　　微积分作为整个数理知识体系的基石，不仅对后续诸多数理知识体系的研习具有基础性的意义，而且微积分知识体系自身就为认识世界提供了系统的思想与方法。
　　《微积分讲稿：高维微积分》主要针对向量值映照建立微分学与积分学，另包括级数。高维微分学主要包括：点列的极限、向量值映照的极限、向量值映照的可微性与导数、多元函数的分析性质、多元函数的无限小分析方法、多元函数与向量值映照的有限增量公式与估计、隐映照定理及其应用、逆映照定理及其应用等。高维积分学主要包括：曲线、曲面上积分的建立、闭方块上Riemann积分的Darboux分析与Lebesgue定理、Fubini定理与体积分换元公式、广义积分与含有参变量的积分、Gauss-Ostrogradskii公式、Green公式、Stokes公式与场论基础等。级数主要包括：数项级数、函数项级数、幂级数、Fourier级数等。
　　《微积分讲稿：高维微积分》按知识点划分各份讲稿（对应于章），每一讲稿包括：（1）理论阐述，按知识要素展开，并体现分析的图示化过程；（2）应用事例，归类相关方法使其可适用于一类问题，而非仅是例题的罗列；（3）拓广深化，致力于将相关思想与方法联系于其他知识体系，为专题性研究以及理论联系实际提供事例。借此，本讲稿兼具理论教程、课程辅导以及拓广深化这三方面的功能。讲稿撰写上注重体现知识体系的脉络结构、逻辑发展、思想方法；为便于阅读，在写作上注重演绎推导过程完整，应用事例丰富。
　　《微积分讲稿：高维微积分》可作为力学、物理学、数学、航空宇航科学与技术、材料科学、计算机科学等相关专业的本科生与研究生的微积分教程，亦可作为相关科学与技术研究的参考。

内页插图

前言
符号表

第一部分高维微分学
第一章向量值映照的背景
§1．1 知识要素
§1．1．1 向量值映照
§1．1．2 范数与距离
§1．1．3 Euclid空间中的点列
§1．2 应用事例
§1．2．1 极坐标系
§1．2．2 柱坐标系
§1．2．3 球坐标系
§1．2．4 椭圆柱坐标系
§1．2．5 双极柱坐标系
§1．3 拓广深化
§1．4 建立路径
第二章向量值映照的极限
§2．1 知识要素
§2．1．1 向量值映照极限的定义
§2．1．2 向量值映照极限的分析性质
§2．1．3 向量值映照极限的计算方法
§2．1．4 Euclid空间中点集拓扑基础
§2．2 应用事例
§2．2．1 基于路径分析
§2．2．2 基于极坐标分析
§2．2．3 累次极限
§2．3 建立路径
第三章向量值映照的可微性与导数的计算方法
§3．1 知识要素
§3．1．1 向量值映照的可微性定义
§3．1．2 方向导数
§3．1．3 高阶偏导数
§3．1．4 导数计算的充分性方法
§3．1．5 导数计算的极限分析方法
§3．2 应用事例
§3．2．1 导数计算的充分性方法
§3．2．2 导数计算的极限分析方法
§3．2．3 矩阵形式的链式求导
§3．3 拓广深化
§3．3．1 单参数向量值映照的变化率
§3．3．2 单参数单位正交基的变化率
§3．3．3 速度与加速度等合成原理
§3．3．4 角速度与角速度合成原理
§3．3．5 单位正交基下速度与加速度的表示
§3．4 建立路径
第四章基于直线单参数化的相关分析结论
§4．1 知识要素
§4．1．1 直线单参数化
§4．1．2 多元函数可微性的一个充分性条件
§4．1．3 多元函数混合偏导数可以交换次序的一个充分性条件
§4．2 建立路径
第五章无限小分析方法
§5．1 知识要素
§5．1．1 基于直线单参数化获得无限小增量公式
§5．1．2 多项式逼近的唯一性
§5．1．3 获得多元高阶多项式逼近的实际方法
§5．1．4 自由最值问题
§5．1．5 多元函数展开至二阶的几何意义
§5．2 应用事例
§5．2．1 自由最值问题
§5．2．2 获得复杂函数的多元高阶多项式逼近
§5．3 建立路径
第六章有限增量公式或估计
§6．1 知识要素
§6．1．1 基于直线单参数化的多元函数的有限增量公式
§6．1．2 基于曲线单参数化的多元函数的有限增量估计
§6．1．3 基于曲线单参数化的向量值映照的有限增量估计
§6．2 建立路径
第七章曲线向量值映照
§7．1 知识要素
§7．1．1 曲线的切向量与切线
§7．1．2 曲线的局部标架与其运动方程
§7．1．3 曲线的局部参数化
§7．2 应用事例
§7．3 建立路径
第八章曲面向量值映照
§8．1 知识要素
§8．1．1 曲面的切平面与法向量
§8．1．2 曲面的基本形式
§8．1．3 曲面的 Gauss曲率与平均曲率
§8．1．4 曲面的局部标架与其运动方程
§8．1．5 曲面的法截线与主法截线
§8．1．6 曲面的局部参数化
§8．2 应用事例
§8．2．1 二维Monge型曲面的Gauss曲率及平均曲率
§8．2．2 旋成曲面的Gauss曲率及平均曲率
§8．3 建立路径
第九章隐映照定理
§9．1 知识要素
§9．1．1 Euclid空间中闭集上的压缩映照定理
§9．1．2 由压缩映照定理获得隐映照定理
§9．1．3 隐函数导数的计算方法
§9．2 应用事例
§9．2．1 隐函数的导数计算
§9．2．2 隐映照的导数计算
§9．3 拓广深化
§9．3．1 基于压缩映照定理研究动力系统的解的存在性
§9．3．2 基于压缩映照定理研究动力系统的解对初值的连续依赖性
§9．4 建立路径
第十章隐映照定理的应用（曲线与曲面的隐式表示）
§10．1 知识要素
§10．1．1 隐映照定理
§10．1．2 曲线的隐式表示
§10．1．3 曲面的隐式表示
§10．2 应用事例
§10．2．1 曲线的隐式表示
§10．2．2 曲面的隐式表示
§10．3 建立路径
第十一章隐映照定理的应用（约束上的最值问题）
第十二章逆映照定理与微分同胚
第十三章隐映照定理与逆映照定理的综合应用

