的导数公式： 熟练掌握常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的导数。 导数的四则运算： 证明并应用导数的和、差、积、商的求导法则。 复合函数求导法则（链式法则）： 这是求解复杂函数导数最常用的方法，本书将通过大量例题帮助读者掌握。 隐函数求导法： 对于由方程隐式给出的函数，掌握其求导方法。 参数方程求导法： 当函数由参数方程给出时，学会如何求解导数。 对数求导法： 对于乘积、商、幂的形式复合的函数，利用对数求导可以简化计算。 在掌握了导数的计算之后，本书将深入探讨导数的几何意义（切线斜率）和物理意义（瞬时速度、瞬时加速度等）。 微分的概念与导数密切相关，本书将阐述微分的定义，以及微分与导数之间的关系。我们会强调微分在近似计算中的重要作用。 第四部分：导数的应用 导数的应用广泛而深入，是本书重点讲解的部分之一。我们将从以下几个方面展开： 单调性与极值： 利用导数的符号来判断函数的单调性，并找到函数的局部最大值和最小值。 凹凸性与拐点： 利用二阶导数的符号来判断函数的凹凸性，并找到函数的拐点。 渐近线： 学习如何通过极限计算来确定函数的水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。 函数图形的绘制： 综合运用单调性、极值、凹凸性、拐点和渐近线等信息，绘制出函数图形的草图。 洛必达法则的进阶应用： 进一步巩固洛必达法则在求解各种未定式极限中的应用。 泰勒公式与麦克劳林公式： 介绍这两个强大的近似工具，并展示它们在函数展开、近似计算以及级数理论中的作用。 第五部分：不定积分与定积分 微分的逆运算就是不定积分。本书将引入不定积分的概念，并给出不定积分的定义和性质。我们将系统讲解各种基本函数的积分公式，以及积分的线性性质。 积分的四大基本方法将是重点： 第一类换元法（凑微分法）： 将积分转化为基本积分形式。 第二类换元法（变量代换）： 通过变量代换来简化积分。 分部积分法： 适用于两个函数乘积的积分。 有理函数的积分： 学习如何通过部分分式分解来积分有理函数。 定积分是另一个核心概念，它提供了计算曲线下面积、体积、弧长、功等物理量的有力工具。本书将首先从黎曼和的角度引入定积分的定义，并阐述定积分的几何意义。 牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理）是连接微分和积分的关键桥梁。本书将详细讲解微积分基本定理的两种形式，并展示其在计算定积分中的巨大威力。 定积分的应用将是本书的另一个重点，包括： 几何应用： 计算平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等。 物理应用： 计算变力做功、质心、转动惯量等。 第六部分：无穷级数 无穷级数是数学分析的重要分支，它将函数或常数序列求和推广到无穷。本书将首先介绍无穷级数的概念、收敛判别与发散判别。我们将深入讲解各种重要的级数判别法，例如： 比较判别法 比值判别法 根值判别法 积分判别法 交错级数判别法 本书还将重点讨论幂级数，这是数学分析中非常重要的一类级数。我们将详细讲解幂级数的收敛域、收敛半径，以及幂级数在函数展开（泰勒级数、麦克劳林级数）和方程求解中的应用。 全书的特点： 本书力求做到： 理论严谨： 每一个概念和定理的引入都基于严格的数学推导，确保数学的精确性。 逻辑清晰： 各个章节之间衔接自然，层层递进，帮助读者构建完整的知识体系。 例题丰富： 大量精心设计的例题，覆盖了各种题型和难度，帮助读者理解和掌握理论知识。 习题配套： 难度适中的习题，既有巩固基础的，也有拓展思维的，帮助读者检验学习效果，提高解题能力。 语言通俗： 在保证严谨性的同时，力求语言清晰易懂，避免不必要的专业术语堆砌，降低学习难度。 本书适合数学类专业本科生、研究生，以及需要深入学习数学分析的理工科、经济学等领域的学生和研究人员。通过对本书的学习，读者将能够扎实地掌握数学分析的基本理论和方法，为进一步的数学学习和科学研究打下坚实的基础。