数学分析（上册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 在线阅读 2026

内容简介

　　《数学分析（上册）》讲述数学分析的基本概念、原理与方法，分为上、下两册。上册内容包括函数、数列极限、函数极限、函数的连续性、导数与微分、微分中值定理及其应用、不定积分、定积分、定积分的应用、广义积分等。下册内容包括数项级数、函数项级数、幂级数与Fourier级数、多元函数的极限与连续性、多元函数微分学、隐函数定理及其应用、含参量积分、重积分、曲线积分、曲面积分等。《数学分析（上册）》除每节配有适量习题外，每章还配有总习题，分为A与B两组。书末对每道习题都给出参考答案与提示，其中难度大的证明题有较详细的提示。以方便读者在自主学习时查看。
　　《数学分析（上册）》可作为理工科院校或师范院校数学类专业的教材使用，也可供其他相关专业选用。

内页插图

目录

前言

第1章 函数
1.1 实数集
习题1.1
1.2 初等函数
习题1.2
1.3 确界原理
习题1.3
1.4 函数的简单特性
习题1.4
总习题1

第2章 数列极限
2.1 数列极限概念
习题2.1
2.2 收敛数列的性质
习题2.2
2.3 数列极限的存在性
习题2.3
总习题2

第3章 函数极限
3.1 函数极限概念
习题3.1
3.2 函数极限的性质
习题3.2
3.3 函数极限的存在性
习题3.3
3.4 无穷小与无穷大
习题3.4
总习题3

第4章 函数的连续性
4.1 连续与间断
习题4.1
4.2 初等函数的连续性
习题4.2
4.3 函数的一致连续性
习题4.3
4.4 闭区间上连续函数的基本性质
习题4.4
总习题4

第5章 导数与微分
5.1 导数的概念
习题5.1
5.2 导数的运算法则
习题5.2
5.3 微分的概念
习题5.3
5.4 高阶导数与高阶微分
习题5.4
5.5 微分法的一些应用
习题5.5
总习题5

第6章 微分中值定理及其应用
6.1 Lagrange中值定理及导函数的两个特性
习题6.1
6.2 Cauchy中值定理与L'Hospital法则
习题6.2
6.3 Taylor公式
习题6.3
6.4 函数的单调性与极值
习题6.4
6.5 函数的凸性及不等式证明
习题6.5
6.6 函数图像的描绘
习题6.6
总习题6

