具体描述
内容简介
《现代数学基础丛书·典藏版61：动力系统的周期解与分支理论》系统地论述由常微分方程定义的动力系统的周期解及其分支理论，介绍研究有关周期解及其各种分支现象的一般理论与方法，包括Hopf分支、退化Hopf分支，自治、周期系统周期解的局部分支，非双曲孤立闭轨及闭轨族在自治、周期扰动下的非局部分支，平面系统的Hopf分支、Poincare分支及同异宿分支等。《现代数学基础丛书·典藏版61：动力系统的周期解与分支理论》自成系统，从介绍最基本的定性理论人手，在介绍基本的定性方法与分支理论的基础上逐步深入地研究不同程度的退化分支现象。《现代数学基础丛书·典藏版61：动力系统的周期解与分支理论》可作为高等院校数学专业的研究生、教师及相关科学研究工作者的教学、科研参考书。
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目录
第一章 奇点及其局部性质1 线性系统
1．1 常系数线性系统
1．2 周期线性系统
2 隐函数定理与解的分析性质
2．1 解的分析性质
2．2 隐函数的存在性与光滑性
3 等价性、稳定流形与中心流形
3．1 等价性
3．2 稳定流形与中心流形
4 稳定性与Liapunov函数
4．1 稳定性的基本概念与定理
4．2 Lienard方程奇点的稳定性
5 指标理论与平面高次奇点
5．1 指标概念与公式
5．2 解析系统的高次奇点判定
5．3 无穷远奇点
6 规范型理论与应用
6．1 规范型基本理论
6．2 应用：几类方程的规范型
习题
第二章 Poincare映射与周期解
1 双曲闭轨与曲线坐标
1．1 闭轨的稳定流形定理
1．2 闭轨附近的曲线坐标
2 周期轨道的自治扰动
2．1 双曲闭轨的扰动
2．2 二维系统的闭轨分支
2．3 三维系统的闭轨分支
3 周期系统的周期解
3．1 调和解与次调和解
3．2 压缩映像原理方法
3．3 隐函数定理方法
4 平均方法与周期解的简单分支
4．1 平均方法
4．2 二重鞍结点与双曲极限环的周期扰动
5 Poincare分支与Melnikov函数
5．1 基本假设与引理
5．2 次调和解与次调和Melnikov函数
5．3 周期轨道的Poincare分支
习题
第三章 周期解的局部分支理论
1 Liapunov-Schmidt方法
1．1 基本定理
1．2 分支函数与周期解
2 Hopf分支与一类退化Hopf分支
2．1 Hopf分支定理
2．2 一类退化Hopf分支
3 周期解的共振分支
3．1 分支函数的建立
3．2 四维系统的局部周期轨道
4 周期解分支的初等方法
4．1 周期扰动系统
4．2 自治扰动系统
5 非半单特征值情况下的分支
5．1 分支方程与闭轨的惟一惟二性条件
5．2 分支量的计算方法
6非半单线性系统的扰动
6．1 分支方程与闭轨的个数判定
6．2 六维系统更多个闭轨的分支
习题
第四章 平面系统的极限环
1 Hopf分支与环性数
1．1 后继函数与焦点量
1．2 Hopf环性数与极限环的分支
2 Poincare分支与环性数
2．1 Poincare分支的一般理论
2．2 一类Lienard方程的环性数
3 同宿分支
3．1 极限环的惟一性
3．2 极限环的惟二性
3．3 同宿环的稳定性与多个极限环的分支
4 双同宿分支
4．1 非退化条件下双同宿的分支
4．2 双同宿分支的进一步结果
4．3 一类三次系统的双同宿分支
5 异宿环的分支
5．1 异宿环的稳定性
5．2 异宿环的扰动分支
6 两类双参数扰动系统
6．1 两类Melnikov函数单调性
6．2 一类具有两点异宿环的多项式系统
6．3 一类具有三点异宿环的多项式系统
习题
第五章 平面系统的极限环（续）
1 旋转向量场理论
1．1 旋转向量场的概念与不相交定理
1．2 旋转向量场族中的Hopf分支与奇闭轨分支
2 极限环的存在性与惟一性
2．1 极限环的不存在性
2．2 Poincare-Bendixson定理与极限环的存在性
2．3 Dulac函数法与多个极限环
3 Lienard系统的Hopf分支
3．1 幂级数方法
3．2 曲线积分方法
4 Lienard系统的Poincare分支
4．1 包围一个奇点的极限环
4．2 包围三个奇点的极限环
4．3 应用举例
