　　"为了掌握足够的基础数学能力，人们需要了解的关键数学概念和典型数学题型有哪些？"本书提供了答案。本书汇编了很有用的学术数学概念和生活数学概念。书中的秘密食谱提供了经典的数学题目和相关提示。提示是一些数学原理，把某个提示及相关题目放在一起。本书介绍了30个提示，提供了120道经典数学题，除此之外，还通过使用三个辣椒的标志来提醒读者问题的难易程度。

作者简介

　　布兰登·罗伊尔，出生于加拿大，就读于哈佛大学，后在考试机构Kaplan担任主管。其作品先后五次荣获"国际图书奖"、五次荣获"总统图书奖"金奖，2011年荣获"年度教育图书奖"。

　　任职于Kaplan期间，他潜心研究英文写作、语法和逻辑推理教学，总结自己多年的教学经验，独创了一整套教学体系，并先后出版了《一本小小的蓝色逻辑书》《一本小小的红色写作书》《一本小小的紫色概率书》《一本小小的金色语法书》等经典著作，成为全球英文写作、语法、逻辑推理领域的标杆之作。

内页插图

精彩书摘

　　这是一个男人和他的养鱼场的故事。

　　一个男人买了一个养鱼场和养鱼场里原本有的鱼，然后他雇了一个经理。经营了一年，年末的时候，经理告诉老板，鱼的数量增加了100%。

　　又经营了一年，经理告诉老板，因为把鱼收获的原因，养鱼场里的鱼的数量减少了50%。听到这个，老板心想：“第一年鱼的数量增加了100%，第二年又减少了50%，那么，现在鱼的数量比刚开始的时候多50%。”

　　当然啦，这位可爱的老板拥有的鱼的数量并没有比原来多50%，因为总数不同的百分数不能相加（或相减）。那么，这位老板现在拥有多少鱼呢？和原来完全一样。

　　我们可以用几个简单的数字来证明：假设这位老板一开始买了100条鱼。那么在第一年，鱼的数量增加了100%，变成了200条。第二年，鱼的数量减少了50%，从200条变成了100条。所以，现在养鱼场里还有100条鱼。

　　在这个例子里，200条鱼和100条鱼，分别是第一年年底和第二年年底鱼的总数。实际上先有100条鱼的增加量，再有100条鱼的减少量。在百分比方面，却是先有100%的增加，再有50%的减少。之所以会出现这种情况，是因为基数不同。百分比先是在一个比较少的基数（100条鱼）的基础上增加，再在一个比较大的基数（200条鱼）的基础上减少。简而言之，100条鱼的100%和200条鱼的50%，在数量上是一样的。

　　在我们的日常生活中，复合利率是一个很好的例子，我们不能把百分数简单相加，因为基础的数量是根据复利增加的。举个例子，一个1000美元的储蓄账户，年利率是10%，那么第一年年底所获得的利息为100美元。但是，第二年年底所获得的利息则会超过200美元（$1000的20%）。原因在于，第一年，是在1000美元的基础上增加10%，而第二年，是在1100美元的基础上增加10%，1000和1100是不同的两个基数。

　　平均数的方法。平均数（也叫作算数平均数或者算数平均值）的计算方法是：平均数=总数/数量。在我们日常生活中通常用这种方式计算平均数。中位数是最中间的数字。把所有数字从小到大排列，一半的数字比它大，一半的数字比它小。众数是一组数字中出现次数最多的数字。

　　让我们用一组简单的数据测试一下这三种衡量集中趋势的概念。科学课老师在一个学期的课上进行了5次随堂测验，每次的总分都是10分，某个学生的得分是：4.0、4.0、5.0、7.0和10.0分。那么该生的平均分是多少？这里的平均分要看你指的是什么？在这个例子里，该学生的算数平均分是6.0分，中位数分是5.0分，众数分是4.0分。另一个学生的得分是5.0、6.0、9.0、10.0 和10.0分，那么这个学生的算数平均分是8.0，中位数分是9.0，众数分是10.0。

　　如果一个学生参加了6次随堂测验，分数分别是4.0、4.0、6.0、8.0、10.0和10.0分，那么他的中位数分和众数分是多少呢？该生的算术平均数分是7.0，中位数分也是7.0（中间两个数字6.0和8.0的平均数），众数分则有两个4.0和10.0。请注意一组数据的中位数永远是最中间两个数字的平均数，而众数是不会用来算平均数的。

　　请注意，对称的图表都有唯一的平均数、中位数和众数。我们可以在对称的图表中间画一条垂直的线，这样从图表的最高点起，两边对称。

　　值域和标准偏差是测量离差的手段。值域是一组数据最小值和最大值的差别。标准偏差是用来测量作为对象的数据的方差的手段。从更广和更抽象的角度思考标准偏差的话，我们需要记住标准偏差越大，越多的数据偏离平均值。高标准差说明所有的或者大多数的数值是分散的，低标准差说明所有的或者大多数的数值是靠近的。

