计算方法丛书·典藏版11：刚性常微分方程初值问题的数值解法 pdf epub mobi txt 电子书 下载 在线阅读 2026

内容简介

　　《计算方法丛书·典藏版11：刚性常微分方程初值问题的数值解法》叙述了在计算机上求解刚性常微分方程的初值问题的数值解法，提供了处理刚性常微分方程的基本思想和对方法进行理论分析的基础。《计算方法丛书·典藏版11：刚性常微分方程初值问题的数值解法》内容包括：刚性常微分方程的问题举例和数信方法的稳定性理论，Run-ge-Kutta方法及其推广，Pade近似的处理方法和结果，单步方法和多步方法等。
　　《计算方法丛书·典藏版11：刚性常微分方程初值问题的数值解法》可供高等院校有芙专业的师生、计算数学工作者、工程技术人员参考。

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目录

第一章 引论
1 刚性常微分方程
2 常用的稳定性定义
3 一些刚性方程的例子
4 稳定区域的计算

第二章 线性多步公式的稳定性
1 线性多步公式
2 线性多步公式的A稳定性
3 线性多步公式的A（a）稳定性
4 线性多步公式的A0稳定性
5 线性多步公式的刚性稳定性

第三章 向后差分方法
1 向后差分公式
2 向后差分公式的稳定性
3 求解刚性方程的数值方法的计算危险性问题
4 广义向后差分公式
5 应用二阶导数的Enright方法

第四章 ex的有理分式近似
1 Pade近似和可接受性
2 ex的Pade近似的零点和极点
3 ex的有理近似在虚轴上的模
4 A可接受性

第五章 指数拟合方法
1 指数拟合方法
2 应用广义Hermite-Birkhoff内插的指数拟合多步方法
3 矩阵多步方法的指数拟合
3．1 积分公式的推导
3．2 稳定性分析
3．3 局部截断误差分析
3．4 矩阵ο的选取
4 一类特殊刚性方程的修正线性多步方法

第六章 Richardson外插方法
1 截断误差的渐近展开式
2 Richardson外插方法
3 利用梯形法的整体外插
4 平滑过程
5 用内插法求中间点上高精度近似值
6 应用平滑和外插的隐式中点方法
7 利用梯形公式局部外插的数值方法

第七章 具有可变系数的线性多步方法
1 具有可变矩阵系数的多步方法
2 稳定化方法的阶
3 可变系数多步方法的稳定性分析
4 稳定方法的例子

第八章 边界层方法
1 奇异摄动问题的解的渐近展开式
2 边界层型数值方法
3 渐近变换方法
3．1 导数的拟稳定性
3．2 非线性刚性系统导数的拟稳定性

第九章 隐式Runge-Kutta方法
l 隐式Runge-Kutta公式
2 隐式Runge-Kutta方法的A稳定性
3 隐式Runge-Kutta方法的其他稳定性

第十章 隐式unge-Kutta方法的实现
l 等效代换的迭代方法
2 修改的Newton迭代方法
3 对角线隐式Runge-Kutta方法
4 Rosenbrock的半隐式Runge-Kutta方法
5 Butcher矩阵变换及相应的方法
6 广义Rung-Kutta方法

第十一章 组合方法
1 例子
2 基本算法公式
3 方法的收敛性和误差阶
4 稳定性分析

第十二章 盲动控制系统常微分方程组的数值解法
1 问题的提出
2 计算稳定性
3 右函数中避免导数的计算
4 框图的变换
5 非正规格式的计算稳定性
6 其它问题的处理

第十三章 处理刚性方程的一些其它方法
1 等效系统替代方法
2 光滑近似特解方法（SAPS）
3 一类非线性方法
3．1 方法Ⅰ
3．2 方法Ⅱ
3．3 方法Ⅲ
3．4 方法Ⅳ
3．5 方法Ⅴ
4 矩阵分解方法（系统方法）
4．l线性系统的数值求解方法
4．2 矩阵分解方法
5 线性多步平均算法
6 块方法
参考文献