5 Lienard系统的全局分支
5．1 全局分支中极限环的个数
5．2 几类多项式系统的环性数
5．3 一类n次Lienard方程的环性数
习题
参考文献
前言/序言
动力系统理论在20世纪60年代形成基本框架，到80年代才逐步完整起来，而动力系统分支理论的发展则稍缓慢，这是因为结构不稳定系统可以以多种形式出现分支现象，分支发生的层次也不尽相同，这导致分支理论的内容不断向纵向深入发展，作者于1983年在南京大学数学系开始接触分支理论领域，最初是参加由叶彦谦教授主持的、JackK.Hale教授主讲的分支理论学习班，当时由于时间和能力所限，只是粗略地研读了Hale教授与周修义教授合著的分支理论专著“MethodsofBifurcationTheory”的中文油印本。直到1987年获得博士学位后才较系统、深入地研读了该书的原版，此后逐步熟悉了分支理论的基本内容与方法，特别是从1989年开始主持国家自然科学基金项目以来，在分支理论这片沃土上不断耕耘，并在微分方程周期解的Hopf分支、Poincare分支、同异宿分支，调和解与亚调和解的共振分支，不变环面的分支等方面获得一系列的研究成果，在以上多方面，建立了判定周期解个数的一般方法，这些方面的部分成果，已在书《微分方程分支理论》（韩茂安、朱德明，煤炭工业出版社，1994）与《BifurcationTheoryandMethodsofDynamicalSystems》（LuoDingjun，WangXian，ZhuDemingandHanMaoan，WorldScientific，1997）中出现.最近几年，在一些退化分支方面，有不少新成果面世，这些研究工作一是在理论上更深一层，二是出于实际应用的需要，例如，在研究二次系统极限环的个数时就出现多级的退化分支（包括Hopf分支、Poincare分支及同异宿分支等），而且有一些退化分支至今也未得到满意的解决。当然，由于多项式系统的非线性项是有限的，其分支的退化级别也必定是有限的.在1997年初本人就开始筹划写一部专门讨论周期解的各种分支方法的著作，在以后几年的写作过程中内容的选取和次序的安排曾有多次变动，现在虽然定稿并出版，但在内容安排、理论的深度和广度方面仍恐有许多不足。作者试图使本书具有以下三个方面的特点：一、较系统地介绍自治系统与周期系统周期解的各种分支方法，尤其是介绍在其他书中看不到的各种退化分支现象；二、在论证上自成一体，读者通过阅读本书能够迅速了解和掌握分支理论的新发展，并使得有兴趣的学者尽快进入分支理论的若干研究前沿；三、本书在最基本的理论基础上展开讨论，并着重介绍作者本人的研究成果。实际上，本书约半数内容是系统地总结作者最近五六年的研究成果，许多结果是本书独有的。用户评价
坦白说，一开始翻开《动力系统的周期解与分支理论》时，我心里还是有点打鼓的，毕竟“动力系统”、“周期解”、“分支理论”这些词汇听起来就充满了挑战。但当我沉浸其中后，才发现这本书简直就是一本宝藏！作者的叙述方式非常独特，他不是直接抛出复杂的公式，而是先从一些直观的例子入手，比如钟摆的摆动、弹簧的振动，甚至是河流的流动，然后慢慢引导出“周期解”的概念。这种“润物细无声”的教学方式，让我这个非数学专业人士也能逐渐跟上思路。书中对“周期解”的深入剖析，让我理解了为什么许多自然现象会呈现出周期性的规律，比如春夏秋冬的更替，潮汐的涨落，甚至是我们体内激素水平的周期性变化，这些背后都有着精妙的动力学机制在支撑。而“分支理论”的部分，更是让我大开眼界，它揭示了系统是如何从一种状态平稳地过渡到另一种状态，或者是在某个临界点发生“分岔”，产生全新的行为模式。作者用大量的图示来辅助说明，那些图形就像一个个精美的数学画作，清晰地展现了不同类型分岔的特点。读到后来，我甚至觉得自己在某种程度上能够“看见”那些抽象的数学模型在脑海中运作。这本书不仅拓宽了我的知识视野，更让我对科学研究的严谨性和创造性有了更深的敬意。
