信息與計算科學叢書·典藏版（46）：有限元方法 下載 mobi epub pdf 電子書 2026

內容簡介

　　《信息與計算科學叢書·典藏版（46）：有限元方法》係統地論述瞭有限元方法的數學基礎理論。
　　《信息與計算科學叢書·典藏版（46）：有限元方法》以橢圓偏微分方程的邊值問題為例，介紹瞭協調有限元方法以及非協調等非標準有限元方法的數學描述、收斂條件和性質、有限元解的先驗和後驗誤差估計以及有限元空間的基本性質，其中包括作者多年來的部分研究成果。
　　《信息與計算科學叢書·典藏版（46）：有限元方法》可以作為從事科學與工程計算的科研和工程技術人員的參考書，也可以作為高等院校計算數學、應用數學等專業碩士研究生的教材。

內頁插圖

目錄

《信息與計算科學叢書》序
前言

第1章 變分原理
1．1 Sobolev空間
1．2 Poisson方程
1．3 重調和方程
1．4 抽象變分問題
1．5 Galerkin方法和Ritz方法

第2章 有限元和有限元空間
2．1 區域的剖分
2．2 有限元
2．3 有限元空間
2．4 二階橢圓問題：單純形有限元
2．5 二階橢圓問題：矩形有限元
2．6 四階橢圓問題：單純形有限元
2．7 四階橢圓問題：矩形有限元
2．8 2m階橢圓問題：MWX元

第3章 有限元插值理論
3．1 仿射變換和仿射簇
3．2 仿射連續性和尺度不變性
3．3 插值誤差
3．4 逆不等式
3．5 有限元空間的逼近精度
3．6 一般單元的插值誤差

第4章 協調有限元方法
4．1 Poisson方程
4．2 薄闆彎麯問題
4．3 後驗誤差估計

第5章 非協調有限元方法
5．1 非協調有限元
5．2 弱連續性
5．3 二階橢圓邊值問題
5．4 四階橢圓邊值問題
5．5 2m階橢圓邊值問題
5．6 後驗誤差估計

第6章 非協調有限元的收斂性
6．1 廣義分片檢驗
6．2 分片檢驗
6．3 分片檢驗的反例
6．4 F-E-M檢驗
6．5 超逼近性
6．6 奇異的收斂現象

第7章 擬協調有限元方法
7．1 二階問題：RQC4元
7．2 重調和方程
7．3 秩條件
7．4 逼近性
7．5 誤差估計
7．6 後驗誤差估計

第8章 非傳統有限元方法
8．1 自由格式
8．2 兩個單元
8．3 收斂分析
8．4 一般情形
8．5 後驗誤差估計

第9章 雙參數方法
9．1 DSP方法
9．2 DSP方法的收斂性
9．3 Poisson方程的DSP元
9．4 薄闆彎麯問題的DSP元
9．5 後驗誤差估計

第10章 有限元空間的性質
10．1 基本假設
10．2 嵌入性質
10．3 緊緻性質
10．4 有限元空間上的不等式
10．5 關於最大模的不等式

第11章 二階問題有限元的Loo誤差估計
11．1 加權範數
11．2 正則Green函數
11．3 協調元
11．4 非協調元

第12章 薄闆彎麯有限元的Loo誤差估計
12．1 正則Green函數
12．2 協調元
12．3 非協調元
12．4 擬協調元
12．5 非傳統元
12．6 DSP元

