《微分方程数值解：有限差分理论方法与数值计算》阐述微分方程有限差分数值求解方法. 首先介绍常微分方程初边值问题的求解方法, 以及收敛性、相容性和稳定性分析; 其次介绍偏微分方程(包括椭圆型方程、抛物型方程和双曲型方程)的有限差分求解方法和一些重要的差分格式, 以及相应的理论分析; 最后介绍有限差分方法在波动方程波场模拟中的应用; 在附录中给出了一些常用公式. 《微分方程数值解：有限差分理论方法与数值计算》结合教学和科研的特点, 不但具有理论的严谨性, 还有较多的例题和数值算例, 以促进理解和应用.

前言
第1章常微分方程初值问题的数值解法1
1.1解的适定性1
1.1.1解的唯一性1
1.1.2解的稳定性3
1.2Euler方法5
1.2.1Euler公式5
1.2.2收敛性分析7
1.2.3渐近稳定性分析10
1.3改进的Euler方法10
1.3.1梯形公式10
1.3.2误差分析12
1.4Runge-Kutta方法13
1.4.1显式Runge-Kutta公式13
1.4.2误差分析23
1.4.3隐式Runge-Kutta公式27
1.5线性多步法30
1.6稳定性分析34
1.7一般线性多步法37
1.7.1待定系数法37
1.7.2数值积分法40
1.8Adams线性多步法41
1.8.1Adams-Bashforth公式41
1.8.2Adams-Moulton公式43
1.9其他线性多步法45
1.9.1Nystr"om方法46
1.9.2Milne-Simpson公式47
1.10Richardson外推47
1.11线性差分方程51
1.11.1非常系数线性差分方程52
1.11.2常系数线性差分方程56
1.12多步法的收敛性和稳定性61
1.12.1稳定性理论62
1.12.2强稳定性和弱稳定性69
1.12.3相对稳定性与绝对稳定性69
1.12.4Dahlquist稳定性理论73
1.13预测!--!校正算法75
1.13.1局部截断误差76
1.13.2修正算法79
1.14刚性方程组的解法82
1.15Hamilton系统的辛几何算法89
1.15.1辛几何与辛代数的基本概念89
1.15.2Hamilton系统的辛格式92
练习题96
第2章两点边值问题的试射法101
2.1边值问题解的存在性和唯一性101
2.2二阶常微分方程的试射法103
2.3二阶非线性常微分方程的试射法104
练习题109
第3章椭圆型方程的差分解法111
3.1二阶线性两点边值问题的差分格式111
3.1.1差分近似112 3.1.2有限体积法114
3.2非线性两点边值问题的差分格式117
3.3Laplace方程的五点差分格式118
3.4有限体积法127
3.5边界条件的处理128
3.5.1Dirichlet边界条件128
3.5.2Neumann边界条件129
3.5.3Robbins边界条件132
3.6轴对称Poisson方程的差分格式135
3.7扩散对流方程139
3.8Poisson方程五点差分格式的收敛性分析140
3.9能量分析法143
练习题147
第4章收敛性、相容性和稳定性150
4.1收敛性150
4.2相容性152
4.3稳定性156
4.4Lax定理159
4.5Fourier级数法稳定性分析161
4.5.1初值问题161
4.5.2初边值问题169
4.5.3vonNeumann条件的充分性173
4.6vonNeumann多项式分析177
4.7Hurwitz判别法187
4.8矩阵法稳定性分析195
4.9能量稳定性分析203
4.9.1双曲型问题203
4.9.2热传导问题207
4.9.3非线性初值问题209
练习题213
第5章抛物型方程的差分解法216
5.1一维常系数扩散方程216
5.1.1向前和向后差分格式216
5.1.2加权隐式格式217
5.1.3三层显格式218
5.1.4二层隐式格式222
5.1.5三层隐格式223
5.2变系数抛物型方程224
5.3非线性抛物型方程226
