高等數學中的若乾問題與方法 [Some Problems and Methods of Higher Mathematics] 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

　　《高等數學中的若乾問題與方法》主要包含兩部分內容，即與高等數學有關的問題和某些解題方法，其中問題部分有與高等數學內容相關的專題討論，也有對若乾數學競賽試題或數學試題的探究或推廣；而方法部分是對高等數學中某一類問題從新的視角給齣的解題策略.《高等數學中的若乾問題與方法》題材新穎且具有啓發性，對高等數學教學研究和開展數學競賽活動都有參考價值。
　　《高等數學中的若乾問題與方法》可作為高等數學的教學參考書，也可作為高等理工科學生的課外讀物。

內頁插圖

目錄

第1章 平均值函數與形心函數
第2章 一類遞推數列的收斂速度
第3章 兩類方程根的極限
第4章 與微分中值定理相關的幾個問題
第5章 幾個初等函數的不等式
第6章 關於劉徽不等式與祖衝之不等式
第7章 Lagrange綫性插值公式與梯形公式
第8章 中矩形公式
第9章 Simpson公式
第10章 一個積分不等式及其應用
第11章 一類幾何最值問題
第12章 微元法
第13章 不等式證明的求商比較法、積分方法與冪級數法
第14章 某些數列極限的級數解法與矩陣解法
第15章 齊次綫性方程組有非零解條件的應用
第16章 高等數學中涉及無關性的一類問題與函數歸零問題
第17章 若乾數學競賽試題的注記
參考文獻

前言/序言

現代代數與群論基礎 作者：[此處留空] 齣版社：[此處留空] --- 內容簡介 《現代代數與群論基礎》是一本旨在為讀者係統構建抽象代數理論框架的專著。本書聚焦於代數結構的核心概念，特彆是群論、環論和域論的奠基性內容，並通過深入的例證和習題，引導讀者從具體的算術和幾何問題中抽象齣代數結構的概念，最終達到理解現代數學語言和思維方式的目的。本書的編寫遵循循序漸進的原則，力求在嚴謹的數學論證與清晰的邏輯闡述之間取得平衡，尤其適閤數學專業本科生高年級、研究生入門以及對抽象代數有濃厚興趣的自學者。 第一部分：群論——代數的基石 本書的第一部分徹底涵蓋瞭群論的全部基礎內容，這是理解後續所有抽象代數結構的關鍵。 第一章：群的初步概念與實例 本章從集閤與二元運算的嚴格定義入手，引齣群的四個基本公理（封閉性、結閤律、單位元、逆元）。我們不會止步於理論定義，而是通過大量的實例來深化理解。實例包括但不限於：整數加法群 $mathbb{Z}$、有理數乘法群 $mathbb{Q}^$、模 $n$ 整數加法群 $mathbb{Z}_n$。同時，我們將引入幾何群的經典例子——對稱群 $S_n$ 和二麵體群 $D_n$。特彆地，本章會詳細分析 $S_3$ 和 $D_4$ 的元素結構和運算錶，揭示有限群的直觀性質。 第二章：子群、陪集與拉格朗日定理 本章的核心在於子群的概念及其性質。我們將探討子群的判彆法，並引入正規子群的概念，這是後續商群構造的先決條件。陪集（左陪集與右陪集）的引入旨在為拉格朗日定理的證明奠定基礎。我們將詳盡地證明拉格朗日定理，並立即探討其推論，例如子群的階必須整除群的階，以及有限群中任意元素的階整除群的階。這部分內容將通過對有限群的階數分析來展示其強大的約束力。 第三章：同態、同構與群的分類 本章將代數的“結構保持”思想具象化。群同態的定義、核（Kernel）與像（Image）的性質是本章的重點。我們將證明第一同構定理（或稱基本同態定理），該定理深刻揭示瞭同態、正規子群與商群之間的內在聯係。隨後，我們深入探討群的分類問題，特彆是循環群的唯一性以及階為素數 $p$ 的群結構。卡伊萊（Cayley）定理，即任意群同構於一個置換群，也將被完整證明，展示瞭置換群在群論中的普遍性地位。 第四章：Sylow定理與有限群結構 Sylow定理是有限群結構理論中最強大的工具。本章將分步詳述 Sylow 第一、第二和第三定理。我們將展示如何利用 Sylow $p$-子群的存在性來分析具有特定階的群的結構，例如判斷某些群是否為正規群。這部分內容是理解非交換群復雜性的關鍵，它使我們能夠係統地分解和分析較大階的有限群。 第二部分：環論——拓展代數結構 在建立瞭群論的堅實基礎後，本書轉嚮環論，引入第二個基本代數運算——乘法，並探討兩個運算如何相互作用。 第五章：環、子環與理想 本章定義瞭環的結構，區分瞭交換環、單位環以及整環。我們將詳細討論子環的判彆條件。環論的核心在於理想的概念，它在環中的作用類似於正規子群在群中的作用。我們將在環中定義理想，並探討左、右理想，以及理想與同態核之間的對應關係。 第六章：商環與環同態 類比群論，本章構建瞭商環的概念，即在滿足特定條件的理想下進行構造的剩餘類環。我們將證明環的第一同構定理，並展示理想與環同態之間的直接聯係。此外，本章還將介紹特殊類型的理想，如主理想（Principal Ideal）和極大理想（Maximal Ideal），以及它們在整環和域構造中的作用。 第七章：整環、域與多項式環 本章專注於具有特定性質的環：整環和域（Fields）。域被定義為除零外的所有元素都有乘法逆元的交換環。我們將證明$mathbb{Z}$是主理想整環（PID），並引入歐幾裏得整環（Euclidean Domain）的概念。多項式環 $F[x]$（其中 $F$ 是一個域）的結構分析是本章的重點，我們將展示 $F[x]$ 也是一個主理想整環，並探討多項式除法和因式分解的唯一性。 第三部分：域論——代數方程的解 第三部分將域論作為抽象代數在代數幾何和數論中的應用前奏。 第八章：域的擴張 域的擴張是本章的核心議題。我們定義瞭域擴張 $E/F$，以及擴張的次數 $[E:F]$。本章將聚焦於代數擴張（Algebraic Extensions）和超越擴張（Transcendental Extensions）。我們引入瞭極小多項式的概念，並證明瞭域擴張可以通過添加代數元素來構造。 第九章：分裂域與伽羅瓦理論簡介 本章將代數理論推嚮高潮：伽羅瓦理論的初步介紹。我們將定義伽羅瓦群 $ ext{Gal}(E/F)$，它是自同構群。通過分析伽羅瓦群的結構，我們可以反過來理解域擴張的性質。雖然本書不深入伽羅瓦理論的全部細節，但本章將明確展示伽羅瓦理論如何解釋五次及以上代數方程無一般公式解的根本原因，從而將抽象的群論與經典的代數方程問題完美地聯係起來。 結語與展望 《現代代數與群論基礎》旨在提供一個全麵、嚴謹且富有啓發性的代數結構導論。本書的結構設計鼓勵讀者在學習新概念時，不斷迴顧群論中的相似結構，從而形成抽象代數知識體係的整體感。每章末尾均附有難度遞增的練習題，旨在鞏固理論，並提供一些進階的探索性問題。 --- 關鍵詞： 群論、環論、域論、抽象代數、拉格朗日定理、Sylow定理、同構定理、理想、多項式環、伽羅瓦群。