前言
第1章数学是什么1
1.1数学的定义及品格1
1.2数学与各学科的联系5
1.3数学的价值15
思考题19
第2章数学概观20
2.1数学科学的内容20
2.2数学进展的大致概况22
2.3数学科学的特点与数学的精神32
思考题38
名人小撰38
第3章数学思想与方法选讲41
3.1公理化方法42
3.2类比法46
3.3归纳法与数学归纳法48
3.4数学构造法51
3.5化归法54
3.6数学模型方法59
思考题62
名人小撰63
第4章数学分支介绍66
4.1代数学66
4.2几何学79
4.3分析学94
4.4概率论与数理统计112
4.5运筹学129
第5章有限和无限问题145
5.1无限的发展简史145
5.2两种无限观——潜无限和实无限149
5.3有限与无限的区别与联系153
思考题160
附录160
第6章数学悖论与历史上的三次数学危机162
6.1何谓悖论162
6.2第一次数学危机164
6.3第二次数学危机168
6.4第三次数学危机171
6.5数学的三大学派174
思考题177
名人小撰177
第7章数学美学180
7.1数学与美学180
7.2数学美的内容、地位和作用184
思考题197
名人小撰197
第8章世界数学中心与数学国际200
8.1世界数学中心及其变迁200
8.2国际数学组织与活动203
8.3国际数学大奖206
8.4国际数学竞赛211
思考题214
附录1著名的数学学派214
附录2希尔伯特在1900年国际数学家大会上提出的23个数学问题217
第9章数学的新进展之一——分形与混沌218
9.1分形几何学218
9.2混沌动力学227
9.3分形与混沌的应用与价值231
思考题235
附录蝴蝶效应236
参考文献237

精彩书摘

第1章数学是什么
数学是科学的大门和钥匙忽视数学必将伤害所有的知识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的。更为严重的是，忽视数学的人不能理解他自己这一疏忽，最终将导致无法寻求任何补救的措施。——培根（R. Bacon，约1214～1293，英国哲学家、自然科学家）
由于大量的数学符号，往往使数学被认为是一门难懂而又神秘的科学。如果我们不了解符号的含义，那就什么都不知道。在数学中，只要细加分析，即可发现符号化给数学理论和论证带来极大的方便，甚至是必不可少的。——怀特黑德（A.N.Whitehead，1861～1947，英国数学家、逻辑学家）
数学是我们时代中有势力的科学，它不声不响地扩大它所征服的领域。——赫尔巴特（J.F.Herbart，1776～1841，德国教育心理学家）
人类生存和发展的历史就是不断认识自然、适应自然和改造自然的历史，在这一过程中，数学也随之产生和发展起来。数学是人类文明的一个重要组成部分，是几千年来人类智慧的结晶。
从远古时代的结绳记事到应用电子计算机进行计算、证明，从利用规、矩等工具进行的具体测量到公理化的抽象体系，从自然数、一维的直线、规则的图形到群、无穷维空间、分形数学的内容、思想和方法逐渐演变、发展，并渗透到人类生活的各个领域。今天，数学已经成为了衡量一个国家发展、科技进步的重要标准。但究竟“数学是什么”？人类对之经历了一个漫长而艰难的探究过程。
1.1数学的定义及品格
1.1.1数学的诸多定义
数学，起源于人类早期的生产活动，为中国古代六艺之一（六艺中称之为“数”），也被古希腊学者视为哲学的起点。数学的英语为Mathematics，源自于古希腊语，意思是“学问的基础”。
早在19世纪，恩格斯（F. V. Engels，德，1820～1895）曾说过：“数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学。”这是一个一度得到大家广泛共识的数学的定义。但是，随着现代科学技术和数学科学的发展，人类进入信息时代，“数量关系”和“空间形式”具备了更丰富的内涵和更广泛的外延。混沌（Chaos）、分形几何（Fractal Geometry）等新的数学分支出现，这些分支已经很难包含在上述定义之中，人们在寻找数学的新“定义”。但是，要给数学一个客观而全面的定义，并非易事。
如今的数学已经发展成了一个蔚为壮观、极为庞大的领域，对“什么是数学？”这个基本问题的回答却仍是众说纷纭。英国哲学家、数学家罗素（B. Russell，1872～1970）曾说过：“数学是我们永远不知道我们在说什么，也不知道我们说的是否对的一门学科。”而法国数学家博雷尔（E. Borel，1871～1956）则说：“数学是我们确切知道我们在说什么，并肯定我们说的是否对的唯一的一门科学。”两位大家给出了表面看似相悖的回答！
