高等數學(上冊)/大學數學基礎叢書 下載 mobi epub pdf 電子書 2024

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編輯推薦

本教材基於學生的初等數學基礎，引入高等數學的理念、思想和方法，提高學生學習高等數學的興趣和應用高等數學知識解決相關問題的意識和能力。

內容簡介

本教材分為上、下兩冊。上冊內容包括函數、數列及其極限、函數的極限與連續、導數與微分、微分中值定理及其應用、不定積分、定積分及其應用、常微分方程。下冊內容包括嚮量代數與空間解析幾何、多元函數的微分法及其應用、重積分、麯綫積分與麯麵積分、無窮級數。每節後都配有思考題、A類題和B類題，習題選配典型多樣，難度層次分明。該課程基於學生的初等數學基礎，引入高等數學的理念、思想和方法，提高學生學習高等數學的興趣和應用高等數學知識解決相關問題的意識和能力.
本教材可以作為高等學校理科、工科和技術學科等非數學專業的高等數學教材，也可作為相關人員的參考書.

目錄

第1章函數
1.1基本概念
1.1.1集閤、區間、絕對值和鄰域
1.1.2函數的定義
1.1.3具有某種特性的函數
1.1.4函數的四則運算、復閤函數和反函數
習題1.1
1.2初等函數
1.2.1基本初等函數
1.2.2初等函數的定義及其範例
習題1.2
1.3函數關係的幾種錶示方法
1.3.1函數的分段錶示
1.3.2函數的隱式錶示
1.3.3函數的參數錶示
習題1.3
復習題1
第2章數列及其極限
2.1數列的極限
2.1.1數列
2.1.2收斂數列
2.1.3數列和子數列之間的關係
2.1.4數列中的無窮小量和無窮大量
2.1.5數列極限的基本性質
習題2.1
2.2數列極限的運算法則
2.2.1四則運算法則
2.2.2夾逼準則
2.2.3單調有界原理和一個重要的極限
習題2.2
復習題2
第3章函數的極限與連續
3.1函數的極限
3.1.1函數極限的定義
3.1.2無窮小量和無窮大量
習題3.1
3.2函數極限的性質和運算法則
3.2.1函數極限的基本性質
3.2.2函數極限的運算法則
3.2.3夾逼準則和兩個重要的極限
習題3.2
3.3無窮小量的比較
3.3.1無窮小量的階
3.3.2等價無窮小的替換原理
習題3.3
3.4連續函數
3.4.1連續函數的定義
3.4.2函數的間斷點
習題3.4
3.5連續函數的運算和性質
3.5.1連續函數的運算
3.5.2初等函數的連續性
3.5.3閉區間上連續函數的性質
習題3.5
復習題3
第4章導數與微分
4.1基本概念
4.1.1兩個典型問題
4.1.2導數的定義
4.1.3導數的幾何解釋
4.1.4可導與連續的關係
習題4.1
4.2導數的運算法則
4.2.1導數的四則運算法則
4.2.2反函數的導數
4.2.3復閤函數的導數
4.2.4初等函數的導數
習題4.2
4.3高階導數
4.3.1高階導數的定義
4.3.2高階導數的運算法則
習題4.3
4.4隱函數的導數
4.4.1由一個方程確定的隱函數的導數
4.4.2由參數方程確定的函數的導數
習題4.4
4.5函數的微分
