实变函数与泛函分析基础（第3版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

内容简介

　　《实变函数与泛函分析基础（第3版）》是在第二版的基础上进行的，作者根据多年来的使用情况以及数学的近代发展，做了部分但是重要的修改。全书共11章：实变函数部分包括集合、点集、测度论、可测函数、积分论、微分与不定积分；泛函分析则主要涉及赋范空间、有界线性算子、泛函、内积空间、泛函延拓、一致有界性以及线性算子的谱分析理论等内容。
　　《实变函数与泛函分析基础（第3版）》继续保持简明易学的风格，力图摆脱纯形式推演的论述方式，着重介绍实变函数与泛函分析的基本思想方法，尽量将枯燥的数学学术形态呈现为学生易于接受的教育形态；同时，补充了一些现代化的内容，如“分形”的介绍。
　　《实变函数与泛函分析基础（第3版）》可作为高等院校数学类专业学生的教学用书，也可作为自学参考书。

内页插图

目录

第一篇 实变函数
第一章 集合
1 集合的表示
2 集合的运算
3 对等与基数
4 可数集合
5 不可数集合
第一章习题
第二章 点集
1 度量空间，n维欧氏空间
2 聚点，内点，界点
3 开集，闭集，完备集
4 直线上的开集、闭集及完备集的构造
5 康托尔三分集
第二章习题
第三章 测度论
1 外测度
2 可测集
3 可测集类
4 不可测集
第三章习题
第四章 可测函数
1 可测函数及其性质
2 叶果洛夫（EropoB）定理
3 可测函数的构造
4 依测度收敛
第四章习题
第五章 积分论
1 黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介
2 非负简单函数的勒贝格积分
3 非负可测函数的勒贝格积分
4 一般可测函数的勒贝格积分
5 黎曼积分和勒贝格积分
6 勒贝格积分的几何意义·富比尼（Fubini）定理
第五章习题
第六章 微分与不定积分
1 维它利（vitali）定理
2 单调函数的可微性
3 有界变差函数
4 不定积分
5 勒贝格积分的分部积分和变量替换
6 斯蒂尔切斯（stieltjes）积分
7 L-S测度与积分
第六章习题

第二篇 泛函分析
第七章 度量空间和赋范线性空间
1 度量空间的进一步例子
2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间
3 连续映射
4 柯西（Cauchy）点列和完备度量空间
5 度量空间的完备化
6 压缩映射原理及其应用
7 线性空间
8 赋范线性空间和巴拿赫（Banach）空间
第七章习题
第八章 有界线性算子和连续线性泛函
1 有界线性算子和连续线性泛函
2 有界线性算子空间和共轭空间
3 广义函数
第八章习题
第九章 内积空间和希尔伯特（Hilbert）空间
1 内积空间的基本概念
2 投影定理
3 希尔伯特空间中的规范正交系
4 希尔伯特空间上的连续线性泛函
5 自伴算子、酉算子和正常算子
第九章习题
第十章 巴拿赫空间中的基本定理
1 泛函延拓定理
2 C的共轭空间
3 共轭算子
4 纲定理和一致有界性定理
5 强收敛、弱收敛和一致收敛
6 逆算子定理
7 闭图像定理
第十章习题
第十一章 线性算子的谱
1 谱的概念
2 有界线性算子谱的基本性质
3 紧集和全连续算子
4 自伴全连续算子的谱论
5 具对称核的积分方程
第十一章习题

附录一 内测度，L测度的另一定义
附录二 半序集和佐恩引理
附录三 实变函数增补例题

参考书目

前言/序言

　　本书于1983年问世以来，历经26个春秋，承蒙读者厚爱，一直发行不衰。最近，在听取读者反馈的基础上，我们又进行了一次修改，即为第三版。
　　这次修订重点在实变函数部分，对积分论作了较多更动。以下是几处重要的修改：
　　在第一章“集合”中，突出了集合语言与e-8语言的关系，特别是强化了用集合的无限交并运算来表示函数列的极限过程。这在第四章处理可测函数列极限等定理时十分重要。
　　在第二章“点集”中，增加了康托尔三分集合分形几何学的内容，篇幅很小，旨在反映信息时代的发展，扩充读者的视野。
　　第五章对勒贝格积分的处理。过去我们关注勒贝格积分和黎曼积分的相似之处，考察勒贝格的积分和，以上下积分相等为勒贝格可积，目的是希望读者容易体会其含义。但近来，从非负简单函数出发逐步扩充定义，相应地得到处理积分与极限运算交换的关键定理，这样的一种讲授方法已成为时尚，而且可使篇幅得以压缩，读者也更容易理解。因此，我们也采取了这样的处理方法。
　　在第六章中，将勒贝格积分的部分积分法和新增的变量替换方法一并介绍，并且给出了证明。这两种常用积分方法，是教学中首要讲解的内容，而其证明，则可视教学时数是否充裕来选择。
　　承袭第二版的做法，我们仍在每一章的开始以及适当的地方，用尽量朴素的自然语言向读者提供该部分内容展开的思路，以此来对“形式化”的“冰冷美丽”做一些“火热的思考”。我们希望这一特色能够为大家所接受。
　　本书初版的主持者程其襄教授去世已经10个年头了。他未能参与第二版和第三版的修订工作，因此，本书存在的缺陷和问题，当由其他四位编者负责。
　　最后，再次向关心本书的老师和同学表示深切的谢意，也感谢李蕊编辑的细致工作。

