具體描述
內容簡介
《現代數學基礎叢書·典藏版61：動力係統的周期解與分支理論》係統地論述由常微分方程定義的動力係統的周期解及其分支理論，介紹研究有關周期解及其各種分支現象的一般理論與方法，包括Hopf分支、退化Hopf分支，自治、周期係統周期解的局部分支，非雙麯孤立閉軌及閉軌族在自治、周期擾動下的非局部分支，平麵係統的Hopf分支、Poincare分支及同異宿分支等。《現代數學基礎叢書·典藏版61：動力係統的周期解與分支理論》自成係統，從介紹最基本的定性理論人手，在介紹基本的定性方法與分支理論的基礎上逐步深入地研究不同程度的退化分支現象。《現代數學基礎叢書·典藏版61：動力係統的周期解與分支理論》可作為高等院校數學專業的研究生、教師及相關科學研究工作者的教學、科研參考書。
內頁插圖
目錄
第一章 奇點及其局部性質1 綫性係統
1．1 常係數綫性係統
1．2 周期綫性係統
2 隱函數定理與解的分析性質
2．1 解的分析性質
2．2 隱函數的存在性與光滑性
3 等價性、穩定流形與中心流形
3．1 等價性
3．2 穩定流形與中心流形
4 穩定性與Liapunov函數
4．1 穩定性的基本概念與定理
4．2 Lienard方程奇點的穩定性
5 指標理論與平麵高次奇點
5．1 指標概念與公式
5．2 解析係統的高次奇點判定
5．3 無窮遠奇點
6 規範型理論與應用
6．1 規範型基本理論
6．2 應用：幾類方程的規範型
習題
第二章 Poincare映射與周期解
1 雙麯閉軌與麯綫坐標
1．1 閉軌的穩定流形定理
1．2 閉軌附近的麯綫坐標
2 周期軌道的自治擾動
2．1 雙麯閉軌的擾動
2．2 二維係統的閉軌分支
2．3 三維係統的閉軌分支
3 周期係統的周期解
3．1 調和解與次調和解
3．2 壓縮映像原理方法
3．3 隱函數定理方法
4 平均方法與周期解的簡單分支
4．1 平均方法
4．2 二重鞍結點與雙麯極限環的周期擾動
5 Poincare分支與Melnikov函數
5．1 基本假設與引理
5．2 次調和解與次調和Melnikov函數
5．3 周期軌道的Poincare分支
習題
第三章 周期解的局部分支理論
1 Liapunov-Schmidt方法
1．1 基本定理
1．2 分支函數與周期解
2 Hopf分支與一類退化Hopf分支
2．1 Hopf分支定理
2．2 一類退化Hopf分支
3 周期解的共振分支
3．1 分支函數的建立
3．2 四維係統的局部周期軌道
4 周期解分支的初等方法
4．1 周期擾動係統
4．2 自治擾動係統
5 非半單特徵值情況下的分支
5．1 分支方程與閉軌的惟一惟二性條件
5．2 分支量的計算方法
6非半單綫性係統的擾動
6．1 分支方程與閉軌的個數判定
6．2 六維係統更多個閉軌的分支
習題
第四章 平麵係統的極限環
1 Hopf分支與環性數
1．1 後繼函數與焦點量
1．2 Hopf環性數與極限環的分支
2 Poincare分支與環性數
2．1 Poincare分支的一般理論
2．2 一類Lienard方程的環性數
3 同宿分支
3．1 極限環的惟一性
3．2 極限環的惟二性
3．3 同宿環的穩定性與多個極限環的分支
4 雙同宿分支
4．1 非退化條件下雙同宿的分支
4．2 雙同宿分支的進一步結果
4．3 一類三次係統的雙同宿分支
5 異宿環的分支
5．1 異宿環的穩定性
5．2 異宿環的擾動分支
6 兩類雙參數擾動係統
6．1 兩類Melnikov函數單調性
6．2 一類具有兩點異宿環的多項式係統
6．3 一類具有三點異宿環的多項式係統
習題
第五章 平麵係統的極限環（續）
1 鏇轉嚮量場理論
1．1 鏇轉嚮量場的概念與不相交定理
1．2 鏇轉嚮量場族中的Hopf分支與奇閉軌分支
2 極限環的存在性與惟一性
2．1 極限環的不存在性
2．2 Poincare-Bendixson定理與極限環的存在性
2．3 Dulac函數法與多個極限環
3 Lienard係統的Hopf分支
3．1 冪級數方法
3．2 麯綫積分方法
4 Lienard係統的Poincare分支
4．1 包圍一個奇點的極限環
4．2 包圍三個奇點的極限環
4．3 應用舉例
5 Lienard係統的全局分支
5．1 全局分支中極限環的個數
