张量与黎曼几何：微分方程应用（英文版） [Tensors and Riemannian Geometry with Applications to Differential Equations] pdf epub mobi txt 电子书 下载 在线阅读 2026

内容简介

　　《张量与黎曼几何：微分方程应用（英文版）》是作者在俄罗斯、法国、南非和瑞典多年讲授黎曼几何与张量课程讲义的基础上整理而成。《张量与黎曼几何：微分方程应用（英文版）》通俗易懂、叙述清晰。通过阅读《张量与黎曼几何：微分方程应用（英文版）》，读者将轻松掌握应用张量、黎曼几何的理论以及几何化的方法求解偏微分方程，尤其是利用近似重整化群理论将大大简化de Sitter空间中广义相对论方程的求解。 Nail H.Ibragimov教授为瑞典科学家，被公认为是在微分方程对称分析方面世界上具有专业的专家之一。他发起并构建了现代群分析理论和应用方面很多新的发展。

内页插图

目录

Preface
Part Ⅰ Tensors and Riemannian spaces
1 Preliminaries
1.1 Vectors in linear spaces
1.1.1 Three-dimensionalvectors
1.1.2 Generalcase
1.2 Index notation. Summation convention
Exercises
2 Conservation laws
2.1 Conservation laws in classical mechanics
2.1.1 Free fall of a body near the earth
2.1.2 Fall of a body in a viscous fluid
2.1.3 Discussion of Kepler's laws
2.2 General discussion of conservation laws
2.2.1 Conservationlaws for ODEs
2.2.2 Conservation laws for PDEs
2.3 Conserved vectors defined by symmetries
2.3.1 Infinitesimal symmetries of differential equations
2.3.2 Euler-Lagrange equations. Noether's theorem ...
2.3.3 Method of nonlinear self-adjointness
2.3.4 Short pulse equation
2.3.5 Linear equations
Exercises
3 Introduction of tensors and Riemannian spaces
3.1 Tensors
3.1.1 Motivation
3.1.2 Covariant and contravariant vectors
3.1.3 Tensor algebra
3.2 Riemannian spaces
3.2.1 Differential metric form
3.2.2 Geodesics. The Christoffel symbols
3.2.3 Covariant differentiation. The Riemann tensor
3.2.4 Flat spaces
3.3 Application to ODEs
Exercises
4 Motions in Riemannian spaces
4.1 Introduction
4.2 Isometric motions
4.2.1 Definition
4.2.2 Killing equations
4.2.3 Isometric motions on the plane
4.2.4 Maximal group of isometric motions
4.3 Conformal motions
4.3.l Definition
4.3.2 Generalized Killing equations
4.3.3 Conformally flat spaces
4.4 Generalized motions
4.4.l Generalized motions. their invariants and defect
4.4.2 Invariant family of spaces
Exercises

Part Ⅱ Riemannian spaces of second-order equations
5 Riemannian spaces associated with linear PDEs
5.1 Covariant form of second-order equations
5.2 Conformally invariant equations
Exercises
6 Geometry of linear hyperbolic equations
6.1 Generalities
6.1.1 Covariant form of determining equations
6.1.2 Equivalence transformations
6.1.3 Existence of conformally invariant equations
6.2 Spaces with nontrivial conformal group
6.2.1 Definition of nontrivial conformal group
6.2.2 Classification of four-dimensional spaces
6.2.3 Uniqueness theorem
6.2.4 On spaces with trivial conformal group
6.3 Standard form of second-order equations
6.3.1 Curved wave operator in V4 with nontrivial conformal group
6.3.2 Standard form of hyperbolic equations with nontrivial conformal group
……
Part Ⅲ Theory of relativity
Bibliography
Index

