适读人群：作为教师参考资料，有助于活跃课堂气氛、启迪学生心智；可以作为学生课外读物，有助于开阔眼界、增长知识、锻炼逻辑思维能力。即使对于数学修养比较高的大学生、研究生甚至数学研究作者，也会开卷有益。适于有高中及高中以上文化程度的各阶层、各年龄段人群阅读。
　　 “好玩的数学”丛书自2004年10月出版以来，受到广大读者欢迎和社会各界的广泛好评，各分册先后重印10余次，平均发行量近45000套，被认为是一套叫好又叫座的科普图书。丛书致力于多个角度展示了数学的“好玩”，将现代数学和经典数学中许多看似古怪、实则富有深刻哲理的内容通俗化，努力使读者“知其然”并“知其所以然”；尽可能地把数学的好玩提升到了更为高雅的层次，让一般读者也能领略数学的博大精深。
　　丛书于2004年获科学时报杯“科学普及与科学文化**丛书奖”，2008年又被国家新闻出版总署列为“向全国青少年推荐的百种优秀图书”之一，2009年荣获“国家科学技术进步奖二等奖”。但对于作者和编者来说，奖励莫过于广大读者的喜爱关心。十年来，收到不少热心读者提出的意见和修改建议，数学研究领域和科普领域也都有了新的发展，大家感到有必要对书中的内容进行更新和补充。要感谢各位在耄耋之年仍俯首案牍、献身科普事业的作者，他们热心负责地对自己的作品进一步加工，在“好玩的数学（普及版）”的基础上进行了修订和完善。

内容简介

　　《幻方与素数：娱乐数学两大经典名题》分为两部分，第一部分是百变幻方——娱乐数学题，对古今中外在幻方研究中的发现和成果有极为详细的介绍；第二部分是素数——娱乐数学另一经典名题，包括素数之谜、素数奇趣、素数与完美数、素数与亲和数等问题。题材广泛、内容有趣，能够启迪思想、开阔视野，培养读者分析和解决问题的能力。

丛书修订版前言
第一版总序
第四版说明
第三版说明
第二版说明
第一版前言
第一部分百变幻方——娱乐数学第一名题
引子洛水神龟献奇图2
01有关幻方的传闻趣事10
1.1宇宙飞船上的搭载物10
1.2南宋杨辉——研究幻方第一人11
1.3杨辉4阶幻方中的奥秘23
1.4出土文物中的阿拉伯幻方32
1.5欧洲的“幻方热”和名画“忧伤”中的幻方34
1.6富兰克林的神奇幻方38
02怎样构造幻方46
2.1连续摆数法（暹罗法）46
2.2阶梯法（楼梯法）49
2.3奇偶数分开的菱形法49
2.4对称法51
2.5对角线法52
2.6比例放大法53
2.7斯特雷奇法54
2.8LUX法56
2.9拉伊尔法（基方、根方合成法）57
2.104襄边法59
2.11相乘法61
2.12幻方模式62
3幻方数量知多少64
3.13阶幻方的数量64
3.2/阶幻方的数量65
3.35阶幻方的数量66
4“幻中之幻”68
4.1对称幻方68
4.2泛对角线幻方68
4.3棋盘上的幻方73
4.4亲子幻方77
4.5奇偶数分居的对称镶边幻方78
4.6T形幻方79
5非正规幻方80
5.1普朗克幻方80
5.2合数幻方81
5.3乘幻方及其他82
6幻方的变形86
6.1杨辉的幻圆86
6.2对杨辉变形幻方的发展91
6.3中世纪印度的幻圆和魔莲花宝座99
6.4富兰克林的八轮幻圆101
6.5幻星105
6.6幻矩形108
6.7魔蜂窝110
6.8幻环112
7进一步的“幻中之幻”115
7.1双幻方115
7.2幻立方（魔方）118
7.3四维魔方124
7.4—些奇特的魔幻方125
第二部分娱乐数学另一经典名题——素数
8素数之谜133
8.1素数的无限性及其证明133
8.2有没有素数的一般表达式134
8.3表达素数的函数137
8.4怎样判定大素数138
8.5某范围内素数知多少139
8.6梅森素数最大素数的表示形式141
8.7最大素数有多大148
9素数奇趣150
9.1由顺（逆）序数字组成的素数150
9.2回文素数150
9.3可逆素数153
9.4“双胞胎”和“三胞胎”素数155
9.5形成级数的素数157
9.6“清一色”和“近乎清一色”的素数158
9.7素数与π及其他159
9.8—些素数倒数的特殊性质161
9.9素数分布的有趣图案170
9.10高斯素数和艾森斯坦素数173
10素数和完美数176
10.1求完美数的公式176
10.2完美数与梅森素数177
10.3完美数的一些特征177
10.4多倍完美数179
10.5另一种完美180
11素数和亲和数181
11.1什么叫亲和数？181
11.2产生亲和数的公式182
11.3亲和数184
12素数和幻方185
12.1素数幻方185
12.2科艺幻方189
部分习题、问题答案192
参考文献196
数学网站198

