艺术是形象思维的高度抽象，数学是逻辑思维的高度抽象。数学研究数形，也包含形象逻辑；艺术讲究逻辑，也包含逻辑形象。
绘画是空间的艺术，那么在这个空间里有着什么样的数学密码？作者在本书中将沿着科学和艺术发展的足迹，从文艺复兴到信息大数据时代，从古典透视到奇异世界，带领读者探索世界名画中的数学解码和变迁，生动地讲述了数学和绘画如何互相影响，交织发展，高维连通的。

作者简介

梁进，1989 年获北京大学理学博士学位，后在欧洲游学工作
多年，2005 年回国任同济大学数学科学学院教授，博士生
导师，从事金融数学的教学与研究。发表学术论文近百篇，
是国家自然科学基金项目负责人和国家品牌课程主持人，并
出版专著、译著、教材《数学建模讲义》《利率互换及其衍
生产品》《信用风险估值的数学模型与案例分析》《美国数学
建模竞赛- 同济大学优秀论文选评》等，出版散文通识文集
《淌过博物馆》《淌过博物馆（第二版）》《如河的行板》《数
学与名画》。

内页插图

名画中的数学密码

目录
序——用数学的眼睛看画
前言
第一章文明中的数学基因
古文明中的朴素数学
黄金分割
斐波那契数列
艺术和数学的互动
计算机美术
第二章文艺复兴诞生爱和美的真谛
波提切利的神话寓言
弗兰切斯卡的几何神绘
达芬奇的科学魔笔
米凯朗基罗的三维塑雕
拉斐尔的时空转换
丢勒的数字幻方
文艺复兴中的科学家
第三章工业革命新塑绘画印象
布莱克的诗幻神曲
莫奈的光影印象
马奈的虚实变换
毕沙罗的时光风景
雷诺阿的温暖涂刷
德加的微积动画
塞尚的不稳静衡
梵高的宇寰流线
高更的解析人生
第四章抽象空间孕育艺术多样化
马蒂斯的符号艺术
康定斯基的点线面乐章
马列维奇的黑白宿命
毕加索的高维画语
布拉克的立体运动
达利的抽象拓扑
蒙德里安的格局分布
米罗的随机元素
波洛克的随意泼墨
克利的诗意平面
杜尚的离散连续
第五章数学艺术大师埃舍尔
拼贴
互耦
螺线
变换
易维
极限
分形
奇空
几何
第六章中国画中的数学元素
山水画
花鸟画
人物画
风俗画
后记

前言/序言

序用数学的眼睛看画

梁进老师是研究应用数学的，长于偏微分方程——万物演化的基本法则大多是通过这样的方程来描绘的——也醉心艺术，曾“淌过”世界各地的博物馆，见过无数名画，发掘了众多名画中潜藏的数学元素和精神，于是在科学网发表了系列“世界名画中的数学”的博文，赢得众多读者的喜爱，然后有了现在这本书。这当然是一本与众不同的名画欣赏读物，它一定会引领更多的读者用新的眼光和心情去看绘画，乃至看艺术，看自然，看人生。因为，在数学的舞台上，我们和世间万象都是在不断变换着、演化着——当然，遵从一定的偏微分方程——的“点线面”，呈现为一幅幅不同风格和流派的图画。我想本书带给读者大的启发是，改变对数学的偏见，对科学的的偏见，对思维的偏见，让科学与艺术重新融合在头脑里。

时下流行“像艺术家一样思考”，似乎不是因为艺术家创造“美”——后现代派也创造“丑”，就让他们自己玩儿吧——而是因为他们“创造”了特殊的思维方式，令人眼红了。遗憾的是，人们闹着学艺术家的思维时，冷落了同样创造思维的数学家兄弟。这也难怪，不知从什么年月起，谁谁谁们就将艺术思维与科学思维分开了，将感性与理性对立了。这种“二分法”既夸张也荒唐，不但离间了科学和艺术，也让“理工男”与“文艺女”变成星河两岸的牛郎和织女，盈盈一水间，相望却无言。结果是，我们的头脑越来越残缺了。我们读这本书，也许能惊奇一个平凡的事实：科学与艺术从来是相通的，“抽象”的数学与“具象”的绘画，有时简直像孪生兄弟。

