信息与计算科学丛书·典藏版（46）：有限元方法 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

内容简介

　　《信息与计算科学丛书·典藏版（46）：有限元方法》系统地论述了有限元方法的数学基础理论。
　　《信息与计算科学丛书·典藏版（46）：有限元方法》以椭圆偏微分方程的边值问题为例，介绍了协调有限元方法以及非协调等非标准有限元方法的数学描述、收敛条件和性质、有限元解的先验和后验误差估计以及有限元空间的基本性质，其中包括作者多年来的部分研究成果。
　　《信息与计算科学丛书·典藏版（46）：有限元方法》可以作为从事科学与工程计算的科研和工程技术人员的参考书，也可以作为高等院校计算数学、应用数学等专业硕士研究生的教材。

内页插图

目录

《信息与计算科学丛书》序
前言

第1章 变分原理
1．1 Sobolev空间
1．2 Poisson方程
1．3 重调和方程
1．4 抽象变分问题
1．5 Galerkin方法和Ritz方法

第2章 有限元和有限元空间
2．1 区域的剖分
2．2 有限元
2．3 有限元空间
2．4 二阶椭圆问题：单纯形有限元
2．5 二阶椭圆问题：矩形有限元
2．6 四阶椭圆问题：单纯形有限元
2．7 四阶椭圆问题：矩形有限元
2．8 2m阶椭圆问题：MWX元

第3章 有限元插值理论
3．1 仿射变换和仿射簇
3．2 仿射连续性和尺度不变性
3．3 插值误差
3．4 逆不等式
3．5 有限元空间的逼近精度
3．6 一般单元的插值误差

第4章 协调有限元方法
4．1 Poisson方程
4．2 薄板弯曲问题
4．3 后验误差估计

第5章 非协调有限元方法
5．1 非协调有限元
5．2 弱连续性
5．3 二阶椭圆边值问题
5．4 四阶椭圆边值问题
5．5 2m阶椭圆边值问题
5．6 后验误差估计

第6章 非协调有限元的收敛性
6．1 广义分片检验
6．2 分片检验
6．3 分片检验的反例
6．4 F-E-M检验
6．5 超逼近性
6．6 奇异的收敛现象

第7章 拟协调有限元方法
7．1 二阶问题：RQC4元
7．2 重调和方程
7．3 秩条件
7．4 逼近性
7．5 误差估计
7．6 后验误差估计

第8章 非传统有限元方法
8．1 自由格式
8．2 两个单元
8．3 收敛分析
8．4 一般情形
8．5 后验误差估计

第9章 双参数方法
9．1 DSP方法
9．2 DSP方法的收敛性
9．3 Poisson方程的DSP元
9．4 薄板弯曲问题的DSP元
9．5 后验误差估计

第10章 有限元空间的性质
10．1 基本假设
10．2 嵌入性质
10．3 紧致性质
10．4 有限元空间上的不等式
10．5 关于最大模的不等式

第11章 二阶问题有限元的Loo误差估计
11．1 加权范数
11．2 正则Green函数
11．3 协调元
11．4 非协调元

第12章 薄板弯曲有限元的Loo误差估计
12．1 正则Green函数
12．2 协调元
12．3 非协调元
12．4 拟协调元
12．5 非传统元
12．6 DSP元