4.5.1引例
4.5.2微分的定義
4.5.3微分的幾何解釋
4.5.4微分的運算法則和公式
4.5.5微分在近似計算中的應用
習題4.5
復習題4
第5章微分中值定理及其應用
5.1微分中值定理
5.1.1羅爾定理
5.1.2拉格朗日中值定理
5.1.3柯西中值定理
習題5.1
5.2洛必達法則
5.2.100型未定式的極限
5.2.2∞∞型未定式的極限
5.2.3其他未定式的極限
習題5.2
5.3泰勒公式
5.3.1泰勒定理
5.3.2泰勒公式的應用
習題5.3
5.4函數的性態(Ⅰ)——單調性與凸性
5.4.1函數的單調性
5.4.2函數的凸性及其拐點
習題5.4
5.5函數的性態(Ⅱ)——極值與最值
5.5.1函數的極值
5.5.2最大值與最小值
5.5.3應用舉例
習題5.5
5.6函數圖形的描繪
5.6.1麯綫的漸近綫
5.6.2函數的性態錶與作圖
習題5.6
5.7麯率
5.7.1弧微分
5.7.2麯率及其計算公式
5.7.3麯率圓與麯率半徑
習題5.7
復習題5
第6章不定積分
6.1基本概念及性質
6.1.1原函數
6.1.2不定積分的定義
6.1.3不定積分的幾何解釋
6.1.4基本積分公式
6.1.5不定積分的性質
習題6.1
6.2換元積分法
6.2.1第一類換元積分法
6.2.2第二類換元積分法
習題6.2
6.3分部積分法
習題6.3
6.4有理函數的積分及其應用
6.4.1有理函數的積分
6.4.2簡單的無理函數的積分
6.4.3三角函數有理式的積分
習題6.4
復習題6
第7章定積分及其應用
7.1定積分的概念
7.1.1引例
7.1.2定積分的定義
7.1.3定積分的幾何解釋
習題7.1
7.2定積分的存在條件及其性質
7.2.1定積分的存在條件
7.2.2定積分的性質
習題7.2
7.3微積分基本公式
7.3.1積分上限的函數及其導數
7.3.2牛頓�怖巢寄崬墓�式
習題7.3
7.4換元積分法和分部積分法
7.4.1定積分的換元法
7.4.2定積分的分部積分法
習題7.4
7.5反常積分
7.5.1無窮區間上的反常積分
7.5.2無界函數的反常積分
習題7.5
7.6定積分在幾何中的應用
7.6.1定積分的微元法
7.6.2平麵圖形的麵積
7.6.3鏇轉體的體積
7.6.4平行截麵麵積為已知的立體的體積
7.6.5平麵麯綫的弧長
習題7.6
復習題7
第8章常微分方程
8.1微分方程的基本概念
8.1.1引例
8.1.2基本概念
習題8.1
8.2常微分方程的初等積分法（Ⅰ）
8.2.1分離變量方程
8.2.2一階綫性微分方程
8.2.3伯努利方程
習題8.2
8.3常微分方程的初等積分法（Ⅱ）
8.3.1齊次方程
8.3.2可降階的二階微分方程
8.3.3其他類型的常微分方程
習題8.3
8.4高階綫性微分方程
8.4.1二階綫性微分方程解的性質
8.4.2二階綫性微分方程的通解
習題8.4
8.5高階常係數綫性微分方程
8.5.1n階常係數齊次綫性微分方程的解法
8.5.2高階常係數非齊次綫性微分方程的解法
習題8.5
8.6微分方程的應用舉例
復習題8
習題答案及提示

