實變函數論（第3版） 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

　　《實變函數論（第3版）》第三版是作者經多年教學實踐，吸收國內高等學校使用《實變函數論（第3版）》的教師的很多寶貴意見，在第二版基礎上修訂而成的。
　　《實變函數論（第3版）》第三版保持瞭第二版的體係和特色，部分章節作瞭調整，增加瞭部分習題。為瞭體現科研中“從特殊到一般，從具體到抽象”的思維方式，在第三章測度理論中增加瞭一節“開集的體積”，對第三章原前三節的內容進行瞭整閤，在外測度的引進方麵作瞭適當的改變。此外，為瞭與第三章呼應，第四章可測函數的引進也作瞭適當的改變。
　　
　　《實變函數論（第3版）》可作為高等學校“實變函數論”課程的教材，也可作為自學用書。

內頁插圖

目錄

第三版說明
第二版說明
第一版序

第一章 集閤及其基數
§1 集閤及其運算
§2 集閤的基數
§3 可數集閤
§4 不可數集閤

第二章 n維空間中的點集
§1 聚點、內點、邊界點、Bolzano-Weierstrass定理
§2 開集、閉集與完備集
§3 p進位錶數法
§4 一維開集、閉集、完備集的構造
§5 點集間的距離

第三章 測度理論
§1 開集的體積
§2 點集的外測度
§3 可測集閤及測度
§4 乘積空間
§5 集閤環上的測度的擴張

第四章 可測函數
§1 可測函數的定義及其簡單性質
§2 Egoroff定理
§3 可測函數的結構Lusin定理
§4 依測度收斂

第五章 積分理論
§1 非負函數的積分
§2 可積函數
§3 Fubini定理
§4 微分與不定積分
§5 一般測度空間上的Lebesgue積分

第六章 函數空間Lp
§1 空間Lp
§2 Hilbert空間L2
§3 Zorn引理L2中基底的存在性

第七章 Fourier級數與Fourier變換
§1 Fourier級數的收斂判彆
§2 Fourier級數的C-1求和
§3 L1（R1）上的Fourier變換
§4 L2（R1）上的Fourier變換

參考書目與文獻
索引

前言/序言

　　本書第二版是1994年齣版的。我們吸收瞭近十幾年使用者的寶貴意見和建議，對本書第二版做瞭一些修改。現在的第三版與第二版相比，主要有以下幾點差異：
　　一、第三章前三節的內容做瞭適當調整。本版在測度論部分首先引齣問題，再從特殊情況入手解決問題。因此，我們增加瞭“開集的體積”一節。同時，外測度的引入方式也有所改變。原第二版的“開集的可測性”一節經調整並入本版的第三節“可測集閤及測度”。
　　二、第四章§1，可測函數的引入及定義做瞭適當修改。
　　三、第五章§4，增加瞭逐項微分定理。
　　四、增加瞭少量習題。

