計算方法叢書·典藏版11：剛性常微分方程初值問題的數值解法 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

　　《計算方法叢書·典藏版11：剛性常微分方程初值問題的數值解法》敘述瞭在計算機上求解剛性常微分方程的初值問題的數值解法，提供瞭處理剛性常微分方程的基本思想和對方法進行理論分析的基礎。《計算方法叢書·典藏版11：剛性常微分方程初值問題的數值解法》內容包括：剛性常微分方程的問題舉例和數信方法的穩定性理論，Run-ge-Kutta方法及其推廣，Pade近似的處理方法和結果，單步方法和多步方法等。
　　《計算方法叢書·典藏版11：剛性常微分方程初值問題的數值解法》可供高等院校有芙專業的師生、計算數學工作者、工程技術人員參考。

內頁插圖

目錄

第一章 引論
1 剛性常微分方程
2 常用的穩定性定義
3 一些剛性方程的例子
4 穩定區域的計算

第二章 綫性多步公式的穩定性
1 綫性多步公式
2 綫性多步公式的A穩定性
3 綫性多步公式的A（a）穩定性
4 綫性多步公式的A0穩定性
5 綫性多步公式的剛性穩定性

第三章 嚮後差分方法
1 嚮後差分公式
2 嚮後差分公式的穩定性
3 求解剛性方程的數值方法的計算危險性問題
4 廣義嚮後差分公式
5 應用二階導數的Enright方法

第四章 ex的有理分式近似
1 Pade近似和可接受性
2 ex的Pade近似的零點和極點
3 ex的有理近似在虛軸上的模
4 A可接受性

第五章 指數擬閤方法
1 指數擬閤方法
2 應用廣義Hermite-Birkhoff內插的指數擬閤多步方法
3 矩陣多步方法的指數擬閤
3．1 積分公式的推導
3．2 穩定性分析
3．3 局部截斷誤差分析
3．4 矩陣ο的選取
4 一類特殊剛性方程的修正綫性多步方法

第六章 Richardson外插方法
1 截斷誤差的漸近展開式
2 Richardson外插方法
3 利用梯形法的整體外插
4 平滑過程
5 用內插法求中間點上高精度近似值
6 應用平滑和外插的隱式中點方法
7 利用梯形公式局部外插的數值方法

第七章 具有可變係數的綫性多步方法
1 具有可變矩陣係數的多步方法
2 穩定化方法的階
3 可變係數多步方法的穩定性分析
4 穩定方法的例子

第八章 邊界層方法
1 奇異攝動問題的解的漸近展開式
2 邊界層型數值方法
3 漸近變換方法
3．1 導數的擬穩定性
3．2 非綫性剛性係統導數的擬穩定性

第九章 隱式Runge-Kutta方法
l 隱式Runge-Kutta公式
2 隱式Runge-Kutta方法的A穩定性
3 隱式Runge-Kutta方法的其他穩定性

第十章 隱式unge-Kutta方法的實現
l 等效代換的迭代方法
2 修改的Newton迭代方法
3 對角綫隱式Runge-Kutta方法
4 Rosenbrock的半隱式Runge-Kutta方法
5 Butcher矩陣變換及相應的方法
6 廣義Rung-Kutta方法

第十一章 組閤方法
1 例子
2 基本算法公式
3 方法的收斂性和誤差階
4 穩定性分析

第十二章 盲動控製係統常微分方程組的數值解法
1 問題的提齣
2 計算穩定性
3 右函數中避免導數的計算
4 框圖的變換
5 非正規格式的計算穩定性
6 其它問題的處理

第十三章 處理剛性方程的一些其它方法
1 等效係統替代方法
2 光滑近似特解方法（SAPS）
3 一類非綫性方法
3．1 方法Ⅰ
3．2 方法Ⅱ
3．3 方法Ⅲ
3．4 方法Ⅳ
3．5 方法Ⅴ
4 矩陣分解方法（係統方法）
4．l綫性係統的數值求解方法
4．2 矩陣分解方法
5 綫性多步平均算法
6 塊方法
參考文獻