《动力系统的周期解与分支理论》这本书，在我看来，更像是一本“科学发现史”的缩影，它不仅仅是知识的传授，更是思维方式的启迪。作者在讲解“周期解”时，并没有急于引入复杂的数学工具，而是先从一些经典问题出发，比如行星运动的稳定性，或者振动系统的共振现象，引导读者去思考“为什么会有周期性？”。这种循序渐进的讲解方式，让我这个曾经对动力学望而却步的人，也能够逐渐领略到其中的魅力。书中对“吸引子”的介绍，特别是对极限环的描述，让我深刻理解了稳定周期性行为是如何形成的。更让我惊喜的是，“分支理论”部分的讲解。作者通过对不同类型分岔点的精妙分析，揭示了动力系统是如何在参数变化下发生质变的。我尤其喜欢书中关于“陈-莫泽形式”的介绍，它展示了如何通过代数变换来简化和理解复杂的动力学系统。这本书的语言风格非常引人入胜，作者善于用生动的比喻和形象的描述，将抽象的数学概念具象化。读到关于“混沌”的章节时，我甚至感觉自己仿佛置身于一个充满未知和惊喜的数学世界。总而言之，这是一本能够激发读者探索欲望、培养科学思维的优秀读物，它让我看到了数学在理解复杂世界中的强大作用。
终于读完了这本《动力系统的周期解与分支理论》，虽然名字听起来有些学术，但实际阅读体验远比想象中要丰富。一开始我担心这本书会充斥着枯燥的公式和定理，但作者巧妙地将理论与实际应用相结合，让我对动力系统这个概念有了全新的认识。书中对“周期解”的探讨尤其让我着迷，它不仅仅是数学上的一个概念，更是描述自然界许多现象的核心。比如，从行星的轨道运动到生物体内细胞的周期性分裂，甚至是经济市场上的周期性波动，背后都可能隐藏着复杂的动力学机制。作者并没有止步于讲解理论，而是通过大量的实例，如洛伦兹吸引子、霍普夫分叉等，生动地展示了这些理论是如何在真实世界中体现出来的。尤其是在讨论分支理论时，作者的讲解非常清晰，从最基本的鞍结分叉讲到更复杂的Pitchfork和Hopf分叉，每一种分叉都伴随着具体的例子和图形，使得抽象的概念变得直观易懂。我特别喜欢书中关于“分岔”的章节，它揭示了系统从一个稳定状态突然跃迁到另一个状态的奥秘，这种“突变”的过程往往伴随着新的周期性行为的产生，实在太令人兴奋了。虽然我不是数学专业出身，但通过这本书，我深刻体会到了数学在理解和预测复杂系统行为上的强大力量，这本书绝对是开启我理解动力系统大门的一把金钥匙。
这本书给我带来的冲击是巨大的，它彻底颠覆了我对“数学”的刻板印象。我一直以为数学就是解题和计算，枯燥乏味，但《动力系统的周期解与分支理论》彻底改变了我的看法。它让我明白，数学也是一门充满艺术和美感的学科，能够描绘出宇宙中最精妙的规律。书中对“周期解”的阐述，从简单的振子模型到复杂的生物节律，都展现了数学的优雅和力量。我印象最深刻的是关于“吸引子”的讨论，特别是奇怪吸引子，它像是一个混沌的舞蹈，既有规律又难以预测，这其中的哲学意味让我回味无穷。作者在解释这些概念时，并没有使用过于晦涩的语言，而是循序渐进，从易到难，引导读者一步步深入。书中对“分支理论”的介绍，让我理解了系统中微小的参数变化是如何导致系统行为发生巨大转变的，这种“蝴蝶效应”的数学解释，既令人警醒，又充满想象空间。我特别喜欢书中关于“混沌”的讨论，它挑战了我们对确定性的认知，让我们意识到即使在一个看似简单的系统中，也可能涌现出极其复杂的行为。读完这本书，我感觉自己的思维方式都受到了启发，开始用更动态、更系统的眼光去看待周围的世界。这本书不仅仅是一本教材，更是一扇通往奇妙数学世界的窗户，强烈推荐给所有对科学探索充满好奇心的人。
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这本书绝对是我近几年来读过最令人惊喜的学术著作之一。它以一种非常清晰且富有启发性的方式，深入浅出地阐述了动力系统中“周期解”和“分支理论”这两个核心概念。我尤其欣赏作者在处理“周期解”时，不仅仅局限于理论推导，而是通过丰富的物理、生物甚至工程领域的实际案例，生动地展现了周期性现象的普遍性和重要性。比如，书中对生物钟、神经网络振荡的讨论，让我对生命科学中的周期性行为有了更深刻的理解。而“分支理论”部分，则是我认为本书的精华所在。作者将复杂的分岔现象，如鞍结分叉、超临界/次临界Hopf分叉等，分解成易于理解的步骤，并辅以大量的相图和时间序列图，使得抽象的数学概念变得形象生动。我反复研读了关于Hopf分叉的部分，它很好地解释了许多系统中为何会出现周期性的振荡行为，这对于理解许多自然界和工程界出现的振动现象非常有帮助。这本书的优点在于，它既保持了数学的严谨性，又兼顾了可读性，即使没有深厚的数学背景，也能从中获益良多。它不仅仅是一本介绍理论的书，更像是一次带领读者探索复杂系统奥秘的精彩旅程。