实变函数论（第3版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 在线阅读 2026

内容简介

　　《实变函数论（第3版）》第三版是作者经多年教学实践，吸收国内高等学校使用《实变函数论（第3版）》的教师的很多宝贵意见，在第二版基础上修订而成的。
　　《实变函数论（第3版）》第三版保持了第二版的体系和特色，部分章节作了调整，增加了部分习题。为了体现科研中“从特殊到一般，从具体到抽象”的思维方式，在第三章测度理论中增加了一节“开集的体积”，对第三章原前三节的内容进行了整合，在外测度的引进方面作了适当的改变。此外，为了与第三章呼应，第四章可测函数的引进也作了适当的改变。
　　
　　《实变函数论（第3版）》可作为高等学校“实变函数论”课程的教材，也可作为自学用书。

内页插图

目录

第三版说明
第二版说明
第一版序

第一章 集合及其基数
§1 集合及其运算
§2 集合的基数
§3 可数集合
§4 不可数集合

第二章 n维空间中的点集
§1 聚点、内点、边界点、Bolzano-Weierstrass定理
§2 开集、闭集与完备集
§3 p进位表数法
§4 一维开集、闭集、完备集的构造
§5 点集间的距离

第三章 测度理论
§1 开集的体积
§2 点集的外测度
§3 可测集合及测度
§4 乘积空间
§5 集合环上的测度的扩张

第四章 可测函数
§1 可测函数的定义及其简单性质
§2 Egoroff定理
§3 可测函数的结构Lusin定理
§4 依测度收敛

第五章 积分理论
§1 非负函数的积分
§2 可积函数
§3 Fubini定理
§4 微分与不定积分
§5 一般测度空间上的Lebesgue积分

第六章 函数空间Lp
§1 空间Lp
§2 Hilbert空间L2
§3 Zorn引理L2中基底的存在性

第七章 Fourier级数与Fourier变换
§1 Fourier级数的收敛判别
§2 Fourier级数的C-1求和
§3 L1（R1）上的Fourier变换
§4 L2（R1）上的Fourier变换

参考书目与文献
索引

前言/序言

　　本书第二版是1994年出版的。我们吸收了近十几年使用者的宝贵意见和建议，对本书第二版做了一些修改。现在的第三版与第二版相比，主要有以下几点差异：
　　一、第三章前三节的内容做了适当调整。本版在测度论部分首先引出问题，再从特殊情况入手解决问题。因此，我们增加了“开集的体积”一节。同时，外测度的引入方式也有所改变。原第二版的“开集的可测性”一节经调整并入本版的第三节“可测集合及测度”。
　　二、第四章§1，可测函数的引入及定义做了适当修改。
　　三、第五章§4，增加了逐项微分定理。
　　四、增加了少量习题。