精彩書摘

　　第1章函數Functions
　　1.1基本概念Basic concepts
　　第1章
　　函數
　　Functions
　　在中學數學中，我們雖然已經學習瞭函數的概念以及一些簡單的函數，但都是基於初等數學的範疇.在以微分學和積分學為核心的高等數學中，各類函數及其變化性態是主要的研究對象.為瞭更好地學習微積分學的知識，本章將首先介紹與函數相關的一些基本概念和必備知識；然後列齣基本初等函數及其特性；最後引入函數的幾種常用錶示方法以及一些特殊函數.
　　1.1基本概念
　　Basic concepts
　　在給齣函數的定義之前，首先簡要地介紹集閤、區間、絕對值和鄰域等一些基本概念.
　　1.1.1集閤、區間、絕對值和鄰域〖*2〗
　　1. 集閤
　　由於函數都是定義在某些集閤上的，因此討論函數離不開集閤這個概念.一般地，具有某種特定性質的事物匯集的總體稱為一個集閤（set），組成這個集閤的事物被稱為集閤的元素（element）.如: 一個班級可以認為是一個集閤，班級的每一位同學就是這個集閤的元素；直綫方程y=x+2上的所有點組成瞭一個集閤.通常情況下，集閤用大寫字母A，B，C,…錶示，集閤的元素用小寫字母a，b，c,…錶示.
　　集閤與元素之間的關係為: 若a是集閤A的元素，則稱a屬於A，記作a∈A；若a不是集閤A的元素，則稱a不屬於A，記作a�麬.
　　錶示集閤的方法通常有兩種: 一種是列舉法，即把集閤的全體元素一一列舉齣來，如由元素a1,a2,…,an組成的集閤A可以錶示為A={a1,a2,…,an}；另一種是描述法，即利用集閤的某種特徵來描述其元素，如xOy平麵中單位圓周上點的集閤B可以錶示為B={(x,y)|x2+y2=1}.
　　若一個集閤的元素個數有限，則稱這個集閤為有限集（finite set），否則稱為無限集（infinite set）.不含任何元素的集閤稱為空集（empty set），記作��.
　　最常遇到的數集有:
　　全體自然數（natural number）的集閤，記作N；全體整數（integer）的集閤，記作Z；全體有理數（rational number）的集閤，記作Q；全體實數（real number）的集閤，記作R；全體復數（complex number）的集閤，記作C.
　　此外，正整數、正有理數和正實數的集閤分彆記作Z+，Q+和R+.如果沒有特殊聲明，本書中用到的數都是實數.
　　下麵給齣集閤間的關係和運算.
　　設A和B是兩個集閤，若集閤A的所有元素都屬於集閤B，則稱A是B的子集（subset），記作A�罛（或B�翧），讀作A包含於B（或者B包含A）.若A�罛，且存在元素a∈B且a�麬，則稱A是B的真子集（proper subset），記作A�糂（或者B�紸）.若A�罛，且B�罙，則稱集閤A和B相等（equality），記作A=B.
　　規定: 空集�潦僑魏渭�閤A的子集，即�聯罙.
　　對於前麵給齣的各種數集，顯然有如下關係成立:
　　N�糧�糛�糝�糃和Z+�糛+�糝+.
　　給定兩個集閤A和B，可以定義如下運算:
　　交集（intersection of sets）A∩B={x|x∈A且x∈B}；
　　並集（union of sets）A∪B={x|x∈A或x∈B}；
　　差集（difference of sets）A＼B={x|x∈A且x�麭}；
　　餘集（complementary set）BcA=A＼B，其中B�糀.
　　集閤間的各種運算及其結果可以用圖1.1來錶示，其中陰影部分錶示運算的結果.
　　圖1.1
　　2. 區間
　　區間（interval）是高等數學課程中經常遇到的一類數集.各種區間的符號、名稱、集閤錶示及在數軸上的圖形錶示如錶1.1所示.
　　錶1��1
　　符號名稱集閤錶示圖形錶示
　　(a,b)
　　［a,b］
　　(a,b］
　　［a,b)
　　有限區間
　　開區間{x|a　　閉區間{x|a≤x≤b}
　　半開區間{x|a　　半開區間{x|a≤x　　(a,+∞)
　　［a,+∞)
　　(-∞,a)
　　(-∞,a］
　　無限區間
　　開區間{x|x>a}
　　閉區間{x|x≥a}
　　開區間{x|x　　閉區間{x|x≤a}
　　關於錶中記號的幾點說明：
　　(1) 錶中的各個區間與集閤的記法是嚴格對應的，不能混淆，特彆是開區間(open interval)和閉區間(closed interval)的記法.
　　(2) 在有限區間(finite interval)和無限區間(infinite interval)中，a,b∈R，且a　　(3) 無限區間中的+∞和-∞分彆讀作“正無窮”和“負無窮”，它們僅僅是一種符號，並不錶示數，可以分彆想象為沿著數軸的正嚮和負嚮無限延伸.詳細的定義將在後麵章節中給齣.特彆地，全體實數組成的集閤R記為R=(-∞,+∞).
　　3. 絕對值
　　實數a的絕對值（absolute value）記作|a|，它的定義為
　　|a|=a,a≥0,
　　-a,a<0.
　　該定義錶明，實數a的絕對值|a|是非負的，它的幾何意義是數軸上的點到原點的距離.對於任意給定的實數a,b,c∈R，不難證明如下等式或不等式成立:
　　(1) |a-b|≥0；(2) |a-b|=|b-a|；(3) |a·b|=|a|·|b|；
　　(4) |a+b|≤|a|+|b|；(5) |a-c|≤|a-b|+|b-c|（三角不等式）；
　　(6) |a-b|≥||a|-|b||.
　　4. 鄰域
　　設a∈R，δ>0，數集{x||x-a|<δ}稱為以點a為中心,δ為半徑的鄰域（neighborhood），簡稱a的δ鄰域，記作U(a,δ)，即
　　U(a,δ)={x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ).
　　當不需要注明鄰域的半徑δ時，常把它錶示為U(a)，簡稱點a的鄰域.
　　……

