　　【丛书介绍】
　　在数学学习中，你是否有过这样的困惑：“那些严谨而优美的解答是怎样想出来的呢？我为什么就不会这样做呢？”学数学重要的并不只是知识和方法，更重要的还在于学会思考：如何在所遇到的问题与所学知识、方法之间建立联系。《中学生数学思维方法丛书》正是一套教会你如何思考的丛书。每一册分别介绍一种典型的思维方法，通过大量生动有趣的实例，指导你如何运用思维方法解决问题。你从中学到的，不只是单个问题的解答，不只是一类问题的解法，而是更普适的如何寻找解题途径的思维方法。此外，丛书中选用了大量原创题，可以客观地检测你的解题能力。
　　丛书书目：
　　●研究特例●考察极端●更换角度●改造命题
　　●逐步逼近●巧妙分解●充分条件●引入参数
　　●图表转换●建立对应●借桥过河●递归求解

内容简介

　　本书介绍了数学思维方法的一种形式：改造命题，详细讨论了改造命题的目的、相关形式及其方法与技巧。许多研究内容都是本书首次提出的。比如轮换叠合、顺序搭配、错位搭配、同构搭配、功能搭配、奉陪搭配、胜负局搭配、捆绑同类元素、捆绑相邻元素、操作捆绑等，这些都是作者潜心研究的成果。尽管“改造命题”这一思维方法在数学解题中被有意或无意地采用，但并没有发现有相关文献对“改造命题”进行系统而详细的讨论。本书首次对“改造命题”的思维方法进行了比较完整而深入的研究，旨在对解题者在探索解题方法的过程中有所帮助。本书适合高等院校数学系师生、中学数学教师、中学生和数学爱好者阅读。

作者简介

　　冯跃峰，男，1958年4月生，湖南汨罗人，深圳市高级中学中学特级教师。多年从事数学奥林匹克培训工作，所教学生有两人分别在第34、35届国际数学竞赛中获得金牌，近二十名学生进入全国数学冬令营和国家集训队，被中国数学会授予中国数学奥林匹克高级教练员称号。

序（ⅰ）
1符号化(001)
1.1数学语言刻画(001)
1.2引入记号(011)
1.3编号(025)
习题1(037)
习题1解答(041)
ⅴ
ⅵ2叠合(060)
2.1倒序叠合(060)
2.2轮换叠合(076)
习题2(095)
习题2解答(097)
3搭配(108)
3.1顺序搭配(108)
3.2错位搭配(114)
3.3同构搭配(120)
3.4功能搭配(125)
3.5奉陪搭配(130)
3.6胜负局搭配(147)
习题3(176)
习题3解答(181)
4捆绑(205)
4.1同类元素捆绑(205)
4.2相邻元素捆绑(213)
4.3操作捆绑(220)
习题4(235)
习题4解答(238)
5更新观点(252)
5.1方程观点(252)
5.2模观点(264)
5.3函数观点(277)
习题5(300)
习题5解答(303)