《數學分析精要》 第一章：實數係的基本性質 本章將深入探討實數係的完備性，這是理解後續所有概念的基石。我們將從戴德金分割引入實數，並嚴謹證明實數係的域、序、格以及完備性等基本代數和序結構。通過對有理數集和無理數集的研究，我們將揭示實數集在數軸上的稠密性和不可數性。伯恩斯坦-謝爾賓斯基定理將在此得到證明，闡述實數集與自然數集之間勢的差異。 第二章：數列與極限 本章將係統地闡述數列的概念及其極限的嚴格定義，包括上極限與下極限。我們將引入柯西序列的概念，並證明柯西序列的收斂性是實數係完備性的一個等價錶述。單調有界定理及其在求極限中的應用將是重點。本章還將討論收斂數列的算術運算，以及一些重要的極限判彆法，如比值判彆法和根值判彆法。數列的斂散性與實數集上各種集閤的性質將進行關聯。 第三章：函數與連續性 本章將從 epsilon-delta 定義齣發，嚴謹定義函數的極限，並在此基礎上引入函數的連續性。連續性將被分解為點態連續、一緻連續以及連續性的其他等價刻畫。連續函數在閉區間上的性質，如有界性、最值定理以及介值定理，將得到詳細的論證。本章還將探討不連續點的分類，並介紹一些特殊的連續函數類，如單調函數和凸函數。 第四章：導數 導數的定義將作為函數微商的引子，並探討導數的幾何意義和物理意義。本章將詳細介紹微分法則，包括四則運算、復閤函數求導法則以及反函數求導法則。羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理將是本章的核心內容，它們將為我們提供分析函數性質的有力工具。泰勒公式及其在函數逼近和估算中的應用將得到重點介紹。 第五章：不定積分 不定積分的概念將在此基礎上引齣，並探討不定積分與導數之間的互逆關係。我們將詳細介紹不定積分的計算方法，包括直接積分法、換元積分法和分部積分法。特殊函數的積分將作為實例進行分析。本章還將討論不定積分的性質，以及不定積分在求解微分方程中的作用。 第六章：定積分 定積分將通過黎曼積分的定義引入，並詳細討論定積分的幾何意義。黎曼可積的充要條件，以及連續函數和有界變差函數的可積性將得到證明。微積分基本定理將揭示定積分與不定積分之間的深刻聯係。定積分的性質，如綫性性質、區間可加性以及單調性，將得到深入探討。本章還將介紹定積分的計算方法，並初步探討定積分在麵積、體積和麯綫長度計算中的應用。 第七章：無窮級數 本章將係統地研究無窮級數，從級數的收斂性和發散性入手。正項級數的收斂判彆法，如比較判彆法、比值判彆法和根值判彆法，將得到詳細的闡述。交錯級數的萊布尼茨判彆法將在此引入。條件收斂與絕對收斂的概念將被區分，並探討它們之間的關係。冪級數的收斂性、和函數以及與初等函數的聯係將成為重點。 第八章：多元函數微分 本章將研究多元函數的概念，包括定義域、值域以及函數圖像。偏導數和方嚮導數的概念將在此被引入，並探討它們與函數可微性之間的關係。梯度、散度和鏇度的概念將被介紹，並闡述它們在物理和工程中的應用。全微分、多元函數求導法則（包括鏈式法則）將得到詳細論證。雅可比矩陣的概念及其在多項變量變換中的作用將得到深入分析。 第九章：多元函數積分 本章將研究重積分，包括二重積分和三重積分。重積分的定義、性質以及計算方法將是核心內容。變量代換公式（包括雅可比行列式的使用）將在此得到詳細推導和應用。麯綫積分和麯麵積分的概念將在此基礎上引入，並探討它們與保守嚮量場、格林公式、高斯公式和斯托剋斯公式之間的關係。 第十章：度量空間 本章將引入度量空間的抽象概念，將實數集上的距離推廣到更一般的集閤。度量空間的拓撲性質，如開集、閉集、鄰域、內點、外點、邊界點和極限點將在此得到定義和研究。緊集、連通集以及完備度量空間的概念將得到深入探討。本章還將討論度量空間中的序列收斂性以及柯西序列的概念，並證明完備度量空間中的柯西序列必收斂。 第十一章：賦範綫性空間 在本章中，我們將進一步抽象，研究賦範綫性空間。範數的性質和定義將是本章的基礎。巴拿赫空間（完備賦範綫性空間）的概念將被引入，並探討其在函數空間等方麵的應用。有界綫性算子及其性質將在此得到詳細研究。開映射定理、閉圖像定理和有界逆定理等重要定理將在此得到證明。 第十二章：傅裏葉級數 本章將介紹傅裏葉級數，作為周期函數逼近的一種重要方法。周期函數的傅裏葉展開式將在此給齣。狄利剋雷條件和傅裏葉級數的收斂性判彆法（包括逐點收斂、一緻收斂和L2收斂）將是重點。傅裏葉級數在偏微分方程求解、信號處理等領域的應用將得到初步介紹。 第十三章：勒貝格積分初步 本章將引入勒貝格可測集和勒貝格測度的概念，為更廣義的積分理論奠定基礎。簡單函數和正值可測函數的勒貝格積分將在此被定義。勒貝格積分的單調收斂定理、 Fatou 引理以及控製收斂定理等核心定理將得到詳細證明。本章還將初步探討勒貝格積分與黎曼積分之間的關係，並初步介紹 L^p 空間。 本書特點： 嚴謹的數學語言： 全書采用嚴格的數學定義和定理證明，強調數學推理的邏輯性和嚴密性。 豐富的例題與習題： 穿插大量的例題，幫助讀者理解抽象概念，並配有不同難度的習題，供讀者鞏固和提高。 概念循序漸進： 從實數係的基本性質齣發，逐步引入函數、極限、導數、積分等核心概念，邏輯清晰，易於理解。 理論與應用並重： 在介紹純粹數學理論的同時，也兼顧瞭數學分析在物理、工程、計算機科學等領域的初步應用。 《數學分析精要》旨在為讀者打下堅實的數學基礎，培養嚴謹的數學思維，為進一步學習高等數學、泛函分析、概率論等課程做好充分準備。