前言/序言

　　高等數學是高等學校的一門重要基礎課程，更是理工科學生接受高等教育不可或缺的一部分。已獲得公眾認知的是：高等數學不僅為理工科學生學習後續專業課程提供所必需的數學知識；而且為工程技術人員處理科學問題提供必要的理論依據.然而，高等數學本身不僅僅是一門科學，更重要的是，通過分析、歸納、推理等各項數學素養的訓練，能夠使學生具備理性思維能力、邏輯推理能力以及綜閤判斷能力.
　　為瞭適應高等教育的發展，順利完成精英化教育嚮大眾化教育的轉型，本著“以人為本、因材施教、夯實基礎、創新應用”的指導思想，大連民族大學理學院組織瞭具有豐富教學經驗的一綫教師編寫本教材.
　　本書以教育部高等學校大學數學課程教學指導分委員會製定的《工科類本科數學基礎課程教學基本要求》為依據，在知識點的覆蓋麵與“基本要求”相一緻的基礎上，對課程內容體係進行瞭整體優化，強化瞭高等數學與後續專業課程的聯係，使之更側重於培養學生的基礎能力和應用能力，以適應培養應用型、復閤型本科人纔的培養目標.與傳統教材相比，我們在編寫時特彆注意瞭以下3個方麵：
　　1.在知識體係的編排上，突齣基礎的重要地位.對教材的內容進行瞭適當的優化和調整，減少課程內容的重復講授.例如，在傳統教材中，函數和數列極限是幾乎被忽略的內容，隻用很少的篇幅進行介紹，並且在授課時也隻是泛泛講解，這對學生學習高等數學是非常不利的.一方麵，函數是微積分的研究對象，極限是微積分的研究工具，淡化瞭這些基礎內容，不利於學生完成從初等數學到高等數學的思維方式的跨越；另一方麵，學生從高考結束到進入大學學習，空閑瞭至少2個月的時間，淡化瞭這些內容，對學生學習後續的內容影響很大.本書中，我們將函數和數列極限分彆作為一章講述；將定積分及定積分的應用閤並成一章；由於定積分在物理方麵的應用與大學物理課程的內容重復，故將其刪去；為瞭便於學生學習和掌握，將常微分方程一章中的所有應用題單列一節講授.
　　2.在課程內容的編寫上，注重知識點的使用方法和技巧.在給齣重要的定義和定理時，對其進行必要的說明，指齣瞭在使用定義和定理解決相關問題時的誤區，列舉瞭一些典型反例；對典型例題進行先分析提示，再引導求解，逐步使學生在學習“規則”時，能夠正確理解並閤理使用這些“規則”，做題時有理可依、有據可查.
　　3.在例題、習題的選配上，注重不同的層次和類彆.為瞭滿足不同專業、不同層次學生的需求，將例題分為三個層次.第一層次注重的是定義和定理，使學生能夠正確閤理使用這些知識點解決一些基本問題；第二層次注重的是數學的方法和技巧，使學生能夠靈活運用這些知識點解決一些相對復雜的問題，培養學生的邏輯推理和計算能力；第三層次注重的是應用，使學生能夠綜閤運用所學的知識解決一些較為睏難的問題，從而提高學生的數學素質.此外，對於同一類型題，我們選配瞭多個例題，教師可以有選擇地講授，其餘的學生可以自學.將習題分為A和B兩類，學生通過學習第一、第二層次的例題便可以解決A類題中的內容，而B類題的內容相對復雜，求解較為睏難，主要是為瞭滿足部分專業和部分考研學生對高等數學的實際需求.
　　本書在編寫過程中，各位參與編寫的教師能夠統一思想、團結協作，曆經瞭充分調研、反復論證、獨立撰寫、相互審閱、及時修補等環節，使本書從初稿、統稿到定稿能夠分階段順利完成.其中，第1，9章由謝叢波編寫；第2，3，8章由焦佳編寫；第4，5，11，12章由董麗編寫；第6，7，10章由張文正編寫；第13章由楚振艷編寫.謝叢波為本書繪製瞭圖形.最後由袁學剛和張友負責全書的統稿及修改定稿，並對各個章節及課後習題進行瞭適當的修改.
　　本書的順利齣版，離不開大連民族大學各級領導的關心和支持，在此錶示感謝.還要特彆感謝清華大學齣版社的劉穎編審，他對本書的初稿進行瞭認真的審閱，給予瞭具體的指導，提齣瞭寶貴的建議.本書在編寫過程中，我們參閱瞭大量的國內外各種版本的同類教材，並藉鑒瞭這些教材的一些經典例題和習題，由於難以一一列舉齣處，深感歉疚，隻能在此一並錶示由衷的謝意.
　　盡管我們投入瞭大量的精力，但由於水平有限，書中還會存在某些不足或錯誤，懇請廣大同行、讀者批評指導，以期進一步修正和完善.
　　編者2017年7月

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