本书是按照教育部大学数学教学指导委员会的基本要求，充分吸取当前优秀高等数学教材的精华，并
结合数年来的教学实践经验，针对当前学生的知识结构和习惯特点而编写的。全书分为上、下两册。本书
为上册，是一元函数微积分部分，共四章，主要内容包括函数极限与连续，一元函数微分学及其应用，一
元函数积分学及其应用，微分方程。每节前面配有课前导读，核心知识点配备微课，每章后面附有章节测
试和拓展阅读。
本书注重知识点的引入方法，使之符合认知规律，更易于读者接受。同时，本书精炼了主要内容，适当
降低了学习难度，对部分内容调整了顺序，使结构更加简洁，思路更加清晰。本书还注重知识的连贯性，例
题的多样性和习题的丰富性、层次性，使读者在学习数学知识点的同时拓宽了视野，欣赏数学之美。
本书可作为高等院校理工科类各专业的教材，也可作为社会从业人员的自学参考用书。

作者简介

同济大学数学系始建于1945年，程其襄、杨武之、朱言钧、樊映川、张国隆、陆振邦等知名学者曾在此任教，并留下了《高等数学》等有全国影响的优秀教材。

第一章　函数、极限与连续　1
第一节　集合与函数　1
一、集合的概念　1
二、常用函数　4
习题1-1　9
第二节　数列极限的定义与计算　10
一、数列极限的概念　10
二、数列极限的计算　13
习题1-2　15
第三节　函数极限的定义与计算　16
一、自变量趋于无穷大时的极限　16
二、自变量趋于有限值时的极限　18
三、函数极限的计算方法　21
习题1-3　23
第四节　极限性质　24
*一、利用极限定义证明　24
二、数列极限的性质　25
三、函数极限的性质　26
*四、极限运算法则的证明　28
习题1-4　30
第五节　两个重要极限　30
一、夹逼定理　31
二、第一重要极限　33
三、单调有界收敛定理　35
四、第二重要极限　36
习题1-5　38
第六节　无穷小与无穷大　39
一、无穷小　40
二、无穷大　41
三、无穷小与无穷大的关系　42
四、无穷小的比较　42
五、等价无穷小的应用　44
习题1-6　45
第七节　函数的连续性及其性质　46
一、连续的概念　47
二、函数的间断点　49
三、初等函数的连续性　52
四、闭区间上连续函数的性质　54
习题1-7　56
本章小结　59
章节测试一　61
拓展阅读　63
第二章　一元函数微分学及其应用　65
第一节　导数的概念及基本求导公式　65
一、割线与切线　65
二、导数的定义　66
三、简单函数的求导　67
四、左、右导数　68
五、切线与法线方程　69
六、函数的可导性与连续性的关系　70
七、函数的和、差、积、商的求导法则　71
八、反函数的求导法则　72
九、求导公式与基本求导法则　73
习题2-1　74
第二节　导数的计算法则　75
一、复合函数的求导法则　76
二、高阶导数　78
三、隐函数的导数　81
四、由参数方程确定的函数的导数　82
*五、相关变化率　84
习题2-2　84
第三节　微分的概念与应用　88
一、微分的定义　88
二、基本初等函数的微分公式及微分法则　90
三、微分的几何意义　92
四、近似计算　92
习题2-3　93
第四节　微分中值定理及其应用　95
一、罗尔定理　96
二、拉格朗日(Ｌａｇｒａｎｇｅ)中值定理　98
三、柯西中值定理　100
四、洛必达(Ｌ′Ｈｏｓｐｉｔａｌ)法则　100
习题2-4　103
*第五节　泰勒中值定理　105
一、多项式逼近函数　105
二、麦克劳林公式　108
三、泰勒公式的应用　109
习题2-5　111
第六节　函数的性态与图形　111
一、函数单调性的判别　112
二、函数的极值及其求法　115
三、曲线的凹凸性与拐点　118
四、曲线的渐近线　121
五、函数图形的描绘　122
习题2-6　124
第七节　微分学的实际应用　126
一、最大值、最小值　126
二、曲率　128
习题2-7　133
本章小结　135
章节测试二　137
拓展阅读　139
第三章　一元函数积分学及其应用　143
第一节　不定积分的概念与性质　143
一、原函数　143
二、不定积分　143
三、基本积分公式　145
四、不定积分的性质　146
习题3-1　148
第二节　不定积分的换元法与分部法　149
一、第一类换元法(凑微分法)　149
二、第二类换元法　155
三、分部积分法　158
习题3-2　161
*第三节　有理函数的不定积分　164
一、真分式的分解　164
二、有理函数的不定积分　165
三、三角函数的有理式的不定积分　166
四、可化为有理函数的简单无理根式的
不定积分　167
习题3-3　168
第四节　定积分的概念与性质　169
一、实例分析　170
二、定积分的定义　171
三、定积分的几何意义　173
四、定积分的性质　174
习题3-4　177
第五节　微积分基本定理　178
一、变速直线运动的路程　178
二、积分上限函数　179
三、微积分基本定理　182
习题3-5　184
第六节　定积分的换元法和分部法　186
一、定积分的换元法　186
二、定积分的分部法　190
习题3-6　193
第七节　定积分的几何应用与物理应用　195
一、平面图形的面积　195
二、空间立体的体积　201
三、曲线的弧长　205
*四、定积分在物理上的应用举例　207
习题3-7　209
第八节　反常积分　211
一、无限区间上的反常积分　211
二、无界函数的反常积分(瑕积分)　214
习题3-8　216
本章小结　217
章节测试三　219
拓展阅读　221
第四章　微分方程　227
第一节　微分方程的概念　227
一、微分方程的引例　227
二、微分方程的基本概念　229
习题4-1　232
第二节　一阶微分方程　233
一、可分离变量方程　233
二、齐次方程　234
三、一阶线性微分方程　236
习题4-2　239
第三节　二阶微分方程　240
一、可降阶的二阶微分方程　240
二、线性微分方程解的结构　242
三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法　244
*四、ｎ　阶常系数齐次线性微分方程的解法　247
五、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法　248
习题4-3　250
*第四节　微分方程的实际案例　252
一、一阶微分方程的实际案例　252
二、二阶微分方程的实际案例　255
习题4-4　258
本章小结　259
章节测试四　261
拓展阅读　263
习题答案　266