参考文献
索引

前言/序言

信息与计算科学丛书·典藏版（45）：数值代数 内容简介 本书是“信息与计算科学丛书·典藏版”系列中的第45卷，聚焦于数值代数这一信息与计算科学领域的核心分支。数值代数是数学、计算机科学和工程应用之间的一座关键桥梁，它致力于研究如何利用计算机对线性代数问题进行高效、稳定和精确的数值求解。本书内容全面、深入，旨在为高等院校的理工科学生、研究生以及从事相关领域的科研和工程技术人员提供一套系统、严谨且富有实践指导意义的教材与参考资料。 全书结构清晰，从基础概念出发，逐步深入到前沿算法与应用，力求展现数值代数的全貌。 第一部分：基础与预备知识 本部分首先回顾了必要的数学基础，特别是线性代数的核心概念，如矩阵的范数、秩、特征值与特征向量等。随后，详细介绍了计算机浮点运算的精度、误差的来源与控制，这是理解所有数值方法的基石。重点讨论了矩阵的条件数，用以衡量问题对输入微小变化的敏感性，直接关系到数值解的可靠性。 第二部分：线性方程组的直接求解方法 这是数值代数的核心内容之一。本书对求解大规模线性方程组 $mathbf{Ax} = mathbf{b}$ 的直接法进行了详尽的阐述。 高斯消元法及其矩阵分解形式： 详细分析了高斯消元过程的每一步，并将其推广到 $LU$ 分解。深入讨论了主元选择（部分选主元与完全选主元）对计算稳定性的影响，并阐述了如何利用 $PA = LU$ 分解高效求解多个右端项的问题。 Cholesky 分解： 专门针对对称正定矩阵，介绍了一种计算效率高且稳定性极佳的分解方法，并讨论了其在优化问题中的应用。 矩阵的直接求逆： 尽管在实际应用中不推荐直接求逆，但本书仍对其原理进行了介绍，并将其与分解方法的计算量进行了对比分析。 第三部分：线性方程组的迭代求解方法 对于特别稀疏或超大规模的线性系统，直接法因其存储需求和计算复杂度往往不适用。本部分着重介绍了迭代法，这类方法通过构造一个收敛到精确解的序列来逼近真实解。 基本迭代法： 详细分析了雅可比（Jacobi）迭代法和高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法。重点在于分析这些方法的收敛条件（如对角占优矩阵的性质）和收敛速度。 欠松弛与超松弛迭代（SOR）： 引入松弛因子以加速或稳定迭代过程，并探讨了最佳松弛因子的选择。 子空间方法与Krylov子空间： 这是现代大规模求解器的基础。本书深入介绍了 Arnoldi 迭代和 Lanczos 迭代，它们是构建高效求解器的核心工具。 第四部分：特征值问题的数值解法 计算矩阵的特征值和特征向量是科学计算中的另一大难题，广泛应用于稳定性分析、主成分分析（PCA）等领域。 相似变换与Hessenberg/Tridiagonal 矩阵： 阐述了如何通过正交相似变换将一般矩阵转化为易于处理的 Hessenberg 矩阵或对称矩阵的 Tridiagonal 形式，从而显著加速后续的迭代过程。 QR 算法： 详细介绍了 QR 算法的原理，包括其如何利用 QR 分解迭代地逼近特征值。重点讲解了添加平移因子（Shifted QR Algorithm）以加速收敛至真实特征值的技巧。 Lanczos 迭代与Arnoldi 迭代在特征值问题中的应用： 探讨了这些迭代方法如何用于大规模稀疏矩阵，仅需计算矩阵与向量的乘积，即可有效地估计出最大的或最小的几个特征值（即子空间方法）。 幂法与反幂法： 介绍了计算最大特征值和反求最小特征值的经典方法，并讨论了其在特定场景下的实用性。 第五部分：矩阵函数的计算与最小二乘问题 本部分拓展了数值代数的应用范围。 矩阵函数的数值逼近： 讨论了矩阵指数、矩阵平方根等重要函数的数值计算方法，包括基于谱分解的方法和更通用的 Pade 近似法。 线性最小二乘问题： 面对超定系统（方程多于未知数），介绍如何求解最小二乘意义下的近似解。重点讲解了正规方程组法、QR 分解法（Householder 变换和 Givens 旋转）以及奇异值分解（SVD）在稳定求解最小二乘问题中的优越性。SVD 作为数值代数中最强大的工具之一，其理论和计算过程被详尽阐述。 本书特色 1. 理论与实践并重： 每章均配有详实的理论推导和收敛性分析，同时穿插大量的工程实例和算法的稳定性和效率讨论。 2. 面向大规模计算： 相比传统教材，本书更侧重于稀疏矩阵、迭代法和子空间方法，充分考虑了现代高性能计算的需求。 3. 严谨的数值分析视角： 始终强调误差分析、条件数和算法的稳定性，确保读者不仅知道“如何做”，更理解“为什么这样做”。 本书内容涵盖了数值代数领域从经典到现代的主流算法，是计算数学、应用数学、物理、力学、电子工程、数据科学等领域研究人员和高年级本科生、研究生必备的参考书目。