前言/序言

　　ⅰ
　　ⅱ序问题是数学的心脏，学数学离不开解题．我国著名数学家华罗庚教授曾说过：如果你读一本数学书，却不做书中的习题，那就犹如入宝山而空手归．因此，如何解题，也就成为了一个千古话题．国外曾流传着这样一则有趣的故事，说的是当时数学在欧几里得的推动下，逐渐成为人们生活中的一个时髦话题（这与当今社会截然相反），以至于托勒密一世也想赶这一时髦，学点数学．虽然托勒密一世见多识广，但在学数学上却很吃力．一天，他向欧几里得请教数学问题，听了半天，还是云里雾里不知所云,便忍不住向欧几里得要求道：“你能不能把问题讲得简单点呢？”欧几里得笑着回答：“很抱歉，数学无王者之路．”欧几里得的意思是说，要想学好数学，就必须扎扎实实打好基础，没有捷径可走．后来人们常用这一故事讥讽那些凡事都想投机取巧之人．但从另一个角度想，托勒密一世的要求也未必过分，难道数学就只能是“神来之笔”，不能让其思路来得更自然一些吗？记得我少年时期上学，每逢学期初发新书的那个时刻是最令我兴奋的，书一到手，总是迫不及待地看看书中有哪些新的内容，一方面是受好奇心的驱使，另一方面也是想测试一下自己，看能不能不用老师教也能读懂书中的内容．但每每都是失望而终：尽管书中介绍的知识都弄明白了，书中的例题也读懂了，但一做书中的练习题，却还是不会．为此，我曾非常苦恼，却又万思不得其解．后来上了大学，更是对课堂中老师那些“神来之笔”惊叹不已，严密的逻辑推理常常令我折服．但我未能理解的是，为什么会想到这么做呢？20世纪中叶，美国数学教育家G．Polya的数学名著《怎样解题》风靡全球，该书使我受益匪浅．这并不是说，我从书中学到了“怎样解题”，而是它引发了我对数学思维方法的思考．实际上，数学解题是一项系统工程，有许许多多的因素影响着它的成败．本质的因素有知识、方法（指狭义的方法，即解决问题所使用的具体方法）、能力（指基本能力，即计算能力、推理能力、抽象能力、概括能力等）、经验等，由此构成解题基础；非本质的因素有兴趣、爱好、态度、习惯、情绪、意志、体质等，由此构成解题的主观状态；此外，还受时空、环境、工具的约束，这些构成了解题的客观条件．但是，具有扎实的解题基础，且有较好的客观条件，主观上也做了相应的努力，解题也不一定能获得成功．这是因为，数学中真正标准的、可以程序化的问题（像解一元二次方程）是很少的.解题中，要想把问题中的条件与结论沟通起来，光有雄厚的知识、灵活的方法和成功的解题经验是不够的．为了判断利用什么知识，选用什么方法，就必须对问题进行解剖、识别，对各种信息进行筛选、加工和组装，以创造利用知识、方法和经验的条件．这种复杂的、创造性的分析过程就是数学思维过程．这一过程能否顺利进行，取决于思维方法是否正确．因此，正确的思维方法亦是影响解题成败的重要因素之一．经验不止一次地告诉我们：知识不足还可以补充，方法不够也可以积累，但若不善思考，即使再有知识和方法，不懂得如何运用它们解决问题，也是枉然．与此相反，掌握了正确的思维方法，知识就不再是孤立的，方法也不再是呆板的，它们都建立了有血有肉的联系，组成了生机勃勃的知识方法体系，数学思维活动也就充满了活力，得到了更完美的发挥与体现．G．Polya曾指出，解题的价值不是答案本身，而在于弄清“是怎样想到这个解法的”，“是什么促使你这样想、这样做的”．这实际上都属于数学思维方法的范畴．所谓数学思维方法，就是在基本数学观念系统作用下进行思维活动的心理过程．简单地说，数学思维方法就是找出已有的数学知识和新遇的数学问题之间联系的一种分析、探索方法．在一般情况下，问题与知识的联系并非是显然的，即使有时能在问题中看到某些知识的“影子”，但毕竟不是知识的原形，或是披上了“外衣”，或是减少了条件，或是改变了结构，从而没有现成的知识、方法可用，这就是我在学生时代“为什么知识都明白了，例题也看懂了，还是不会做习题”的原因．为了利用有关的知识和方法解题，就必须创造一定的“条件”，这种创造条件的认识、探索过程，就是数学思维方法作用的过程．
　　ⅲ
　　ⅳ但是，在当前数学解题教学中，由于“高考”指挥棒的影响，教师往往只注重学生对知识方法掌握的熟练程度，不少教师片面地强调基本知识和解决问题的具体方法的重要性，忽视思维方法方面的训练，造成学生解决一般问题的困难．为了克服这一困难，各种各样的、非本质的、庞杂零乱的具体解题技巧统统被视为规律，成为教师谆谆告诫的教学重点，学生解题也就试图通过记忆、模仿来补偿思维能力的不足，利用胡猜乱碰代替有根据、有目的的探索．这不仅不能提高学生的解题能力，而且对于系统数学知识的学习，对于数学思维结构的健康发展都是不利的．数学思维方法通常又表现为一种解题的思维模式．例如，G．Polya就在《怎样解题》中列出了一张著名的解题表．容许我们大胆断言，任何一种解题模式均不可能囊括人们在解题过程中表现出来的各种思维特征，诸如观察、识别、猜想、尝试、回忆、比较、直觉、顿悟、联想、类比、归纳、演绎、想象、反例、一般化、特殊化等．这些思维特征充满解题过程中的各个环节，要想用一个模式来概括，那就像用数以千计的思维元件来构造一个复杂而庞大的解题机器．这在理论上也许是可行的，但在实际应用中却很不方便，难以被人们接受．更何况数学问题形形色色，任何一个模式都未必能适用所有的数学问题．因此，究竟如何解题，其核心内容还是学会如何思考．有鉴于此，笔者想到写这样一套关于数学思维方法的丛书．本丛书也不可能穷尽所有的数学思维方法，只是选用一些典型的思维方法为代表做些介绍．这些方法，或是作者原创发现，或是作者从一个全新的角度对其进行了较为深入的分析与阐述．囿于水平，书中观点可能片面武断，错误难免，敬请读者不吝指正．
　　冯跃峰
　　2015年1月

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