近代微分几何：谱理论与等谱问题、曲率与拓扑不变量 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

内容简介

　　前三章主要介绍了Riemann流形、Riemann联络、Riemann截曲率、Ricci曲率和数量曲率．详细研究了全测地、全脐点和极小子流形等重要内容，此外，还应用变分和Jacobi场讨论了测地线、极小子流形的长度、体积的极小性．在证明了Hodge分解定理之后，论述了Laplace．Be|trami算子△的特征值估计以及谱理论．进而，介绍了Riemann几何中重要的Rauch比较定理、Hessian比较定理、Laplace比较定理和体积比较定理．作为比较定理的应用，我们有著名的拓扑球面定理．这些内容视作近代微分几何必备的专业基础知识．在叙述时，我们同时采用了不变观点（映射观点、近代观点），坐标观点（古典观点）和活动标架法．无疑，对阅读文献和增强研究能力会起很大作用．书中第4、第5章是我们25年中关于特征值的估计，等谱问题、曲率与拓扑不变量等方面部分论文的汇集．它将引导读者如何去阅读文献，如何去作研究，如何作出高水平的成果。《近代微分几何：谱理论与等谱问题、曲率与拓扑不变量》可作理科大学数学系几何拓扑方向硕士生、博士生的教科书，也可作相关数学研究人员的参考书。

内页插图

目录

总序
序言
第l章 Levi-Civita联络和Riemann截曲率
1.1 向量丛上的线性联络
1.2 切丛上的线性联络、向量场的平移和测地线
1.3 Levi.Civita联络和Riemann流形基本定理
1.4 Riemann截曲率、Ricci曲率、数量曲率和常截曲率流形
1.5 C浸入子流形的Riemann联络
1.6 活动标架
1.7 C函数空间
1.8 全测地、极小和全脐子流形
1.9 Euclid空间和Euclid球面中的极小子流形
1.10指数映射、Jacobi场、共轭点和割迹
1.11长度和体积的第1、第2变分公式

第2章 Laplace算子△的特征值、Hodge分解定理、谱理论和等谱问题
第3章 Riemann几何中的比较定理
3.1 Rauch比较定理、Htessian比较定理、Laplace算子比较定理、体积比较定理
3.2 拓扑球面定理

第4章 特征值的估计和等谱问题的研究
第5章 曲率与拓扑不变量
5.1 具有非负Ricci曲率和大体积增长的开流形
5.2 完备非紧流形上射线的excess函数
5.3 具有非负Ricci曲率的开流形的拓扑
5.4 具有非负曲率完备流形的体积增长及其拓扑
5.5 小excess与开流形的拓扑
5.6 曲率下界与有限拓扑型
5.7 Excess函数的一个应用
5.8 小excess和Ricci曲率具有负下界的开流形的拓扑
5.9 具有非负Ricci曲率的开流形的基本群(I)
5.10 具有非负Ricci曲率的开流形的基本群(Ⅱ)
5.11 渐近非负Ricci曲率和弱有界几何的完备流形
5.12 曲率与Betti数
5.13 球面同伦群的伸缩不变量
5.14 积分Ricci曲率有下界对基本群和第1Betti数的限制
5.15 具有有限调和指标的极小超曲面