參考文獻
索引

前言/序言

信息與計算科學叢書·典藏版（45）：數值代數 內容簡介 本書是“信息與計算科學叢書·典藏版”係列中的第45捲，聚焦於數值代數這一信息與計算科學領域的核心分支。數值代數是數學、計算機科學和工程應用之間的一座關鍵橋梁，它緻力於研究如何利用計算機對綫性代數問題進行高效、穩定和精確的數值求解。本書內容全麵、深入，旨在為高等院校的理工科學生、研究生以及從事相關領域的科研和工程技術人員提供一套係統、嚴謹且富有實踐指導意義的教材與參考資料。 全書結構清晰，從基礎概念齣發，逐步深入到前沿算法與應用，力求展現數值代數的全貌。 第一部分：基礎與預備知識 本部分首先迴顧瞭必要的數學基礎，特彆是綫性代數的核心概念，如矩陣的範數、秩、特徵值與特徵嚮量等。隨後，詳細介紹瞭計算機浮點運算的精度、誤差的來源與控製，這是理解所有數值方法的基石。重點討論瞭矩陣的條件數，用以衡量問題對輸入微小變化的敏感性，直接關係到數值解的可靠性。 第二部分：綫性方程組的直接求解方法 這是數值代數的核心內容之一。本書對求解大規模綫性方程組 $mathbf{Ax} = mathbf{b}$ 的直接法進行瞭詳盡的闡述。 高斯消元法及其矩陣分解形式： 詳細分析瞭高斯消元過程的每一步，並將其推廣到 $LU$ 分解。深入討論瞭主元選擇（部分選主元與完全選主元）對計算穩定性的影響，並闡述瞭如何利用 $PA = LU$ 分解高效求解多個右端項的問題。 Cholesky 分解： 專門針對對稱正定矩陣，介紹瞭一種計算效率高且穩定性極佳的分解方法，並討論瞭其在優化問題中的應用。 矩陣的直接求逆： 盡管在實際應用中不推薦直接求逆，但本書仍對其原理進行瞭介紹，並將其與分解方法的計算量進行瞭對比分析。 第三部分：綫性方程組的迭代求解方法 對於特彆稀疏或超大規模的綫性係統，直接法因其存儲需求和計算復雜度往往不適用。本部分著重介紹瞭迭代法，這類方法通過構造一個收斂到精確解的序列來逼近真實解。 基本迭代法： 詳細分析瞭雅可比（Jacobi）迭代法和高斯-賽德爾（Gauss-Seidel）迭代法。重點在於分析這些方法的收斂條件（如對角占優矩陣的性質）和收斂速度。 欠鬆弛與超鬆弛迭代（SOR）： 引入鬆弛因子以加速或穩定迭代過程，並探討瞭最佳鬆弛因子的選擇。 子空間方法與Krylov子空間： 這是現代大規模求解器的基礎。本書深入介紹瞭 Arnoldi 迭代和 Lanczos 迭代，它們是構建高效求解器的核心工具。 第四部分：特徵值問題的數值解法 計算矩陣的特徵值和特徵嚮量是科學計算中的另一大難題，廣泛應用於穩定性分析、主成分分析（PCA）等領域。 相似變換與Hessenberg/Tridiagonal 矩陣： 闡述瞭如何通過正交相似變換將一般矩陣轉化為易於處理的 Hessenberg 矩陣或對稱矩陣的 Tridiagonal 形式，從而顯著加速後續的迭代過程。 QR 算法： 詳細介紹瞭 QR 算法的原理，包括其如何利用 QR 分解迭代地逼近特徵值。重點講解瞭添加平移因子（Shifted QR Algorithm）以加速收斂至真實特徵值的技巧。 Lanczos 迭代與Arnoldi 迭代在特徵值問題中的應用： 探討瞭這些迭代方法如何用於大規模稀疏矩陣，僅需計算矩陣與嚮量的乘積，即可有效地估計齣最大的或最小的幾個特徵值（即子空間方法）。 冪法與反冪法： 介紹瞭計算最大特徵值和反求最小特徵值的經典方法，並討論瞭其在特定場景下的實用性。 第五部分：矩陣函數的計算與最小二乘問題 本部分拓展瞭數值代數的應用範圍。 矩陣函數的數值逼近： 討論瞭矩陣指數、矩陣平方根等重要函數的數值計算方法，包括基於譜分解的方法和更通用的 Pade 近似法。 綫性最小二乘問題： 麵對超定係統（方程多於未知數），介紹如何求解最小二乘意義下的近似解。重點講解瞭正規方程組法、QR 分解法（Householder 變換和 Givens 鏇轉）以及奇異值分解（SVD）在穩定求解最小二乘問題中的優越性。SVD 作為數值代數中最強大的工具之一，其理論和計算過程被詳盡闡述。 本書特色 1. 理論與實踐並重： 每章均配有詳實的理論推導和收斂性分析，同時穿插大量的工程實例和算法的穩定性和效率討論。 2. 麵嚮大規模計算： 相比傳統教材，本書更側重於稀疏矩陣、迭代法和子空間方法，充分考慮瞭現代高性能計算的需求。 3. 嚴謹的數值分析視角： 始終強調誤差分析、條件數和算法的穩定性，確保讀者不僅知道“如何做”，更理解“為什麼這樣做”。 本書內容涵蓋瞭數值代數領域從經典到現代的主流算法，是計算數學、應用數學、物理、力學、電子工程、數據科學等領域研究人員和高年級本科生、研究生必備的參考書目。