美国数学家、数学教育家柯朗（R. Courant，1888～1972）在其科普名著《数学是什么》一书的序言中说：“数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑和直觉，分析和推进，共性和个性。”法国数学家庞加莱（H. Poincaré，1854～1912）则说：“数学是给予不同的东西以相同的名称的技术。”
南京大学的方延明教授（1951～）在其编著的《数学文化》一书中，搜集了14种数学的定义或者说是人们对数学的看法：万物皆数说、符号说、哲学说、科学说、逻辑说、集合说、结构说、模型说、工具说、直觉说、精神说、审美说、活动说、艺术说。
（1）万物皆数说认为数的规律是世界的根本规律，一切都可以归结为整数与整数比。此说来源于古希腊的毕达哥拉斯（Pythagoras of Samos，约公元前560～前480）及其学派，毕达哥拉斯曾说：“数学统治着宇宙。”
（2）符号说认为数学是一种高级语言，是符号的世界。德国数学家希尔伯特（D.Hilbert，1862～1943）曾说：“算术符号是文字化的图形，而几何图形则是图像化的公式，没有一个数学家能缺少这些图像化的公式。”
（3）哲学说认为数学等同于哲学。古希腊的亚里士多德（Aristotle，公元前384～前322）曾说：“新的思想家虽说是为了其他事物而研究数学，但他们却把数学和哲学看成是相同的。”
（4）科学说认为数学是精密的科学。德国数学家、具有“数学王子”之称的高斯（J.C.F.Gauss，1777～1855）曾说：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。”
（5）逻辑说认为数学推理依靠逻辑。持有“逻辑说”者强调数学是不需要任何特定概念的，只需要通过逻辑概念就可以导出其他数学概念。
（6）集合说认为数学各个分支的内容都可以用集合论的语言表述。集合无处不在，每个数学问题都可以纳入到集合的范畴。集合说已经成为了现代数学的基础。
（7）结构说（关系说）强调数学语言、符号的结构方面及联系方面，认为数学是一种关系学。此说来源于20世纪上半叶著名的法国布尔巴基学派所主张的“数学是研究抽象结构的理论”。
（8）模型说认为数学就是研究各种形式的模型，如微积分是物体运动的模型、概率论是偶然与必然现象的模型、欧氏几何是现实空间的模型、非欧几何是超维空间的模型。英国数学家，逻辑学家怀特黑德说过“数学的本质就是研究相关模式的最显著的实例”。
（9）工具说认为数学是所有其他知识工具的源泉。法国数学家笛卡儿（R.Descartes，1596～1650）说过：“数学是一个知识工具，比任何其他由于人的作用而得来的知识工具更为有力，因为它是所有其他知识工具的源泉。”
（10）直觉说认为数学的来源是人的直觉，数学主要是由那些直觉能力强的人们推进的。荷兰数学家布劳威尔（L.Brouwer，1881～1966）说过“数学构造之所以称为构造，不仅与这种构造的性质本身无关，而且与数学构造是否独立于人的知识以及与人的哲学观点都无关，它是一种超然的先验直觉”。
（11）精神说认为数学不仅是一种技巧，更是一种精神，特别是理性的精神。此说来自于德国近代数学家和数学教育家克莱因（F. Klein，1849～1925），他曾说“数学是一种精神，特别是理性的精神，能够使人的思维得以运用到最完美的程度”。
（12）审美说认为数学家无论是选择题材还是判断能否成功的标准，主要是美学的原则。古希腊哲学家、数学家普洛克拉斯（Proclus，411～485）就曾说过“哪里有数，哪里就有美”。
（13）活动说认为数学是人类最重要的活动之一。20世纪奥地利著名的学术理论家、哲学家波普尔（K. Popper， 1902～1994）曾说：“数学是人类的一种活动。”
（14）艺术说认为数学是一门艺术。法国数学家博雷尔就坚信“数学是一门艺术，因为它主要是思维的创造，靠才智取得进展，很多进展出自人类脑海深处，只有美学标准才是最后的鉴定者”。方延明教授的观点是：从数学学科的本身来讲，数学是一门科学，这门科学有它的相对独立性，既不属于自然科学，也不属于人文、社会或艺术类科学；从它的学科结构看，数学是模型；从它的过程看，数学是推理与计算；从它的表现形式看，数学是符号；从对人的指导看，数学是方法论；从它的社会价值看，数学是工具用一句话来概括：数学是研究现实世界中数与形之间各种模型的一门结构性科学。
1.1.2数学的品格