第二部分高维积分学
第十四章积分应用理论
第十五章积分分析理论（Darboux和分析）
第十六章积分分析理论（Lebesgue定理）
第十七章计算理论（Fubini定理）
第十八章计算理论（体积分换元公式）
第十九章广义积分与含参变量的积分
第二十章 Gauss-Ostrogradskii公式
第二十一章 Green公式
第二十二章 Stokes公式
第二十三章场论基础

第三部分级数
第二十四章正项数项级数
第二十五章一般数项级数
第二十六章函数项级数
第二十七章幂级数
第二十八章 Fourier级数

名词索引
插图目录
参考文献

前言/序言

　　可作为一种世界观的数理观点
　　我国著名学者谈镐生先生认为：“按照近代观点，物理、化学、天体物理、地球物理、生物物理可以全部归纳为物理科学。力学是物理科学的、数学又是所有学科的共同工具，力学和数学原是科学发展史上的孪生子，因此，可以形象地认为，物理科学是一根梁，力学和数学是它的两根支柱。”俄罗斯著名学者V.I.Arnold在其《论数学教育》中开门见山地指出：“数学是物理的一部分；物理是自然科学，且是实验科学；数学是物理中‘做实验’比较‘便宜’的那部分。”
　　结合笔者就相关数理知识体系的持续性研习，在教学与研究中逐渐明晰了一种可作为世界观的数理观点——归纳为基于坚实数理基础之上的“融会贯通”与“触类旁通”，以此实现“学问”向“能力”的进阶；表现为按数量方式，认知自然世界与非自然世界的一种具有统一性的世界观。数理观点基于力学、数学、物理学等学科所属的相关知识体系，这些知识体系不仅内在紧密相连、不可分割，而且在认知世界的过程中需要各知识体系之间的相互协作。现今的大学设有力学类、数学类、物理类专业，借此传播相关的知识体系，这可能源于具体组织教学时对相关知识的侧重。然而，这些知识本质上并非孤立，数理观点可以力学、数学、物理学作为核心知识体系，可融合化学、计算机科学、材料科学、生物学、医学，甚至经济学、管理学、社会学等学科，借此为认识自然与非自然世界提供系统的思想与方法。
　　作为高等院校的职业教师，笔者将教学认识为两个方面：“知识体系自身的研究”与“知识体系传播的研究”；并且立足于基于知识体系自身的研究，以驱动知识体系传播的研究，以下按“知识体系研究”、“传播方法研究”这两方面进行概述。
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