好的，这是一份关于《张量与黎曼几何：微分方程应用》（英文版）[Tensors and Riemannian Geometry with Applications to Differential Equations] 的图书简介，内容详实，不涉及原书的具体内容，并力求自然流畅： --- 图书简介：深入探讨几何与分析的交汇点 本书旨在为读者提供一个坚实的理论基础，用以理解现代数学物理和几何学中的核心概念。它着眼于理论框架的构建，以及这些框架如何支撑起对复杂系统和空间的分析。全书结构严谨，逻辑清晰，旨在引导读者从基础概念出发，逐步深入到更高级的分析工具和几何结构的应用。 第一部分：基础结构的奠定——代数与分析的桥梁 本书的开篇部分聚焦于构建理解高级几何和微分方程所需的数学语言。我们首先回顾了必要的线性代数和多线性代数知识，这些是理解张量概念的基石。重点在于张量的定义、运算（如收缩、积和陪变）以及它们在坐标无关的框架下如何描述物理量和几何性质。这一部分不仅仅是代数操作的堆砌，更强调了张量作为一种几何对象的内在意义。 随后，我们转向微分几何的基础——流形的概念。流形被引入为研究非欧几里得空间的通用框架。读者将学习到流形上的局部坐标系、图册结构（atlas）以及这些结构如何保证几何对象的全局一致性。我们详细阐述了切空间（Tangent Spaces）的概念，这是分析沿着流形曲线变化的函数和向量场的关键工具。 为了将分析方法应用于流形，光滑函数和微分形式的引入至关重要。本书细致地解释了微分形式是如何推广了传统微积分中的梯度、散度和旋度，使其能够在任意维度和曲面上进行运算。微分形式的代数结构，特别是楔积（wedge product），是理解外微分（Exterior Differentiation）的先决条件。 第二部分：几何结构的量化——度量与连接 在建立了流形和微分形式的框架之后，本书的核心部分转向如何“测量”流形上的几何结构。度量张量（Metric Tensor）的引入是本阶段的重点。度量不仅定义了流形上的距离和角度，也是构造协变导数（Covariant Derivative）的必备要素。读者将深入理解黎曼几何的基石——黎曼度量，以及如何利用它来定义测地线（Geodesics），即流形上的“直线”。 协变导数是连接代数和分析的另一关键桥梁。本书详细探讨了为什么在弯曲空间中，普通的导数不足以描述向量场的“真实”变化，并由此引出平行移动（Parallel Transport）的概念。重点讲解了利用度量张量导出唯一的仿射联络（Affine Connection），即爱因斯坦-卡坦联络（Einstein-Cartan connection）或更一般的黎曼联络。 曲率理论是几何学中最具洞察力的部分之一。本书系统地介绍了黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）的定义、分量计算及其代数性质。我们探讨了曲率的几种简化形式，如里奇曲率（Ricci Curvature）和斯卡拉曲率（Scalar Curvature），这些量是理解空间几何性质的关键指标。我们还将曲率与测地线的偏离联系起来，直观地展示了曲率的几何含义。 第三部分：分析工具的拓展——微分算子与泛函分析 本书的分析部分，旨在将流形上的几何结构转化为可供求解的微分算子。我们深入研究了拉普拉斯-德拉姆算子（Laplace-de Rham Operator），该算子是推广了标准拉普拉斯算子到微分形式上的关键工具。通过分析该算子的性质，我们可以研究流形上的调和函数和调和形式。 为了处理涉及几何的偏微分方程，理解算子的基本性质至关重要。本书详细分析了这些几何微分算子（如狄拉克算子、拉普拉斯-博赫纳算子）的椭圆性、退化性，并讨论了它们在特定边界条件下的解的存在性和唯一性。这部分内容为后续更复杂的物理模型分析奠定了分析基础。 第四部分：结构与应用的整合——从理论到模型 在本书的最后部分，我们将前述的理论工具应用于分析和建模的场景。我们探讨了基于度量和联络的场方程结构。这包括如何利用变分原理（Variational Principles）来推导流形上的运动方程，例如最小作用量原理在几何中的体现。 我们着重讨论了如何将这些几何概念与物理理论中的核心方程联系起来，例如，如何将张量分析应用于描述物质场在弯曲时空中的传播和演化。书中探讨了诸如几何流（Geometric Flows）等动态系统，这些系统依赖于曲率和梯度流的相互作用来描述空间的演化或收敛到某种平衡状态。 本书的整体目标是培养读者一种将几何直觉转化为严格数学语言的能力，并熟练运用现代微分几何工具来处理涉及空间结构和微分方程的复杂问题。它为那些希望在拓扑学、微分几何、理论物理或应用数学领域进行深入研究的学者和高年级学生提供了必要的理论深度和技术广度。 ---