精彩书摘

　　第一部分百变幻方——娱乐数学第一名题
　　本书分两大部分，第一部分专门介绍幻方，第二部分介绍素数。把幻方作为一个专题着重加以介绍，并非完全是由于笔者的偏爱，更主要的是因为幻方在娱乐数学中的地位以及它的意义实在非同一般，也因为幻方是中国人的首创，是值得中国人骄傲的。赖塞(H.J.Ryser)的名著《组合数学》（Combinatorial Mathematics）(MAA，1962)开宗明义地写道：“组合数学，也称为组合分析或组合学，是一门起源于古代的数学学科。据传说，中国的大禹(约公元前2200年)在一只神龟的背上看到如下幻方而大约公元前1100年，排列即已在中国开始萌芽 ”
　　幻方从中国传到世界其他地区以后，引起广泛的重视，一代又一代的学者对它进行不懈的研究，取得了许多成果，有关的文献资料多不胜举。数学家詹姆士纽曼(James Roy Newman，1907～1966)在20世纪50年代编辑了一部数学文库性质的《数学世界》(The World of Mathematics，Tempus Books，1956)，收集了数学各个分支、各个年代的名家名篇133篇，分4大卷出版。在“数学游戏与数学谜语”这部分的开头，纽曼在介绍中提到幻方时说道：“单单是有关幻方的著作就足够办一个规模可观的图书馆了(The writings on magic squares alone suffice to make a fair-sized library) 。”读者在看过本书以后当会相信纽曼的这个说法是一点也不过分的，笔者专用一部分介绍幻方也是有道理的。
　　引子洛水神龟献奇图
　　公元前2200年，也就是距今4300年左右，在我们中华民族祖先居住的大地上，发生了暴雨连绵、洪水泛滥、成千上万的人遭到没顶之灾的大悲剧。当时人类抵御自然灾害的能力十分有限。在拯救自身生命的强烈愿望驱使下，人们奋起抗灾，在斗争和失败中学习，涌现出了许多可歌可泣的故事，其中大家最熟悉的是大禹为治水三过家门而不入的事迹。在大禹治水的过程中，还有许多美丽、动人的传说。例如，相传大禹在治黄河的时候，黄河龙马献给大禹一张河图，从而帮助大禹制定了一套正确的治黄方案。另一则传说是大禹在治洛水的时候，洛水神龟献给大禹一本洛书，书中有如图0-1所示的一幅奇怪的图。这幅图用今天的数学符号翻译出来，就是一个3阶幻方，也就是在3×3的方阵中填入1～9，其每行、每列和2条对角线上3个数字之和都相等，等于15，并把它叫做幻方常数(magic square constant)或幻和(magic sum)。这就是中国人首先发现的世界第一个幻方。别小看了这个小小的幻方，这是中国人在数学上的一个伟大创造，它奠定了数学中一个重要分支——组合学的基础。当然，由于当时还没有发明我们今天所使用的数字符号，所以我们的祖先就巧妙地用这个图来表达他们所知道的幻方。图中，奇数用若干个空心的圆圈表示，偶数用若干个实心的圆圈表示，这和中国古时的阴阳学说有关。
　　由于作为洛书3阶幻方基础的九宫数字“二九四，七五三，六一八”在公元80年出版的古书《大戴礼记》卷八《明堂篇》中就有清清楚楚的记载，因此，中国人首先发现了幻方，是国际数学界公认的。但是，幻方到底是什么时候出现的，有没有实物为证？这个问题却长期得不到解决，直到20世纪70年代的一个考古发现才最终给出了答案。
　　图0-1洛书上的3阶幻方
　　1977年春，安徽省阜阳县(现改为“阜阳市”)城郊的农民在双古堆平整土地时，发现了两座古墓。文物工作者发掘后证明这是西汉汝阴侯的墓葬。汝阴侯是汉高帝刘邦对其同乡的功臣夏侯婴的封号。墓主人是第二代汝阴侯夏侯灶及其妻子。据史书记载，夏侯灶死于汉文帝15年，即公元前165年，距今已2170多年。出土文物中包括3件极为珍贵的中国古代天文仪器，其中一件叫“太乙九宫占盘”，是用来占卦的盘，分上盘和下盘两部分，上盘嵌入下盘的凹槽，可以随意转动，如图0-2(a)所示。将盘上的古汉字转写成现代汉字以后如图0-2（b)。由图可见，太乙九宫占盘正面是按八卦位置和金、木、水、火、土五行属性排列的，其九宫名称和各宫节气的天数与古书《灵枢经》（这是《黄帝内经》的重要组成部分，是中国最早研究天气变化与人体关系，以占风图0-2太乙九宫占盘候，治疾病的古书）完全一致。