前言/序言

　　大学最重要的功能是向社会输送人才．大学对于一个国家、民族乃至世界的重要性和贡献度，很大程度上是通过毕业生在社会各领域所取得的成就来体现的．
　　中国科学技术大学建校只有短短的50年，之所以迅速成为享有较高国际声誉的著名大学之一，主要就是因为她培养出了一大批德才兼备的优秀毕业生．他们志向高远、基础扎实、综合素质高、创新能力强，在国内外科技、经济、教育等领域做出了杰出的贡献，为中国科大赢得了“科技英才的摇篮”的美誉．
　　2008年9月，胡锦涛总书记为中国科大建校五十周年发来贺信，信中称赞说：半个世纪以来，中国科学技术大学依托中国科学院，按照全院办校、所系结合的方针，弘扬红专并进、理实交融的校风，努力推进教学和科研工作的改革创新，为党和国家培养了一大批科技人才，取得了一系列具有世界先进水平的原创性科技成果，为推动我国科教事业发展和社会主义现代化建设做出了重要贡献．
　　据统计，中国科大迄今已毕业的5万人中，已有42人当选中国科学院和中国工程院院士，是同期（自1963年以来）毕业生中当选院士数最多的高校之一．其中，本科毕业生中平均每1，000人就产生1名院士和。700多名硕士、博士，比例位居全国高校之首．还有众多的中青年才俊成为我国科技、企业、教育等领域的领军人物和骨干．在历年评选的“中国青年五四奖章”获得者中，作为科技界、科技创新型企业界青年才俊代表，科大毕业生已连续多年榜上有名，获奖总人数位居全国高校前列．鲜为人知的是，有数千名优秀毕业生踏上国防战线，为科技强军做出了重要贡献，涌现出20多名科技将军和一大批国防科技中坚．