計算方法叢書·典藏版：專題聚焦與前沿探索 本叢書旨在匯聚計算科學領域中具有深遠影響和廣闊應用前景的經典理論與創新方法，為科研工作者、高級工程技術人員及相關專業學生提供一套係統、深入且具有前沿性的學術參考。本典藏版精選的每一捲，都聚焦於計算數學中的一個核心分支或關鍵技術難題，力求在理論的嚴謹性、算法的有效性以及實際應用的覆蓋麵上達到高水準。 本期聚焦的幾部著作，涵蓋瞭從基礎理論到復雜係統求解的多個維度，共同構建起現代計算方法論的堅實框架。 --- 1. 矩陣特徵值問題的現代迭代算法與理論分析 (約400字) 本書係統地闡述瞭求解大型稀疏或稠密矩陣特徵值問題（包括廣義特徵值問題）的經典與現代迭代方法。重點剖析瞭Lanczos 算法及其變種（如 Arnoldi 迭代），詳述瞭其在計算最大或最小特徵值方麵的優勢和局限性。 在理論分析部分，本書深入探討瞭子空間迭代法的收斂速度、擾動分析以及如何利用 Krylov 子空間理論來優化迭代殘差的下降路徑。特彆關注瞭多重哈密頓矩陣（Hessenberg 形式）的精細處理技術，以及在大規模科學計算中，如何結閤降維技術（如隨機投影）來提高計算效率。 此外，本書對基於算子分裂和預處理技術的特徵值求解器進行瞭詳盡的對比研究。對於需要高精度計算少數特徵對的工程應用（如量子化學計算、結構動力學分析），書中提供瞭基於 Ritz 值和 Rayleigh 商迭代的精確化策略。本書的價值在於，它不僅展示瞭算法的實現步驟，更側重於從數學結構上理解算法的穩定性和收斂特性，為讀者在設計定製化特徵值求解器時提供理論支撐。 --- 2. 有限元方法的理論基礎與自適應網格技術 (約450字) 本捲深入剖析瞭偏微分方程（PDEs）數值求解的核心工具——有限元法（FEM）。內容從 Lagrange 有限元空間的構造齣發，詳細論述瞭變分原理、能量範數下的穩定性和誤差估計。書中對於二次收斂的對數範數分析以及不同插值多項式階數對解的正則性要求進行瞭細緻的推導和論證。 本書的亮點在於對高級 FEM 技術的全麵覆蓋。它不僅涵蓋瞭標準的 Galerkin 方法，還深入探討瞭 混閤有限元法 (Mixed FEM) 在處理不可壓縮流體或彈性體問題中的優勢，尤其是在剋服標準 Galerkin 方法中可能齣現的“鎖死”現象（Locking Phenomena）方麵的技巧。 在計算效率方麵，本書將大量篇幅用於講解自適應網格細化 (Adaptive Mesh Refinement, AMR) 策略。詳細闡述瞭基於 Ritz-Galerkin 投影誤差估計的殘差指示器設計，以及 bisection 和 longest-edge bisection 等網格加密技術的實現細節。通過大量的二維和三維算例分析，展示瞭 AMR 如何在保證整體計算精度的前提下，將計算資源集中於解的奇異區域，從而實現計算復雜度的最優控製。 --- 3. 非綫性方程組的優化求解與全局收斂性分析 (約400字) 本著作聚焦於計算數學中最具挑戰性的領域之一：大型非綫性方程組的求解。重點分析瞭牛頓法及其多種改進形式，包括阻尼牛頓法 (Damped Newton Methods) 和信賴域方法 (Trust-Region Methods)。 書中細緻地梳理瞭保證全局收斂性的關鍵技術，例如，如何構造有效的下降方嚮，以及如何在每一步迭代中動態調整步長因子以確保函數值的有效下降。對於大規模係統，本書重點介紹瞭擬牛頓方法 (Quasi-Newton Methods)，如 BFGS 和 DFP 公式，並詳細分析瞭如何利用有限的矩陣嚮量乘積信息來構建近似的 Hessian 矩陣，從而避免昂貴的直接求逆計算。 此外，本書還涵蓋瞭全局優化算法在求解特定形式非綫性問題中的應用，例如使用全局隨機搜索算法來跳齣局部最優陷阱。針對工程中常見的耦閤係統，書中提供瞭基於牛頓-拉夫森迭代與子域分解相結閤的預處理策略，旨在提高在病態（ill-conditioned）係統上的求解魯棒性。 --- 4. 隨機微分方程的數值積分與濛特卡洛方法 (約300字) 本捲將理論視角轉嚮瞭處理具有隨機性輸入或演化的模型，即隨機微分方程（SDEs）。本書係統地介紹瞭歐拉-馬爾可夫方法 (Euler-Maruyama Method)，並著重分析瞭其收斂速度與時間步長的關係，特彆是對於非綫性SDEs中穩定性的影響。 隨後，書中詳述瞭高階精度方法，如Milstein 方法和基於伊藤公式 (Itô Formula) 的更高階離散化方案。這些方法在處理金融衍生品定價和復雜物理係統（如布朗運動驅動的係統）模擬中至關重要。 在計算效率方麵，本書深入探討瞭濛特卡洛模擬技術。不僅包括基礎的直接采樣方法，還介紹瞭控製變量法 (Control Variates) 和重要性采樣 (Importance Sampling) 等方差縮減技術，用以在有限的計算預算內獲得統計上可靠的估計值。本書為需要精確模擬具有噪聲項的動態係統的研究人員提供瞭嚴謹的數值工具集。