数学名著译丛：代数特征值问题 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

内容简介

　　《数学名著译丛：代数特征值问题》是一本计算数学名著，作者用摄动理论和向后误差分析方法系统地论述代数特征值问题以及有关的线性代数方程组、多项式零点的各种解法，并对方法的性质作了透彻的分析。《数学名著译丛：代数特征值问题》的内容为研究代数特征值及有关问题提供了严密的理论基础和强有力的工具。全书共分九章，第一章叙述矩阵理论，第二、三章介绍摄动理论和向后舍人误差分析方法，第四章分析线性代数方程组解法，第五章讨论Hermite矩阵的特征值问题，第六、七章研究如何把一般矩阵化为压缩型矩阵及压缩型矩阵的特征值的问题，第八章论述LR和QR算法，最后一章讨论各种迭代法。
　　《数学名著译丛：代数特征值问题》可作为高等院校计算数学专业的教学参考书，也可供计算数学工作者、工程技术人员及有关科学计算人员参考。

内页插图

目录

第一章 理论基础
引言
定义
转置矩阵的特征值与特征向量
不相同的特征值
相似变换
重特征值与一般矩阵的标准型
亏损特征向量系
Jordan（经典的）标准型
初等因子
A的特征多项式的友矩阵
非减次矩阵
Frobenius（有理的）标准型
Jordan标准型与Frobenius标准型的关系
相抵变换
λ矩阵
初等运算
Smith标准型
λ矩阵的k行子式的最大公因子
（A-λI）的不变因子
三角标准型
Hermite矩阵与对称矩阵
Hermite矩阵的基本性质
复对称矩阵
用酉变换化成三角型
二次型
正定性的充要条件
常系数微分方程
对应于非线性初等因子的解
高阶微分方程
特殊形式的二阶方程
By=-Ay的显式解
形如（AB-λI）x=0的方程
向量的最小多项式
矩阵的最小多项式
Cayley-Hamilton定理
最小多项式与标准型的关系
主向量
初等相似变换
初等矩阵的性质
用初等相似变换化成三角标准型
初等酉变换
初等酉Hermite矩阵
用初等酉变换化成三角型
正规矩阵
可交换矩阵
AB的特征值
向量与矩阵的范数
从属的矩阵范数
Euclid范数与谱范数
范数与极限
避免使用矩阵无穷级数

第二章 摄动理论
引言
关于特征值连续性的Ostrowski定理
……
第三章 误差分析
第四章 线性代数方程组的解法
第五章 Hermite矩阵
第六章 化一般矩阵为压缩型
第七章 压缩型矩阵的特征值
第八章 LR和QR算法
第九章 迭代法
参考文献

前言/序言

　　代数特征值问题的解法长期以来对我有一种特殊的魅力，因为它充分地显示出所谓经典数学与实用数值分析之间的差异，特征值问题具有貌似简单的提法，而且其基本理论多年来已为人们所熟知；然而欲求其精确解就会遇到各种挑战性问题。
　　L.Fox教授与E.F.Goodwin博士基于我在计算机上工作的早期经验，建议我写一本关于这个主题的书，纳入数值分析专著丛书。如果不是W.J.Givins教授邀请我参加1957年于底特律召开的矩阵讨论会，因而相继被邀请在密执安大学举办的夏季讨论班作题为“解线性方程组及计算特征值和特征向量的实际技巧”的讲演，撰写本书恐怕只能是一个良好的愿望。每年为这些讲演提供一套讲义的规定业已证明确有特定的价值，本书的许多材料就是以这种方式通过讲演得以介绍。
　　我原来的意图是叙述解此问题的大部分已为人们知晓的技巧以及对其优点作出评价，并尽可能附以相应的误差分析。基于上述想法的原稿于1961年差不多就完成了，然而，在准备原稿的那段时阆内，特征值问题与误差分析获得了重大进展，使我对原先的各章日益感到不满。1962年我决定按照业已改变的客观情况改写全书。我感到，要包含几乎所有的已知方法并给出它们的误差分析已不再切合实际，因此决定主要叙述我有着广泛实际经验的那些方法。同时，我插进附加的一章，给出相当一般的误差分析，它适用于后面提出的几乎所有的方法。多年的经验使我确信，一种方法，如果没有使用过，就很难对它作出可靠的评价，并且一个实际过程在细节方面的相当微小的变动常常会对此方法的效果产生很大的影响。
　　写数值分析书的作者面临着一个特殊的困难问题，这就是如何确定该书的读者对象。特征值问题的实用性论述可能使许多人都感兴趣，其中包括设计工程师、理论物理学家、经典应用数学家以及那些旨在矩阵领域进行研究的数值分析家，一本主要面向后一类读者的书可能会使前一类读者感到难以接受。我不会单纯因某些读者可能感到太困难而省略掉任何东西，但是只要题材许可，我尽量把一切写得初等一些。左右为难的处境在第一章中表现得最为突出。我希望，那里所采用的初等叙述不至于冒犯严谨的数学家。而且如果他还拟从本书其余部分汲取营养，那么希望他把这仅仅看作是他所熟悉的经典材料的一种粗浅表示。