5000多年前古埃及奥西里斯神庙的“生命之花”，就是“一群”圆圈的组合，像几何习题的插图。简单几何图形的重复、变形及其显现的对称和韵律，是几千年来不变的艺术“基元”。如果说绘画来源之一是自然物象，那么来源之二就是几何，绘画在不知不觉中成了数学的小兄弟。在文艺复兴时期，绘画更是自觉地融合科学精神。我们在达芬奇的手稿里可以看到时代的风尚：“先学科学，然后在那科学的指引下实践”（First study science, then follow the practice that born of that science）。他认为，绘画是科学活动，而且是高级的活动。他的笔记手稿满是光线、阴影、透视、色彩，还有人体结构和“清流激湍”，几乎就是带插图的科学启蒙课本。

有趣的是，当科学风尚改变时，绘画风格似乎在跟着转变。二者虽无直接的因果，却从不同侧面代表了时代的文化生态。史家们常说时代思潮和时代文艺——如王国维说“凡一代有一代之文学”——我们同样可以说时代科学和时代数学。如果说古典时代科学与艺术的自然融合是因为那时的科学与文艺还不够“百花齐放”，那么近代的文艺风尚与科学风尚的呼应，则足以令人惊奇和惊喜了：从安格尔与德拉克罗瓦的线条-色彩之争，到莫奈的光影、塞尚的色块和毕加索的立体，都呼应着科学的风尚。如果说古典绘画抱着欧几里得几何的时空，那么立体画派更倾向非欧几何，更像拓扑学。（参见立体派画家Albert Gleiser和Jean Metzinger的《立体主义》。）当康定斯基让“色彩与形态”摆脱物象时，物理学也在从实验模型走向几何化（如相对论和规范场论），实现了哈代（华罗庚在剑桥的老师）所说的，数学家和画家一样，都创造“模式”。数学的概念和符号，犹如画家的线条和色彩，数学的结构犹如绘画的场景，而艺术“美”也就成为数学“真”的一个标准。这令人想起大诗人济慈因古希腊陶瓮而发的感叹：“美即是真，真即是美”（Beauty is truth, truth beauty）。大数学家外尔说，“我的工作总需要将真与美统一起来，当我不得不选择其一时，我通常选择美。”控制论创始人、自称“昔日神童”的维纳也在自传里表达过他的艺术式的数学体验：数学家好的回报就是能爱上他发现的东西，犹如塞浦路斯国王爱上他自己塑造的雕像Pygmalion一样。

所以，数学晤对绘画，不是旁观者看画展，而是“会心人别有怀抱”，能发现画家自己都或许感觉了却并不明白的东西。我们看埃舍尔的画，会惊讶抽象的几何结构和空间变换以及难以言表的逻辑怪圈，竟能那么活泼泼地呈现出来。然而埃舍尔的数学并不好，从来就没及格。但他“莫名其妙就理解了数学”，似乎自己是数学家们“失散多年的兄弟”。（见恩斯特《魔镜，埃舍尔德不可能世界》）在不懂数学的埃舍尔的绘画里，我们还能看到相对论、黎曼几何和量子场论的“形象”——绘画在无意间生出数学，当然需要用数学的眼睛去看它；另一方面，数学法则本来就“存在于”自然世界和精神世界，绘画表现自然和自然激发的心情，当然也必然会隐藏数学。绘画过滤和抽象了世界，数学不过是再抽象一回罢了。越是抽象，越能虚怀地包容万象。

诗人画家王维画“雪中芭蕉”，曾引出科学家沈括的高见：“书画之妙，当以神会，难可以形器求也。”（《梦溪笔谈》卷十七）所谓“神会”，就是不能“心为形役”，而应以模式、韵律和精神去契合画的精神，而不是拿自然的物象去比较画面的形象。西方古典绘画是具象的，我们的写意山水也具象，即使缺一点“神会”也能看出几分模样；现代绘画没那么多“象”可以触摸了，必须换一种眼光去看。正如梁老师在解读康定斯基的抽象画时说的，我们需要从作品的“结构”看出它的“函数空间”。就是说，当我们用数学图像去看画，能自然把握它的元素、结构和韵律。例如我们看蒙德里安的“蓝色组合”，那些杂乱的大大小小深深浅浅重重叠叠的色块，并不代表什么具象的东西，却很好刻画了一种统计分布，不管什么东西的统计，我们觉悟了统计分布就好了，它可以存在于任何地方……

从某种意义说，数学就是脱离了物质世界的“抽象画”，它的形式和精神也就是绘画的形式和精神。正如康定斯基说的，“数是各类艺术终的抽象表现。”我们用数学的眼睛来看绘画，只不过是与失散的兄弟重逢，尽管他们越来越陌生了。
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