《数学分析精要》 第一章：实数系的基本性质 本章将深入探讨实数系的完备性，这是理解后续所有概念的基石。我们将从戴德金分割引入实数，并严谨证明实数系的域、序、格以及完备性等基本代数和序结构。通过对有理数集和无理数集的研究，我们将揭示实数集在数轴上的稠密性和不可数性。伯恩斯坦-谢尔宾斯基定理将在此得到证明，阐述实数集与自然数集之间势的差异。 第二章：数列与极限 本章将系统地阐述数列的概念及其极限的严格定义，包括上极限与下极限。我们将引入柯西序列的概念，并证明柯西序列的收敛性是实数系完备性的一个等价表述。单调有界定理及其在求极限中的应用将是重点。本章还将讨论收敛数列的算术运算，以及一些重要的极限判别法，如比值判别法和根值判别法。数列的敛散性与实数集上各种集合的性质将进行关联。 第三章：函数与连续性 本章将从 epsilon-delta 定义出发，严谨定义函数的极限，并在此基础上引入函数的连续性。连续性将被分解为点态连续、一致连续以及连续性的其他等价刻画。连续函数在闭区间上的性质，如有界性、最值定理以及介值定理，将得到详细的论证。本章还将探讨不连续点的分类，并介绍一些特殊的连续函数类，如单调函数和凸函数。 第四章：导数 导数的定义将作为函数微商的引子，并探讨导数的几何意义和物理意义。本章将详细介绍微分法则，包括四则运算、复合函数求导法则以及反函数求导法则。罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理将是本章的核心内容，它们将为我们提供分析函数性质的有力工具。泰勒公式及其在函数逼近和估算中的应用将得到重点介绍。 第五章：不定积分 不定积分的概念将在此基础上引出，并探讨不定积分与导数之间的互逆关系。我们将详细介绍不定积分的计算方法，包括直接积分法、换元积分法和分部积分法。特殊函数的积分将作为实例进行分析。本章还将讨论不定积分的性质，以及不定积分在求解微分方程中的作用。 第六章：定积分 定积分将通过黎曼积分的定义引入，并详细讨论定积分的几何意义。黎曼可积的充要条件，以及连续函数和有界变差函数的可积性将得到证明。微积分基本定理将揭示定积分与不定积分之间的深刻联系。定积分的性质，如线性性质、区间可加性以及单调性，将得到深入探讨。本章还将介绍定积分的计算方法，并初步探讨定积分在面积、体积和曲线长度计算中的应用。 第七章：无穷级数 本章将系统地研究无穷级数，从级数的收敛性和发散性入手。正项级数的收敛判别法，如比较判别法、比值判别法和根值判别法，将得到详细的阐述。交错级数的莱布尼茨判别法将在此引入。条件收敛与绝对收敛的概念将被区分，并探讨它们之间的关系。幂级数的收敛性、和函数以及与初等函数的联系将成为重点。 第八章：多元函数微分 本章将研究多元函数的概念，包括定义域、值域以及函数图像。偏导数和方向导数的概念将在此被引入，并探讨它们与函数可微性之间的关系。梯度、散度和旋度的概念将被介绍，并阐述它们在物理和工程中的应用。全微分、多元函数求导法则（包括链式法则）将得到详细论证。雅可比矩阵的概念及其在多项变量变换中的作用将得到深入分析。 第九章：多元函数积分 本章将研究重积分，包括二重积分和三重积分。重积分的定义、性质以及计算方法将是核心内容。变量代换公式（包括雅可比行列式的使用）将在此得到详细推导和应用。曲线积分和曲面积分的概念将在此基础上引入，并探讨它们与保守向量场、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式之间的关系。 第十章：度量空间 本章将引入度量空间的抽象概念，将实数集上的距离推广到更一般的集合。度量空间的拓扑性质，如开集、闭集、邻域、内点、外点、边界点和极限点将在此得到定义和研究。紧集、连通集以及完备度量空间的概念将得到深入探讨。本章还将讨论度量空间中的序列收敛性以及柯西序列的概念，并证明完备度量空间中的柯西序列必收敛。 第十一章：赋范线性空间 在本章中，我们将进一步抽象，研究赋范线性空间。范数的性质和定义将是本章的基础。巴拿赫空间（完备赋范线性空间）的概念将被引入，并探讨其在函数空间等方面的应用。有界线性算子及其性质将在此得到详细研究。开映射定理、闭图像定理和有界逆定理等重要定理将在此得到证明。 第十二章：傅里叶级数 本章将介绍傅里叶级数，作为周期函数逼近的一种重要方法。周期函数的傅里叶展开式将在此给出。狄利克雷条件和傅里叶级数的收敛性判别法（包括逐点收敛、一致收敛和L2收敛）将是重点。傅里叶级数在偏微分方程求解、信号处理等领域的应用将得到初步介绍。 第十三章：勒贝格积分初步 本章将引入勒贝格可测集和勒贝格测度的概念，为更广义的积分理论奠定基础。简单函数和正值可测函数的勒贝格积分将在此被定义。勒贝格积分的单调收敛定理、 Fatou 引理以及控制收敛定理等核心定理将得到详细证明。本章还将初步探讨勒贝格积分与黎曼积分之间的关系，并初步介绍 L^p 空间。 本书特点： 严谨的数学语言： 全书采用严格的数学定义和定理证明，强调数学推理的逻辑性和严密性。 丰富的例题与习题： 穿插大量的例题，帮助读者理解抽象概念，并配有不同难度的习题，供读者巩固和提高。 概念循序渐进： 从实数系的基本性质出发，逐步引入函数、极限、导数、积分等核心概念，逻辑清晰，易于理解。 理论与应用并重： 在介绍纯粹数学理论的同时，也兼顾了数学分析在物理、工程、计算机科学等领域的初步应用。 《数学分析精要》旨在为读者打下坚实的数学基础，培养严谨的数学思维，为进一步学习高等数学、泛函分析、概率论等课程做好充分准备。