数学有两种品格：工具品格和文化品格。因为数学在应用上的广泛性，因而在人类社会的发展中，特别在崇尚实用主义的今天，那种短期效益思维模式必然导致数学的工具品格越来越突出，越来越受到重视。
本小节主要论述一下数学的文化品格。所谓数学的文化品格是指数学训练在人们的思维方法和生活方式中潜在地起着根本性的作用，并受用终生的品格。
古希腊著名哲学家柏拉图（Plato，公元前427～前347）曾创办了一所哲学学校“柏拉图学园”，并在校门口张榜声明，不懂几何学的人，不要进入他的学校就读。这并不是因为学校设置的课程需要有几何知识的基础才能学习。相反地，柏拉图哲学学校里所设置的课程都是关于社会学、政治学和伦理学一类的课程，所探讨的问题也都是关于社会、政治和道德方面的问题。因此，诸如此类的课程和论题并不需要直接以几何知识或几何定理作为其学习或研究的工具。由此可见，柏拉图之所以要求他的学生先通晓几何学，绝非着眼于数学的工具品格，而是立足于数学的文化品格。因为柏拉图深知数学的文化理念和文化素养的重要性，他充分认识到立足于数学的文化品格的数学训练对于提升一个人的综合素质，起着举足轻重的作用。
当今社会，仍有许多有识之士，实践着柏拉图的主张，重视数学的文化品格远胜于数学的工具品格。例如，英国的律师在大学要修多门高等数学课程，不是因为英国的法律要以高深的数学知识为基础，而只是出于这样一种认识，那就是通过严格的数学训练，才能使学生具有坚定不移而又客观公正的品格，并形成一种严格而精确的思维习惯，从而对他们取得事业的成功大有助益。再例如，闻名世界的美国西点军校的教学计划中，规定学员除了要选修一些在实战中能发挥重要作用的数学课程，如运筹学、优化技术和可靠性方法等，还规定学员要必修多门与实战不能直接挂钩的高深的数学课程。因为他们充分认识到，只有经过严格的数学训练，才能使学员在军事行动中，把那种特殊的活力与高度的灵活性互相结合起来，才能使学员具有把握军事行动的能力和适应性，从而为他们驰骋疆场打下坚实的基础。
数学的文化品格的重要使命就是传递一种思想、方法和精神，数学教育在传授知识、培养能力的同时，还能提高受教育者的人文素养，促使其身心协调发展和素质的全面提高。
1. 培养规则意识数学严谨、准确的特点，要求每一个问题的解决都必须遵守数学规则，每一个定理的推证、每一个计算结果的获取、每个结论的判断，都做到有理可依、有据可循。因此，数学习题的演练、数学问题的解决可以训练学生注重推理和说理，这种能力迁移至工作与生活中，内化成受教育者的素质，将表现出信守诺言、遵守规范等行为。这些规范包括社会公认的规则、公共道德的标准。简言之，数学学习中所要求的对规则的遵守能够迁移，使人们形成一种对社会公德、秩序、法律等内在的自我约束力。
2. 培养周密思维和创新能力数学教育家波利亚（G. Pólya，匈�裁溃�1887～1985）说：“在数学家证明一个定理之前，必须猜想到这个定理；在他完成证明的细节之前，必须先猜想出证明的主导思想。”数学学习与研究数学使人变得聪明理智。数学学习中需对各种现象进行归纳、抽象，需要将纷繁复杂的各种问题转化成数学模型，这本身就是创新过程。数学能培养人的思维的周密性，在自然科学研究中，通过数学推理能发现一些暂时没被人们认识的规律。
除了上述重要的两方面，数学还可以培养勤奋的品质，因为学习数学是一种意志的锻炼，需要刻苦，需要静心，需要拼搏。在数学的学习和研究中还可以磨炼胜不骄、败不馁的优良品质。
总之，数学的文化品格不同于实用性的数学知识，但它对受教育者的影响却是更加深远和无可替代的。
1.2数学与各学科的联系
1.2.1数学与哲学
1. 数学与哲学的联系
有位哲学家曾说：“没有数学，我们无法看透哲学的深度；没有哲学，人们也无法看透数学的深度；若没有两者，人们就什么也看不透。”这句话精妙地阐释了数学与哲学的关系。
哲学是系统化的世界观和方法论，而数学是一门具体科学。数学与哲学二者联系密切，相辅相成。
在科学技术不发达的古代，人们对世界的认识是肤浅的和笼统的，未能形成分门别类的具体科学，哲学同各种具体科学之间没有明确的分工和严格的界限，数学、天文学、力学等常常包括在哲学之中。许多哲学家本身就是数学家，如亚里士多德、笛卡儿、莱布尼茨（G.W.Leibniz，德，1646～1716）、罗素等。牛顿（I.Newton，英，1642～1727）的《自然哲学的数学原理》是经典力学的划时代著作，从中可见哲学和数学之间不仅联系密切，而且彼此相互促进，共同推动着科学的发展。
数学和哲学都具有高度的抽象性和严密的逻辑性。数学是研究事物的量及其关系的具体规律，哲学则是研究自然、社会和思