这个占盘就是用来测算立春、春分、立夏、夏至、立秋、秋分、立冬、冬至这8个节气的，说明我们的祖先很早就掌握了季节变化的规律，这里我们不加详述，感兴趣的读者可参阅《考古》1978年5月号上殷非的文章“西汉汝阴侯墓出土的占盘和天文仪器”。我们感兴趣的是盘上圆圈中8个方位上的数字如果补上中心因安装转轴而无法刻上的“5”的话，恰为九宫数字“四九二，三五七，八一六”！因此，我国数学史专家梁宗巨先生在其遗作《世界数学通史》（辽宁教育出版社，2005）中认定这是一个3阶幻方的实物。根据盘上刻的该盘的制作年代“第三七年辛酉目中冬至”的字样，专家已确切地考证出这是汉文帝7年（也就是公元前173年），因此幻方在中国的出现已有2180年以上的历史，比根据《大戴礼记》的推算提前了两个半世纪（但不知什么原因，梁先生书上只说提前了一个半世纪）。幻方后来陆续传播到日本、朝鲜、印度、泰国、阿拉伯等地，引起广泛兴趣和重视。但根据史料记载，国外最早研究幻方的学者当推阿拉伯的塔比伊本夸儿拉(Thabitibn Qurrah，826～901)，那已是公元9世纪了。至于欧洲人知道幻方就更晚了，最早是生于康斯坦丁诺普尔(Constantinople)的印度人穆晓普鲁斯(Manuel Moschopulus)首先在15世纪把幻方介绍到欧洲去的。
　　在中国古代，洛书3阶幻方被蒙上了一层厚厚的神秘色彩。周朝的易学家把它同“九宫说”等同起来(九宫指乾、坎、艮、震、巽、离、坤、兑八卦之宫，外加中央之宫，合称九宫)，或者把它同他们所主张的“天地生成数说”联系起来(天数指奇数1、3、5、7、9，表阳、乾、天等；地数指2、4、6、8，表阴、坤、地等)。而两汉时的巫师或方士则把它用作占卜吉凶的图谶。在我国西藏地区，过去藏民普遍携带的一种护身符如图0-3所示，除了有黄道十二宫和八卦以外，中央就是一个用藏文数字表示的3阶幻方。此外，初版于1923年的《数学史》（D.E.Smith:History of Mathematics)中，转载了拉萨出版物中一幅名为“生命之轮”（Wheel of Life）的画，如图0-4所示，也有类似的，但宗教色彩更浓厚，内容更丰富的图案，其中央也是一个3阶幻方。另一方面，由于洛书3阶幻方配置9个数字的均衡性和完美性，产生了极
　　图0-3藏民的护身符
　　图0-4“生命之轮”
　　大的审美效果，使古人认为其中包含了某种至高无上的原则，也把它作为治国安民九类大法的模式，或把它视为举行国事大典的明堂的格局，因此使中国古人的这一数学杰作，具有哲学意义的创造。
　　事实上，隐藏在洛书3阶幻方背后，还可能有许多奥秘有待人们去挖掘。我国著名的科普作家兼娱乐数学专家谈祥柏先生就曾在他的著作中介绍了有关对洛书3阶幻方的新发现。首先是把幻方想像为画在汽车轮胎上，于是，最左一列与最右一列相邻，最上一行与最下一行也相邻。这时，9个2×2方阵中的4数之和恰好从16到24，既不重复也不遗漏，如图0-5所示。你说奇不奇?
　　其次，把每列数字看成一个3位数，则此3个3位数之和与其3个逆转3位数之和相等，而且取它们的平方和也相等，即
　　276+951+438=672+159+834=1665
　　2762+9512+4382=6722+1592+8342=1172421
　　不仅如此，这种性质对行来说也成立，即
　　492+357+816=294+753+618=1665
　　4922+3572+8162=2942+7532+6182=1035369
　　图0-5洛书3阶幻方9个2×2方阵形成连续数列
　　更有甚者，如果我们把对角线也分成两族，自左上角到右下角的主对角线及与它平行的两条折对角线称为主族，反方向的对角线称为副族，则上述奇妙性质依然成立，即
　　主对角线族：654+798+213=456+897+312=1665
　　6542+7982+2132=4562+8972+3122=1109889
　　副对角线族：258+714+693=852+417+396=1665
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