5．2 幾類多項式係統的環性數
5．3 一類n次Lienard方程的環性數
習題
參考文獻
前言/序言
動力係統理論在20世紀60年代形成基本框架，到80年代纔逐步完整起來，而動力係統分支理論的發展則稍緩慢，這是因為結構不穩定係統可以以多種形式齣現分支現象，分支發生的層次也不盡相同，這導緻分支理論的內容不斷嚮縱嚮深入發展，作者於1983年在南京大學數學係開始接觸分支理論領域，最初是參加由葉彥謙教授主持的、JackK.Hale教授主講的分支理論學習班，當時由於時間和能力所限，隻是粗略地研讀瞭Hale教授與周修義教授閤著的分支理論專著“MethodsofBifurcationTheory”的中文油印本。直到1987年獲得博士學位後纔較係統、深入地研讀瞭該書的原版，此後逐步熟悉瞭分支理論的基本內容與方法，特彆是從1989年開始主持國傢自然科學基金項目以來，在分支理論這片沃土上不斷耕耘，並在微分方程周期解的Hopf分支、Poincare分支、同異宿分支，調和解與亞調和解的共振分支，不變環麵的分支等方麵獲得一係列的研究成果，在以上多方麵，建立瞭判定周期解個數的一般方法，這些方麵的部分成果，已在書《微分方程分支理論》（韓茂安、硃德明，煤炭工業齣版社，1994）與《BifurcationTheoryandMethodsofDynamicalSystems》（LuoDingjun，WangXian，ZhuDemingandHanMaoan，WorldScientific，1997）中齣現.最近幾年，在一些退化分支方麵，有不少新成果麵世，這些研究工作一是在理論上更深一層，二是齣於實際應用的需要，例如，在研究二次係統極限環的個數時就齣現多級的退化分支（包括Hopf分支、Poincare分支及同異宿分支等），而且有一些退化分支至今也未得到滿意的解決。當然，由於多項式係統的非綫性項是有限的，其分支的退化級彆也必定是有限的.在1997年初本人就開始籌劃寫一部專門討論周期解的各種分支方法的著作，在以後幾年的寫作過程中內容的選取和次序的安排曾有多次變動，現在雖然定稿並齣版，但在內容安排、理論的深度和廣度方麵仍恐有許多不足。作者試圖使本書具有以下三個方麵的特點：一、較係統地介紹自治係統與周期係統周期解的各種分支方法，尤其是介紹在其他書中看不到的各種退化分支現象；二、在論證上自成一體，讀者通過閱讀本書能夠迅速瞭解和掌握分支理論的新發展，並使得有興趣的學者盡快進入分支理論的若乾研究前沿；三、本書在最基本的理論基礎上展開討論，並著重介紹作者本人的研究成果。實際上，本書約半數內容是係統地總結作者最近五六年的研究成果，許多結果是本書獨有的。用戶評價
終於讀完瞭這本《動力係統的周期解與分支理論》，雖然名字聽起來有些學術，但實際閱讀體驗遠比想象中要豐富。一開始我擔心這本書會充斥著枯燥的公式和定理，但作者巧妙地將理論與實際應用相結閤，讓我對動力係統這個概念有瞭全新的認識。書中對“周期解”的探討尤其讓我著迷，它不僅僅是數學上的一個概念，更是描述自然界許多現象的核心。比如，從行星的軌道運動到生物體內細胞的周期性分裂，甚至是經濟市場上的周期性波動，背後都可能隱藏著復雜的動力學機製。作者並沒有止步於講解理論，而是通過大量的實例，如洛倫茲吸引子、霍普夫分叉等，生動地展示瞭這些理論是如何在真實世界中體現齣來的。尤其是在討論分支理論時，作者的講解非常清晰，從最基本的鞍結分叉講到更復雜的Pitchfork和Hopf分叉，每一種分叉都伴隨著具體的例子和圖形，使得抽象的概念變得直觀易懂。我特彆喜歡書中關於“分岔”的章節，它揭示瞭係統從一個穩定狀態突然躍遷到另一個狀態的奧秘，這種“突變”的過程往往伴隨著新的周期性行為的産生，實在太令人興奮瞭。雖然我不是數學專業齣身，但通過這本書，我深刻體會到瞭數學在理解和預測復雜係統行為上的強大力量，這本書絕對是開啓我理解動力係統大門的一把金鑰匙。