好的，以下是关于一本假想的、与《数学名著译丛：代数特征值问题》无关的图书的详细简介，其内容侧重于一个完全不同的数学领域，比如拓扑学或数论，以确保不包含任何与特征值问题相关的内容。 --- 图书名称： 拓扑结构与低维流形研究导论 作者： [虚构作者名，例如：阿纳托利·彼得罗夫 著，李文斌 译] 出版社： [虚构出版社名，例如：科学前沿出版社] ISBN： [虚构的13位数字] --- 导论：探索空间的内在结构 《拓扑结构与低维流形研究导论》是一部面向高年级本科生、研究生以及致力于深化对几何学和拓扑学理解的数学研究人员的专著。本书并非聚焦于线性代数或矩阵理论的特定分支，而是将读者的目光引向一个更宏大、更本质的领域——拓扑学，特别是低维流形（二维和三维）的分类与不变量理论。 特征值问题，通常处理的是向量空间上的线性变换所揭示的结构信息，而本书则完全避开了这种代数方法的直接应用，转而探讨空间本身，即流形的固有、不依赖于特定坐标系的属性。我们关注的是“形状”在连续形变下的不变性，探寻的是空间如何从本质上被界定。 本书结构严谨，逻辑清晰，旨在为读者建立一个坚实的拓扑学基础，并引导他们进入低维拓扑学的前沿研究领域。全书共分为六个主要部分，辅以丰富的例题和精选的习题，确保理论与实践的紧密结合。 第一部分：基础概念的回顾与深化 本部分首先对一般拓扑学（General Topology）中读者可能已经熟悉的紧凑性、连通性、分离公理等概念进行系统性的回顾与提炼。然而，本书的重点在于引入代数拓扑的初步工具。我们详细介绍了基本群（Fundamental Group）的构造，着重阐释了其作为衡量空间中“洞”的代数不变量的地位。其中，对于圆周 $mathbb{S}^1$ 基本群的计算，以及万有覆盖空间（Universal Covering Space）的概念引入，为后续理解流形提供了必要的语言框架。我们特别强调了同伦等价（Homotopy Equivalence）与同胚（Homeomorphism）之间的微妙区别，这对于理解流形的分类至关重要。 第二部分：流形的概念与经典实例 流形是连接代数与几何的桥梁。本部分精确定义了 $n$ 维流形的拓扑定义，并详细探讨了低维流形，特别是曲面（2-流形）。我们细致分析了可定向性（Orientability）的概念，并将其与第二同调群（Second Homology Group）的性质联系起来。读者将深入学习球面、环面、乃至更高亏格曲面的构造与表示。在这一部分，我们将引入嵌入与浸没的概念，但这些讨论完全基于流形本身的拓扑结构，而非依赖于欧几里得空间中的特定度量。 第三部分：二维流形的分类定理 二维拓扑学的核心在于著名的二维流形分类定理。本书用最清晰的方式，通过剖分（Triangulation）与“剪切与粘贴”的直观几何操作，导出了该定理：任何紧致、可定向的2-流形都同胚于一个亏格为 $g$ 的环面（Torus）通过粘合 $2g$ 个“洞”所形成的流形。 我们详细阐述了欧拉示性数 ($chi$) 作为2-流形最基本的拓扑不变量的性质。欧拉示性数通过曲面上的三角剖分定义，并被证明是拓扑不变量。我们清晰地展示了如何通过 $chi = 2 - 2g$ 来确定一个曲面的拓扑类型，这完全是一个拓扑几何的过程，与特征值或矩阵的谱结构无关。此外，我们还探讨了非可定向曲面，如射影平面 $mathbb{P}^2$ 和克莱因瓶（Klein Bottle）的构造，并计算了它们的欧拉示性数。 第四部分：三维拓扑学的初步探索 进入三维空间，问题的复杂性急剧增加，但其内在美感也愈发凸显。本部分是本书的难点与精彩之处，专注于三维流形的拓扑性质。我们主要关注可定向的三维流形，并引入了边界（Boundary）的概念，探讨了如何通过粘贴二维流形来构造三维流形。 重点内容包括对球面化（Sphering）操作的讨论，以及如何利用纽结理论（Knot Theory）来研究三维流形的内部结构。虽然纽结理论本身是一个精妙的代数与几何交织的领域，但在这里，纽结被视为 $mathbb{S}^3$（三维球面）中的嵌入曲线。我们详细分析了纽结的不变量，如琼斯多项式和亚历山大（Alexander）多项式。这些多项式是从纽结的结伴（Linking）和缠绕特性中提炼出的代数工具，它们的计算和性质完全独立于任何线性代数系统。 第五部分：几何化纲领的远景 本书的最后一部分，我们将目光投向了更宏大的目标——瑟斯顿（Thurston）的几何化纲领。我们不会深入到复杂的测地线动力学或黎曼几何的细节，而是从拓扑学的角度概述这一革命性理论的意义：即每一个紧致三维流形都允许被分解成具有特定八种几何结构（如球面几何、双曲几何等）的子流形。 我们详细介绍了可压缩曲面（Compressible Surfaces）的概念，并解释了如何通过Haken引理和球面定理（Sphere Theorem）的拓扑思想，逐步“去压缩”曲面，直至得到流形的“JSJ分解”（即沿着特定嵌入曲面进行切割）。这一分解过程揭示了三维流形潜在的几何结构，其核心是拓扑操作而非特征向量的求解。 总结与展望 《拓扑结构与低维流形研究导论》旨在为读者提供一个清晰的路径，从基本的空间想象过渡到严谨的拓扑不变量计算和流形的分类理论。本书的全部内容聚焦于连续形变下的不变性、空间的连通性以及代数工具（如基本群、同调群、多项式不变量）在描述几何对象方面的应用。它强调的是结构、连通性和全局性质，与线性代数中对矩阵特征、本征向量的精确计算领域有着本质的区别。本书为有志于深入研究拓扑学、几何学和微分几何的读者奠定了不可或缺的理论基础。