第7章 不定积分
第8章 定积分
第9章 定积分的应用
第10章 广义积分
习题答案与提示

前言/序言

经典力学导论：运动、力与时空的统一描述 本书简介 《经典力学导论》旨在为读者提供一个全面、深入且富有洞察力的经典力学框架。本书不仅涵盖了牛顿力学的基础原理，更着重于从更广阔的视角——拉格朗日力学和哈密顿力学——来理解物理世界的运动规律。我们的目标是构建一座坚实的桥梁，连接直观的宏观世界描述与深刻的数学结构，为物理学及相关工程领域的专业学习奠定不可动摇的基石。 第一部分：牛顿力学的基石与扩展 本书的第一部分从最基本的概念入手，确立了牛顿体系的逻辑起点。我们详细讨论了惯性参考系、质点运动学和矢量分析在描述二维及三维运动中的应用。重点在于运动的描述、相对运动的分析以及角动量的守恒性。 第一章：时空与参考系 本章深入探讨了绝对空间和绝对时间的经典概念，并引入了惯性系与非惯性系的区别。通过对伽利略变换的精确分析，我们展示了经典力学在不同惯性系下的协变性。对于非惯性系，如加速和旋转参考系，我们详细推导了惯性力的来源，特别是科里奥利力和离心力的物理意义和数学形式，为后续分析复杂系统的运动奠定基础。 第二章：质点动力学 牛顿第二定律是本部分的核心。我们不仅阐述了 $mathbf{F} = mmathbf{a}$ 的矢量形式，还讨论了动量概念的深化——冲量与动量的关系。在处理变质量系统时，如火箭运动，我们利用微积分工具推导出动量随时间变化的精确方程。本章还包括对功和能量的讨论，特别是保守力场的引入，导出了势能的概念，这是连接动力学与能量守恒的关键。 第三章：刚体的运动与守恒定律 当系统不再简化为质点时，刚体的概念变得至关重要。本章侧重于刚体的平动、转动以及平动和转动的复合运动。转动惯量的计算方法，包括平行轴定理和转轴定理，被详尽推导和应用。角动量定理（$mathbf{L} = mathbf{I}oldsymbol{omega}$）在刚体动力学中的应用，特别是绕固定轴的定轴转动和陀螺运动，将得到深入的分析。同时，我们将重申并严格证明动量守恒、角动量守恒和机械能守恒定律在物理系统中的普适性。 第二部分：深入基础——从牛顿到欧拉-拉格朗日 第二部分是全书的转折点，它将引导读者从基于力的牛顿方法过渡到基于能量和泛函的分析力学方法。这一转变极大地提高了处理约束系统和复杂几何结构问题的能力。 第四章：约束系统与广义坐标 本章的核心任务是处理复杂的约束条件。我们首先分析了光滑约束和定常约束对系统自由度的限制。随后，引入了广义坐标 $q_i$ 的概念，以及由雅可比矩阵描述的坐标变换。本章的重点是达朗贝尔原理，这是一个将动力学问题转化为静力学平衡问题的强大工具。通过达朗贝尔原理，我们能够以统一的方式处理主动力和约束力。 第五章：拉格朗日力学 拉格朗日力学是分析力学的基石。本章详细介绍了拉格朗日函数 $L = T - V$ 的构建方法，其中 $T$ 是动能，$V$ 是势能。随后，我们推导出欧拉-拉格朗日方程（Lagrange's Equations of the Second Kind）。这些方程的优势在于它们自动消除了约束力的影响。我们将通过多个实例——包括单摆、双摆以及带有约束的粒子系统——来展示拉格朗日方法在解决复杂动力学问题时的简洁性和高效性。 第六章：守恒量与诺特定理 在拉格朗日力学的框架下，守恒量的来源得到了更深刻的揭示。本章详细阐述了诺特定理（Noether's Theorem）的数学表述和物理内涵。我们证明了系统拉格朗日量对某一坐标的对称性直接对应于一个守恒量（如动量、角动量或能量）。通过识别对称性，读者可以系统地找到系统的守恒律，这远比在牛顿力学中“猜测”守恒量更为严谨和普适。 第三部分：相空间与哈密顿框架 第三部分将分析力学推向其最高抽象层次，进入相空间。哈密顿力学不仅是拉格朗日力学的数学重构，更是通往量子力学和统计物理学的关键门户。 第七章：从拉格朗日量到哈密顿量 本章侧重于勒让德变换，将描述从广义坐标和广义速度 $(q_i, dot{q}_i)$ 空间转换到广义坐标和广义动量 $(q_i, p_i)$ 空间。我们定义了正则共轭动量 $p_i = partial L / partial dot{q}_i$ 并构建了哈密顿函数 $H(q, p, t) = sum_i p_i dot{q}_i - L$。我们阐述了哈密顿函数在保守系统（即拉格朗日量不显含时间时）中等同于系统的总能量。 第八章：哈密顿方程与相空间 我们推导并分析了哈密顿正则方程组： $$ dot{q}_i = frac{partial H}{partial p_i} quad ; quad dot{p}_i = -frac{partial H}{partial q_i} $$ 这组一阶微分方程组构成了系统的运动方程。本章将深入探索相空间的概念，相轨迹在相空间中的演化，以及相空间的拓扑性质。 第九章：泊松括号与正则变换 泊松括号是描述动力学量随时间演化的核心工具，它提供了对哈密顿方程的另一种简洁表达。我们定义了泊松括号 ${cdot, cdot}$，并证明了任何守恒量 $f$ 必须满足 ${!f, H} = 0$。在这一基础上，我们介绍了正则变换的概念，即坐标和动量变换保持哈密顿方程形式不变的变换，并讨论了母函数的应用。 第十章：经典力学在现代物理中的展望 本书最后将目光投向更广阔的领域。我们将简要讨论相空间中的流体动力学概念，如刘维尔定理（Liouville's Theorem）及其在统计力学中的意义。同时，将明确指出经典力学的极限，即在原子和亚原子尺度下，这一理论必须被量子力学所取代，并简要说明如何从哈密顿量出发构建薛定谔方程，从而完成对经典力学结构及其局限性的完整认识。 适用对象 本书适合于物理学、天文学、应用数学和工程力学专业高年级本科生及研究生作为教材或参考书。读者应具备扎实的微积分基础（包括多元微积分和变分法初步概念）以及线性代数知识。通过系统的学习，读者将不仅掌握经典力学的计算技巧，更能理解其深层的数学结构和物理哲学。