近代微分几何：谱理论与等谱问题、曲率与拓扑不变量 导言 本书旨在深入探讨近代微分几何的两个核心领域：谱理论（特别是拉普拉斯-贝蒂算子在流形上的行为）及其与等谱问题的关联，以及曲率概念在流形结构与拓扑性质刻画中的应用。我们将以严谨的数学语言和清晰的逻辑结构，为读者构建一个理解这些深刻联系的知识框架。本书的目标读者包括高年级本科生、研究生以及对几何分析有浓厚兴趣的研究人员。 第一部分：流形上的谱理论基础 本部分从黎曼几何的基本概念出发，为引入谱理论奠定基础。我们将详细回顾光滑流形、黎曼度量、测地线以及基本曲率形式（如里奇曲率、斯卡拉曲率）。 第1章：黎曼流形的基本结构 本章首先界定光滑流形，并引入切丛与张量代数。重点在于黎曼度量的定义及其在局部坐标系下的表现。我们将探讨联络的性质，特别是列维-奇维塔联络，并推导出测地线方程。在此基础上，我们将细致阐述曲率张量的定义、分解（里奇分解）及其在描述空间弯曲程度方面的作用。此外，我们还将引入黎曼几何中的经典工具，如法向丛和指数映射，为后续研究提供必要的分析工具。 第2章：拉普拉斯-贝蒂算子 谱理论的核心在于研究微分算子在特定空间上的本征值问题。在黎曼流形上，关键的算子是拉普拉斯-贝蒂算子（或称拉普拉斯-德拉姆算子）。本章首先定义了拉普拉斯-贝蒂算子 $Delta_g$（对于0-形式、1-形式等）的精确形式，并讨论其与外微分算子 $d$ 和余微分算子 $delta$ 的关系：$Delta = ddelta + delta d$。 我们将详细分析该算子在紧致、边界光滑的黎曼流形上的自伴随性、椭圆性和退缩性质。接着，我们转向希尔伯特空间理论，引入谱定理，并证明拉普拉斯-贝蒂算子拥有一个离散的、非负的本征值谱 $lambda_0 le lambda_1 le lambda_2 le cdots$。本章还将涉及Hodge分解理论，阐明算子在不同上同调群上的行为，这是理解几何结构的关键。 第3章：谱与几何量的关系 本章聚焦于早期谱信息如何反映流形的局部和整体几何性质。我们将介绍Weyl渐近公式，探讨小本征值 $lambda_k$ 与流形体积、表面积等几何量之间的渐近关系。随后，我们将深入研究第一个非零本征值 $lambda_1$（即谱间隙）的几何意义，它与流形的最大测地线曲率的估计（如Chiti不等式）以及流形的连通性（如Cheeger常数）之间的联系。通过对刚性定理和等距嵌入的初步讨论，勾勒出谱信息对局部几何结构的敏感性。 第二部分：等谱问题与流形分类 等谱问题是微分几何中一个引人入胜的领域，它探讨的是：如果两个流形具有相同的拉普拉斯-贝蒂算子的谱，它们是否必然是等距同构的？ 第4章：谱刚性与等谱空间 本章正式提出等谱问题（Can two Riemannian manifolds have the same spectrum if and only if they are isometric?）。我们将回顾经典的“听不见的形状”（Can one hear the shape of a drum?）这一比喻。 我们将考察平面上的等谱非等距问题，引入谱刚性这一概念。重点分析Berry-Dyson理论，探讨谱数据对流形拓扑和几何性质的约束。我们将详细介绍Sunada构造，该构造提供了一种系统性的方法来生成非等距但谱相同的有限群作用下的流形。我们将探讨由群作用产生的具有相同谱但不同几何结构的例子，这些例子通常涉及双覆盖或纤维化结构。 第5章：谱与拓扑不变量的联系 虽然拉普拉斯谱本身无法完全决定等距结构，但它与某些拓扑不变量有着深刻的联系。本章将研究谱与Betti数的关联，特别是通过Hodge分解中相应本征值的重数来推断拓扑信息。我们将讨论高阶谱信息（如谱密度函数）在区分具有相同低阶谱信息的流形方面的局限性与潜力。此外，还将探讨谱信息如何被用来估计或推断流形的连通分支数和基本群的某些代数性质。 第三部分：曲率与拓扑不变量 本部分将视角转向曲率，研究如何通过曲率的积分或平均值来刻画流形的拓扑结构。 第6章：高斯-邦内特定理与欧拉示性数 本章是连接曲率与拓扑学的经典桥梁。我们将首先回顾二维黎曼流形上的高斯曲率 $K$。详细推导高斯-邦内特定理，即 $int_M K dA = 2pi chi(M)$，其中 $chi(M)$ 是流形的欧拉示性数。我们将阐述该定理的内在几何意义，以及它在球面、环面和亏格 $g$ 的曲面上成立的普适性。我们将讨论该定理在向量丛上的推广（如Chern-Weil理论的初步介绍），尽管我们将重点保留在基础的黎曼几何背景下。 第7章：黎奇曲率与拓扑结构 本章聚焦于里奇曲率 $Ric$。我们将分析里奇曲率与测地线偏离率的关系，特别是其在描述物质密度和能量分布方面的物理意义。我们将深入探讨里奇平坦流形（Ricci-flat manifolds）——如卡拉比-丘流形——的性质，以及它们在代数几何和弦理论中的重要性。随后，我们将讨论里奇流（Ricci Flow）的初步概念，作为一种动态演化曲率的方法，它在几何化猜想中的核心作用。 第8章：拓扑与曲率的积分公式：狄拉克算子与阿蒂亚-辛格指标定理 本章将引入狄拉克算子 $ ot D$，这是连接几何与拓扑的另一个深刻工具。我们将首先定义旋量，然后定义狄拉克算子。我们将详细阐述阿蒂亚-辛格指标定理的基本形式，即指标（Index）与拓扑不变量（如Chern类）的等价性。虽然指标定理的完整证明需要用到K理论，本章将侧重于该定理的几何解释：狄拉克算子谱的奇点（即本征值为零的模态）的数量，即其指标，可以通过流形上的某些曲率积分来确定。这将构成一个强大的工具，用于从局部曲率信息推导出全局拓扑特征。 结语 本书通过对谱理论和曲率概念的深入剖析，旨在展示近代微分几何作为一个统一分析与拓扑的强大框架的深度与广度。从单个本征值的物理意义，到复杂曲率积分所蕴含的拓扑奥秘，我们希望读者能体会到这些看似分离的数学领域之间内在的和谐统一。本书为读者继续探索更高级的主题，如几何化理论、拓扑量子场论中的谱理论应用，以及非交换几何中的曲率概念，铺设了坚实的基础。