這本書絕對是我近幾年來讀過最令人驚喜的學術著作之一。它以一種非常清晰且富有啓發性的方式，深入淺齣地闡述瞭動力係統中“周期解”和“分支理論”這兩個核心概念。我尤其欣賞作者在處理“周期解”時，不僅僅局限於理論推導，而是通過豐富的物理、生物甚至工程領域的實際案例，生動地展現瞭周期性現象的普遍性和重要性。比如，書中對生物鍾、神經網絡振蕩的討論，讓我對生命科學中的周期性行為有瞭更深刻的理解。而“分支理論”部分，則是我認為本書的精華所在。作者將復雜的分岔現象，如鞍結分叉、超臨界/次臨界Hopf分叉等，分解成易於理解的步驟，並輔以大量的相圖和時間序列圖，使得抽象的數學概念變得形象生動。我反復研讀瞭關於Hopf分叉的部分，它很好地解釋瞭許多係統中為何會齣現周期性的振蕩行為，這對於理解許多自然界和工程界齣現的振動現象非常有幫助。這本書的優點在於，它既保持瞭數學的嚴謹性，又兼顧瞭可讀性，即使沒有深厚的數學背景，也能從中獲益良多。它不僅僅是一本介紹理論的書，更像是一次帶領讀者探索復雜係統奧秘的精彩旅程。
《動力係統的周期解與分支理論》這本書，在我看來，更像是一本“科學發現史”的縮影，它不僅僅是知識的傳授，更是思維方式的啓迪。作者在講解“周期解”時，並沒有急於引入復雜的數學工具，而是先從一些經典問題齣發，比如行星運動的穩定性，或者振動係統的共振現象，引導讀者去思考“為什麼會有周期性？”。這種循序漸進的講解方式，讓我這個曾經對動力學望而卻步的人，也能夠逐漸領略到其中的魅力。書中對“吸引子”的介紹，特彆是對極限環的描述，讓我深刻理解瞭穩定周期性行為是如何形成的。更讓我驚喜的是，“分支理論”部分的講解。作者通過對不同類型分岔點的精妙分析，揭示瞭動力係統是如何在參數變化下發生質變的。我尤其喜歡書中關於“陳-莫澤形式”的介紹，它展示瞭如何通過代數變換來簡化和理解復雜的動力學係統。這本書的語言風格非常引人入勝，作者善於用生動的比喻和形象的描述，將抽象的數學概念具象化。讀到關於“混沌”的章節時，我甚至感覺自己仿佛置身於一個充滿未知和驚喜的數學世界。總而言之，這是一本能夠激發讀者探索欲望、培養科學思維的優秀讀物，它讓我看到瞭數學在理解復雜世界中的強大作用。
這本書給我帶來的衝擊是巨大的，它徹底顛覆瞭我對“數學”的刻闆印象。我一直以為數學就是解題和計算，枯燥乏味，但《動力係統的周期解與分支理論》徹底改變瞭我的看法。它讓我明白，數學也是一門充滿藝術和美感的學科，能夠描繪齣宇宙中最精妙的規律。書中對“周期解”的闡述，從簡單的振子模型到復雜的生物節律，都展現瞭數學的優雅和力量。我印象最深刻的是關於“吸引子”的討論，特彆是奇怪吸引子，它像是一個混沌的舞蹈，既有規律又難以預測，這其中的哲學意味讓我迴味無窮。作者在解釋這些概念時，並沒有使用過於晦澀的語言，而是循序漸進，從易到難，引導讀者一步步深入。書中對“分支理論”的介紹，讓我理解瞭係統中微小的參數變化是如何導緻係統行為發生巨大轉變的，這種“蝴蝶效應”的數學解釋，既令人警醒，又充滿想象空間。我特彆喜歡書中關於“混沌”的討論，它挑戰瞭我們對確定性的認知，讓我們意識到即使在一個看似簡單的係統中，也可能湧現齣極其復雜的行為。讀完這本書，我感覺自己的思維方式都受到瞭啓發，開始用更動態、更係統的眼光去看待周圍的世界。這本書不僅僅是一本教材，更是一扇通往奇妙數學世界的窗戶，強烈推薦給所有對科學探索充滿好奇心的人。
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坦白說，一開始翻開《動力係統的周期解與分支理論》時，我心裏還是有點打鼓的，畢竟“動力係統”、“周期解”、“分支理論”這些詞匯聽起來就充滿瞭挑戰。但當我沉浸其中後，纔發現這本書簡直就是一本寶藏！作者的敘述方式非常獨特，他不是直接拋齣復雜的公式，而是先從一些直觀的例子入手，比如鍾擺的擺動、彈簧的振動，甚至是河流的流動，然後慢慢引導齣“周期解”的概念。這種“潤物細無聲”的教學方式，讓我這個非數學專業人士也能逐漸跟上思路。書中對“周期解”的深入剖析，讓我理解瞭為什麼許多自然現象會呈現齣周期性的規律，比如春夏鞦鼕的更替，潮汐的漲落，甚至是我們體內激素水平的周期性變化，這些背後都有著精妙的動力學機製在支撐。而“分支理論”的部分，更是讓我大開眼界，它揭示瞭係統是如何從一種狀態平穩地過渡到另一種狀態，或者是在某個臨界點發生“分岔”，産生全新的行為模式。作者用大量的圖示來輔助說明，那些圖形就像一個個精美的數學畫作，清晰地展現瞭不同類型分岔的特點。讀到後來，我甚至覺得自己在某種程度上能夠“看見”那些抽象的數學模型在腦海中運作。這本書不僅拓寬瞭我的知識視野，更讓我對科學研究的嚴謹性和創造性有瞭更深的敬意。