5.3.1三层显格式226
5.3.2线性化差分格式227
5.3.3CN格式和预测校正格式228
5.4二维热传导方程230
5.4.1加权差分格式230
5.4.2Du Fort-Frankel格式231
5.4.3交替方向隐(ADI)格式231
5.4.4局部一维(LOD)法236
5.5三维热传导方程237
5.6高维热传导方程241
5.7算子形式的热传导方程243
5.7.1CN格式243
5.7.2 CN分裂格式244
练习题247
第6章双曲型方程的差分解法250
6.1线性对流方程250
6.1.1迎风格式250
6.1.2Lax-Friedrichs格式252
6.1.3Lax-Wendroff格式253
6.1.4MacCormack格式254
6.1.5Wendroff隐式格式255
6.1.6Crank-Nicolson格式256
6.2特征线与差分格式257
6.2.1特征线与CFL条件257
6.2.2用特征线方法构造差分格式260
6.3偏微分方程的相位速度和群速度262
6.3.1相位速度262
6.3.2群速度263
6.4数值相位速度和群速度264
6.5修正的偏微分方程269
6.6一阶双曲型方程组的特征形式277
6.7一阶双曲型方程组的差分格式280
6.8二维线性对流方程的差分格式284
6.8.1典型差分格式284
6.8.2ADI格式287
6.9一维声波方程289
6.9.1特征线289
6.9.2显式差分格式291
6.9.3隐式差分格式293
6.9.4方程组形式的差分格式295
6.10二维声波方程298
6.10.1显式格式298
6.10.2隐式格式300
6.11三维声波方程301
6.11.1显式格式301
6.11.2隐式格式304
练习题305
第7章波动方程有限差分波场模拟308
7.1ADI格式308
7.1.1二维声波方程309
7.1.2三维声波方程315
7.2LOD格式319
7.2.1二维声波方程319
7.2.2三维声波方程322
7.2.3高维声波方程324
7.3高精度LOD格式325
7.3.1稳定性分析327
7.3.2初边值条件329
7.3.3数值计算330
7.4高阶紧致隐式格式334
7.5二维弹性波方程的交错网格法338
7.6二维弹性波方程的有限体积法343
7.6.1公式推导343
7.6.2数值计算346
7.7三维弹性波方程的交错网格法348
7.8多孔含流体弹性介质方程的交错网格法355
7.8.1弹性多孔介质方程------Biot方程355
7.8.2基于速度压力方程的交错网格法358
7.8.3二维数值计算363
7.8.4三维数值计算364
7.9三维弹性波方程的能量稳定性分析373
7.10三维电磁场方程381
附录1差分系数的计算390
附录2常用公式和定理396
参考文献401
索引406

精彩书摘

第1章常微分方程初值问题的数值解法
1.1解的适定性
常微分方程是描述物理模型的重要工具之一，本章介绍求解常微分方程初边值问题的数值方法.考虑如下一阶常微分方程的初值问题
其中函数f(x，y)已知，且在区域(x，y) in D= (x，y)| a leqslant xleqslant b， - infty< y< infty 中连续. 对某些常微分方程，可以求得精确解. 例如，
是一个一阶线性微分方程， g(x)在[0， infty)上连续.满足条件y(x_0)=y_0的精确解为
又如，非线性常微分方程
的通解为
其中c是任意常数. 注意= infty，因此f(x，y)=-y^2的全局光滑性并不保证解的全局光滑性.在数值求解之前，本节先论式( ref1.1)的适定性，即解的存在性、唯一性和稳定性. 假定所讨论问题的解总存在.
1.1.1解的唯一性
若f(x，y)是x和y的连续函数，且关于y满足Lipschitz条件条件，即
使得
对D中所有的(x，y_1)和(x，y_2)均成立，则式( ref1.1)有唯一解.