好的，这是一本不同于《实变函数与泛函分析基础（第3版）》的图书简介，内容将侧重于数学分析、拓扑学以及与应用相关的其他领域。 --- 书名：《经典数学分析：从微积分到勒贝格积分的严谨桥梁》 内容简介 本书旨在为读者提供一套扎实、严谨的数学分析基础，它不再仅仅局限于传统的微积分框架，而是将分析学从直观的计算层面提升到抽象的拓扑和度量空间结构。本书的写作风格力求清晰、逻辑严密，特别注重证明的完整性和细节的展现，为深入学习泛函分析、偏微分方程、概率论等高阶课程打下坚实的基础。 第一部分：微积分的回顾与深化——从 $mathbb{R}^n$ 到度量空间的前奏 本部分首先对一元和多元微积分中的核心概念进行系统回顾，但视角更为深刻。我们着重探讨了一致收敛性的重要性，以及它如何影响函数的积分与微分操作的可交换性。书中详细讨论了连续函数空间的紧致性（Arzelà-Ascoli 定理的直观铺垫），并引入了拓扑空间的初步概念：开集、闭集、邻域和收敛性。 不同于侧重于计算的传统微积分教材，本书强调了拓扑维度对收敛性的影响，特别是对于有界闭集上的连续函数，引入了Weierstrass逼近定理的证明，展示了多项式逼近的强大力量。 第二部分：勒贝格测度论的构建——从几何直觉到抽象测度 本书的核心内容之一是勒贝格测度的构建。我们避开了集合代数的繁琐定义，而是从可测集的直观理解出发，通过外测度的概念逐步过渡到 $sigma$-代数的严格定义。 可测集与测度： 详细介绍了测度空间的基本结构，重点讨论了测度的可加性、单调性和完备性。 简单函数与积分： 引入了简单函数作为桥梁，清晰地阐述了勒贝格积分的定义。不同于黎曼积分，勒贝格积分的优势体现在其处理极限操作的优越性。本书详细证明了单调收敛定理 (MCT) 和法图引理 (Fatou's Lemma)，并以此为基础，严格推导了支配收敛定理 (DCT)。这些定理是后续泛函分析和概率论中的基石。 $L^p$ 空间的初步探究： 在测度论的基础上，本书首次引入了函数空间 $L^p(mu)$ 的概念，探讨了它们的范数定义，并简要提及了Hölder 不等式的证明，为后续泛函分析的抽象学习做铺垫。 第三部分：拓扑空间与度量空间——分析学的统一语言 本部分将分析学的研究对象从实数集 $mathbb{R}^n$ 扩展到更一般的拓扑结构。 度量空间： 详细定义了度量、开球、闭球，并讨论了完备性（即柯西序列的收敛性）。书中包含了巴拿赫不动点定理（压缩映射原理）的完整证明及其在常微分方程解的存在性问题中的应用，这是分析学中一个极具代表性的应用实例。 拓扑空间： 引入了拓扑空间的标准定义（开集族），讨论了连续映射的拓扑定义（原像下保持开集性），以及紧致性的拓扑定义（开覆盖的存在有限子覆盖）。特别强调了Tychonoff 定理在紧致性理论中的地位。 函数空间： 本部分深入探讨了连续函数空间 $C(X)$，其中 $X$ 是紧致豪斯多夫空间。借助均匀收敛的概念，讨论了等度连续性，并再次强调了 Arzelà-Ascoli 定理 在更一般拓扑空间上的表述。 第四部分：测度与积分的推广——从 $mathbb{R}$ 到抽象测度空间 本部分进一步巩固和深化对积分理论的理解，为处理更复杂的积分问题做准备。 乘积测度与Fubini定理： 讨论了如何构建乘积测度，并详细阐述了Fubini-Tonelli 定理。书中通过具体的例子（如二维积分的计算）对比了黎曼可积与勒贝格可积的差异，展示了 Fubini 定理在处理多重积分时的强大威力，特别是当被积函数不满足处处非负或积分不一致时的注意事项。 函数的积分表示： 探讨了 Radon-Nikodym 定理 的基本思想，阐述了如何将一个测度表示为另一个测度与一个函数（Radon-Nikodym 导数）的乘积形式，这在概率论中的条件期望概念中至关重要。 本书的特点： 本书并非侧重于泛函分析中算子理论或具体的希尔伯特空间结构，而是致力于夯实分析学的根基。我们用大量的篇幅来确保读者对测度、积分、收敛性和拓扑结构的理解达到教科书级别的严谨性。全书包含大量的例题和习题，旨在帮助读者将抽象的定义转化为具体的分析工具。它更像是连接基础微积分与高级分析的桥梁，确保读者在后续学习中，不会在勒贝格理论或拓扑概念上遇到障碍。 适用对象： 数学、物理、工程和信息科学专业的高年级本科生及研究生，他们希望建立一个扎实、无漏洞的分析基础，为后续深入研究数学分析、泛函分析、概率论或调和分析做好准备。本书的结构设计也适合作为自学者的参考读物。