计算方法丛书·典藏版：专题聚焦与前沿探索 本丛书旨在汇聚计算科学领域中具有深远影响和广阔应用前景的经典理论与创新方法，为科研工作者、高级工程技术人员及相关专业学生提供一套系统、深入且具有前沿性的学术参考。本典藏版精选的每一卷，都聚焦于计算数学中的一个核心分支或关键技术难题，力求在理论的严谨性、算法的有效性以及实际应用的覆盖面上达到高水准。 本期聚焦的几部著作，涵盖了从基础理论到复杂系统求解的多个维度，共同构建起现代计算方法论的坚实框架。 --- 1. 矩阵特征值问题的现代迭代算法与理论分析 (约400字) 本书系统地阐述了求解大型稀疏或稠密矩阵特征值问题（包括广义特征值问题）的经典与现代迭代方法。重点剖析了Lanczos 算法及其变种（如 Arnoldi 迭代），详述了其在计算最大或最小特征值方面的优势和局限性。 在理论分析部分，本书深入探讨了子空间迭代法的收敛速度、扰动分析以及如何利用 Krylov 子空间理论来优化迭代残差的下降路径。特别关注了多重哈密顿矩阵（Hessenberg 形式）的精细处理技术，以及在大规模科学计算中，如何结合降维技术（如随机投影）来提高计算效率。 此外，本书对基于算子分裂和预处理技术的特征值求解器进行了详尽的对比研究。对于需要高精度计算少数特征对的工程应用（如量子化学计算、结构动力学分析），书中提供了基于 Ritz 值和 Rayleigh 商迭代的精确化策略。本书的价值在于，它不仅展示了算法的实现步骤，更侧重于从数学结构上理解算法的稳定性和收敛特性，为读者在设计定制化特征值求解器时提供理论支撑。 --- 2. 有限元方法的理论基础与自适应网格技术 (约450字) 本卷深入剖析了偏微分方程（PDEs）数值求解的核心工具——有限元法（FEM）。内容从 Lagrange 有限元空间的构造出发，详细论述了变分原理、能量范数下的稳定性和误差估计。书中对于二次收敛的对数范数分析以及不同插值多项式阶数对解的正则性要求进行了细致的推导和论证。 本书的亮点在于对高级 FEM 技术的全面覆盖。它不仅涵盖了标准的 Galerkin 方法，还深入探讨了 混合有限元法 (Mixed FEM) 在处理不可压缩流体或弹性体问题中的优势，尤其是在克服标准 Galerkin 方法中可能出现的“锁死”现象（Locking Phenomena）方面的技巧。 在计算效率方面，本书将大量篇幅用于讲解自适应网格细化 (Adaptive Mesh Refinement, AMR) 策略。详细阐述了基于 Ritz-Galerkin 投影误差估计的残差指示器设计，以及 bisection 和 longest-edge bisection 等网格加密技术的实现细节。通过大量的二维和三维算例分析，展示了 AMR 如何在保证整体计算精度的前提下，将计算资源集中于解的奇异区域，从而实现计算复杂度的最优控制。 --- 3. 非线性方程组的优化求解与全局收敛性分析 (约400字) 本著作聚焦于计算数学中最具挑战性的领域之一：大型非线性方程组的求解。重点分析了牛顿法及其多种改进形式，包括阻尼牛顿法 (Damped Newton Methods) 和信赖域方法 (Trust-Region Methods)。 书中细致地梳理了保证全局收敛性的关键技术，例如，如何构造有效的下降方向，以及如何在每一步迭代中动态调整步长因子以确保函数值的有效下降。对于大规模系统，本书重点介绍了拟牛顿方法 (Quasi-Newton Methods)，如 BFGS 和 DFP 公式，并详细分析了如何利用有限的矩阵向量乘积信息来构建近似的 Hessian 矩阵，从而避免昂贵的直接求逆计算。 此外，本书还涵盖了全局优化算法在求解特定形式非线性问题中的应用，例如使用全局随机搜索算法来跳出局部最优陷阱。针对工程中常见的耦合系统，书中提供了基于牛顿-拉夫森迭代与子域分解相结合的预处理策略，旨在提高在病态（ill-conditioned）系统上的求解鲁棒性。 --- 4. 随机微分方程的数值积分与蒙特卡洛方法 (约300字) 本卷将理论视角转向了处理具有随机性输入或演化的模型，即随机微分方程（SDEs）。本书系统地介绍了欧拉-马尔可夫方法 (Euler-Maruyama Method)，并着重分析了其收敛速度与时间步长的关系，特别是对于非线性SDEs中稳定性的影响。 随后，书中详述了高阶精度方法，如Milstein 方法和基于伊藤公式 (Itô Formula) 的更高阶离散化方案。这些方法在处理金融衍生品定价和复杂物理系统（如布朗运动驱动的系统）模拟中至关重要。 在计算效率方面，本书深入探讨了蒙特卡洛模拟技术。不仅包括基础的直接采样方法，还介绍了控制变量法 (Control Variates) 和重要性采样 (Importance Sampling) 等方差缩减技术，用以在有限的计算预算内获得统计上可靠的估计值。本书为需要精确模拟具有噪声项的动态系统的研究人员提供了严谨的数值工具集。