　　对于参差的数据组来说，标准差高；对于一致的数据组来说，标准差低。对于一致的数据组，我们观察到的数据性质相近；对于参差的数据组，我们观察到的数据性质差异大。这里说的性质指的是高度。专业篮球运动员的身高的标准差会比在商场里随便挑选的一组人低。在一个篮球队里，身高很高是正常的。当观察篮球运动员们身高的标准差的时候，首先思考一下他们的平均身高。一旦我们得出平均身高，即使有高于平均身高的运动员和矮于平均身高的运动员，我们也会发现，绝大多数运动员的身高都接近这个数字。

　　现在假设我们研究商场里随意挑选的人员的身高。这些人员中有男有女，有孩子，有青少年，也有成年人。很显然，这群随意选出的人员的身高的标准差会比篮球队的专业篮球运动员高上很多。我们可以认为，篮球运动员的身高数据是更加一致的数据，而商场里挑选的人员的数据是更加参差的数据。

前言/序言

　　本书的首要目的是帮助读者在尽可能短的时间内，获得掌握基础数学知识所必须的思维能力。这种思维能力和计算能力是相匹配的。善于计算的人在解决问题的时候能敏锐地抓住"为什么"和"怎么样"的概念。这类人对于数字很敏感，在掌握关键数学原则的情况下，能够用概念性的方式解决问题。计算能力不仅仅是能精准地算数，而且蕴含着数学的科学性和数字的艺术性。

　　《一本小小的绿色数学书》汇编了最有用的学术数学概念和生活数学概念。书中的秘密食谱提供了经典的数学题目和相关提示。经典题目是无限循环和增值的，会令读者所花的时间和精力物有所值。提示是一些数学原理，把某个提示及相关题目放在一起。本书介绍了30个提示，提供了120道经典数学题目，除此之外，还通过使用三个辣椒的标志来提醒读者问题的难易程度。一个辣椒表示问题"相对容易"，两个辣椒表示"难"，三个辣椒表示"很难"。

　　好的数学能力，和好的厨艺一样，要从好的材料开始。

　　第一章：基础计算材料指出了复习基础数学概念的重要性，基础数学概念为获得更高级别问题解决能力奠定了基础。掌握了这些概念，你就能很有信心地回答下面这些问题：和百分比增加和减少有关的五个公式是什么？在解决比率和比例问题的时候通常有什么陷阱？数学运算的顺序重不重要？我们如何知道两个变量成正比或者反比、成比例或者不成比例？

　　好的数学能力，和好的厨艺一样，要从食谱开始。

　　第二章：好的数学食谱指出"最优解"的重要性。这可能包含在解决相似数学问题时使用的捷径。举例来说，在解决重叠问题时所使用的"公式组"，解决矩阵问题的"盒子"表格，解决混合问题的"木桶法"和解决加权平均数问题的"加权平均数"公式，都是有助于问题解决的工具。

　　好的数学能力，和好的厨艺一样，是很实用的。

　　第三章：最爱算数美食指出了数学的实用性。本章把目光集中在商业领域，着力解决加价和利润、成本利润对比分析、盈亏平衡点、效率和分配等问题。

　　好的数学能力，和好的厨艺一样，会有好的表现途径。

　　第四章：从绘图的角度来表现数学。作为"数学图画"的线图和饼图给数据提供了直观的表现方式。

　　关于统计学的简单探索帮助我们理解两个变量如何相互关联，为什么"平均"这个词语可以有不同的意义，"统计显著性"的含义是什么。

　　本书的主要目标读者是学生，包括高中学生、大学学生以及为通过大学委员会测试和标准化入学考试（SAT，ACT，GRE，GMAT等）的数学科目而努力学习的学生。鉴于数学和计算能力的普及性，本书也适合在职人员学习，特别是从事银行、管理顾问、会计、法律和政府工作的相关人员。

　　本书在数学书市场上的独特性在哪里呢？老师和老板们经常会抱怨他们的学生或者员工数学基础不好或者运算能力不强。但是，数学基础没有一个具体的清单，运算能力也没有高效的获得方式，而本书就填补了这一空白。"为了掌握足够的基础数学能力，人们需要了解的关键数学概念和典型数学题型有哪些？"本书提供了答案。

　　参考本书的内容，"基础"这一术语指的是简单但是含义深刻的数学知识。说得更加诗意一点，掌握基础意味着你可以开始"和数学起舞"。本书的大部分题目都需要读者掌握初级数学知识。除了要先掌握加减乘除的运算知识，还需要读者有基础的代数知识，包括单变量问题解决的能力。即便读者没有掌握解决基础数学问题所需要的正式方法，每个问题附带的解释也为读者提供了帮助。

　　虽然本书是为了帮助读者在最短的时间内开发数学思维，但你的收获不止于此。你能通过本书获得的最大收获是继续学习的灵感，这种灵感不仅仅局限在数学领域。那些你从茅塞顿开的学习时刻获得的满足，搭配上掌握这些学习材料的自信，组成了学习过程中美妙的附带效果。

　　让我们开始吧。

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