证明将式( ref1.1)改写成等价的积分方程
为证明式(1.1.7)有唯一解，在[x_0- alpha， x_0+alpha]上定义一个函数序列y_n(x)
常数 alpha的选择要求满足
若 alpha选择得充分小，则所有y_n(x)仍在D中，且在[x_0-alpha，x_0+ alpha] 上一致收敛到函数y(x). 在式(ref1.10)中取极限，得
此即式( ref1.1)的解.
下面分析收敛速度. 由式( ref1.10)和式( ref1.12)得
因右端项与x无关，左端在[x_0- alpha，x_0+ alpha]上取极大值，故有
再由式( ref1.11)知，每次迭代误差减小 alpha L倍，因此是线性收敛的.最后证明解y(x)的唯一性. 设 tildey(x)是另一个解，则
同式( ref1.14)一样，有
因为 alpha L<1，从而 tildey(x)=y(x) vspace1.5mm.
若 dfrac partial f(x，y) partial y在D上存在并有界，则条件(ref1.6)满足.
实际上取则根据中值定理，存在 xi_x in [y_1，y_2]，有
再结合式( ref1.7)即得式( ref1.6). square th
例1.1.1 考虑
根据式( ref1.7)，由
可得Lipschitz常数L=1. 因此对于 forall (x_0，y_0) (0例1.1.2 考虑
y'= dfrac2xa^2y^2， quad y(0)=1，
其中a>0为任意常数. 为确定Lipschitz常数，计算
dfrac partial f(x，y) partial y= dfrac4xya^2，
为满足Lipschitz条件，我们选择区域D使得x，y有界即可，从而初值问题有唯一解. 实际上，该问题的精确解是
y(x)= dfraca^2a^2-x^2， quad -a解的稳定性当初值问题( ref1.1)有扰动时，讨论解y(x)的稳定性. 考虑扰动问题
其中 delta(x)关于x连续， f(x，y)满足定理 refTheorem1的条件，从而问题( ref2.1) 有唯一解. 解记为y(x; delta， varepsilon)，即
假设 varepsilon和 delta满足
则解的误差
满足下面的定理1.1.2. beginThm labelTheorem2 rm kaishu
~假定f(x，y)是x和y的连续函数，且关于y满足Lipschitz条件， linebreak delta(x)在D上连续，则扰动解y(x; delta， varepsilon) 满足
其中 tildeL=1/(1- alpha L)，并称初值问题关于数据的扰动是稳定的.th
证明由式( ref2.4)得
从而
即
定理1.1.2表明解连续依赖于数据.~如果解连续依赖于数据，就称初值问linebreak题( ref1.1)关于数据的扰动是良态 index良态的，否则就称病态的 index病态. 由式( ref2.5)知，由于varepsilon和 delta(x)在该式右端的作用等价，所以为简单起见，可以令 delta=0. th
例1.1.3 考虑
该问题的精确解为y(x)= rm e^-x. 对初值作扰动，取y(0)=1+varepsilon，这时精确解为
显然，对任意 varepsilon neq 0，扰动解y(x;varepsilon)偏离真实解y(x)= rm e^-x 很大. 该问题是病态linebreak问题.
事实上，当 dfrac partial f(x，y(x)) partial y>0时，初值问题(ref1.1)是一个病态问题. 考虑
由式( ref2.4)知
其中z(x; varepsilon)=y(x; varepsilon)-y(x). 式(ref2.12)可转化为线性微分方程
其解为
当 dfrac partial f(t，y(t)) partial y>0时， z(x;varepsilon)是x的增函数.
sectionEuler方法 setcounterequation0
本节首先介绍数值求解一阶常微分方程初值问题(ref1.1)的最简单的一种单步法 !------ ，Euler方法，并分析Euler方法的收敛性和(渐近)稳定性.Euler方法是一个一阶精度的显式计算格式. subsectionEuler公式目标是在一系列网格点 vspace-1mm上求初值问题解的近似值. 数值解的近似值记为 vspace-1mm相应的解的精确值记为 vspace-1mmEuler方法是指用 kaish
u Euler公式
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