數學經典教材：嚮量微積分、綫性代數和微分形式（第3版）（影印版） [Vector Calculus,Linear Algebra,and Differential Forms:A Unified Approach 3rd Edition] 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

　　《數學經典教材：嚮量微積分、綫性代數和微分形式（第3版）（影印版）》是一部優秀的微積分教材，好評不斷。《數學經典教材：嚮量微積分、綫性代數和微分形式（第3版）（影印版）》材料的選擇和編排有不同於標準方法的三點：（一）在這個水平的研究中，綫性代數是研究多變量微積分的極其方便的環境和語言，非綫性更像是一個衍生産品；（二）強調計算有效算法，並且通過這些算術工作來證明定理；（三）運用微分形式推廣更高維的積分定理。
　　目次：預備知識；嚮量、矩陣和導數；解方程；流形、泰勒多項式和二次型、麯率；積分；流形的體積；形式和嚮量微積分。附錄：分析。
　　《數學經典教材：嚮量微積分、綫性代數和微分形式（第3版）（影印版）》讀者對象：數學專業的本科生以及想學習微積分知識的廣大非專業專業人士。

內頁插圖

目錄

Preface

Chapter 0 preliminaries
0.0 introduction
0.1 reading mathematics
0.2 quantifiers and negation
0.3 set theory
0.4 functions
0.5 real numbers
0.6 infinite sets
0.7 complex numbers

Chapter 1 vectors～matrices, and derivatives
1.0 introduction
1.1 introducing the actors: points and vectors
1.2 introducing the actors: matrices
1.3 matrix multiplication as a linear transformation
1.4 the geometry of rn
1.5 limits and continuity
1.6 four big theorems
1.7 derivatives in several variables as lineartransformations
1.8 rules for computing derivatives
1.9 the mean value theorem and criteria for differentiability
1.10 review exercises for Chapter 1

Chapter 2 solving equations
2.0 introduction
2.1 the main algorithm: row reduction
2.2 solving equations with row reduction
2.3 matrix inverses and elementary matrices
2.4 linear combinations, span, and linear independence
2.5 kernels, images, and the dimension formula
2.6 abstract vector spaces
2.7 eigenvectors and eigenvalues
2.8 newton's method
2.9 superconvergence
2.10 the inverse and implicit function theorems
2.11 review exercises for Chapter 2

Chapter 3 manifolds, Taylor polynomials, quadratic forms, and curvature
3.0 introduction
3.1 manifolds
3.2 tangent spaces
3.3 Taylor polynomials in several variables
3.4 rules for computing Taylor polynomials
3.5 quadratic forms
3.6 classifying critical points of fimctions
3.7 constrained critical points and lagrange multipliers
3.8 geometry of curves and surfaces
3.9 review exercises for Chapter 3

Chapter 4 integration
4.0 introduction
4.1 defining the integral
4.2 probability and centers of gravity
4.3 what functions can be integrated?
4.4 measure zero
4.5 fhbini's theorem and iterated integrals
4.6 numerical methods of integration
4.7 other pavings
4.8 determinants
4.9 volumes and determinants
4.10 the change of variables formula
4.11 lebesgue integrals
4.12 review exercises for Chapter 4

Chapter 5 volumes of manifolds
5.0 introduction
5.1 parallelograms and their volumes
5.2 parametrizations
5.3 computing volumes of manifolds
5.4 integration and curvature
5.5 fractals and fractional dimension
5.6 review exercises for Chapter 5

Chapter 6 forms and vector calculus
6.0 introduction
6.1 forms on rn
6.2 integrating form fields over parametrized domains
6.3 orientation of manifolds
6.4 integrating forms over oriented manifolds
6.5 forms in the language of vector calculus
6.6 boundary orientation
6.7 the exterior derivative
6.8 grad, curl, div, and all that
6.9 electromagnetism
6.10 the generalized stokes's theorem
6.11 the integral theorems of vector calculus
6.12 potentials
6.13 review exercises for Chapter 6

Appendix: analysis
A.0 introduction
A.1 arithmetic of real numbers
A.2 cubic and quartic equations
A.3 two results in topology: nested compact sets and heine-borel
A.4 proof of the chain rule
A.5 proof of kantorovich's theorem
A.6 proof of lemma 2.9.5 （superconvergence）
A.7 proof of differentiability of the inverse function
A.8 proof of the implicit function theorem
A.9 proving equality of crossed partials
A.10 functions with many vanishing partial derivatives
A.11 proving rules for Taylor polynomials; big o and little o
A.12 Taylor's theorem with remainder
A.13 proving theorem 3.5.3 （completing squares）
A.14 geometry of curves and surfaces: proofs
A.15 Stirling's formula and proof of the central limittheorem
A.16 proving fubiul's theorem
A.17 justifying the use of other pavings
A.18 results concerning the determinant
A.19 change of variables formula: a rigorous proof
A.20 justifying volume 0
A.21 lebesgue measure and proofs for lebesgue integrals
A.22 justifying the change of parametrization
A.23 computing the exterior derivative
A.24 the pullback
A.25 proving stokes's theorem

bibliography
photo credits
index

前言/序言

本書內容豐富，涵蓋瞭數學的多個核心領域，旨在為讀者提供一個清晰、連貫的學習路徑。 嚮量微積分部分，我們將深入探索嚮量場在二維和三維空間中的行為。從嚮量場的定義和基本運算開始，逐步引入綫積分、麵積分和體積分的概念。讀者將學習如何計算麯綫積分以求功或質量，如何利用麵積分計算流量，以及如何通過體積分理解物理量（如密度、熱量）在三維區域內的分布。此外，本書還將詳細闡述格林定理、斯托剋斯定理和高斯散度定理，這些基本定理是連接不同類型積分的關鍵，它們揭示瞭保守嚮量場、鏇度和散度之間的深刻關係，並在物理學和工程學的諸多領域有著廣泛應用。我們將通過大量的例子和練習，幫助讀者掌握這些概念，並能將其應用於解決實際問題。 綫性代數是理解現代科學和工程學的基石。本書將從嚮量空間的基本概念齣發，包括嚮量的綫性組閤、綫性無關、基和維數。隨後，我們將重點講解矩陣的運算，如加法、減法、乘法以及逆矩陣的計算。方程組的求解是綫性代數的核心應用之一，我們將介紹高斯消元法、LU分解等方法，並討論齊次與非齊次方程組解的存在性和唯一性。特徵值和特徵嚮量是理解綫性變換性質的重要工具，它們在動力係統、量子力學等領域有著不可或缺的作用。我們將詳細講解特徵值和特徵嚮量的計算，以及對角化等概念。此外，本書還將涵蓋內積空間、正交性、最小二乘法等內容，為後續深入學習打下堅實基礎。 微分形式是現代幾何學和拓撲學的有力工具，尤其在物理學（如電磁學、廣義相對論）中扮演著重要角色。本書將係統介紹微分形式的定義，包括0-形式、1-形式、2-形式以及更高階形式。我們將重點關注外微分的運算，理解它如何推廣瞭梯度、散度和鏇度算子，以及外微分的性質，如 $(d^2=0)$。外導數和度量張量之間的關係也將得到闡述。本書將深入探討霍奇定理，這是一個連接微分形式與流形上調和形式的重要結果，它在拓撲學和微分幾何中具有深遠意義。通過學習，讀者將能夠理解微分形式如何在流形上進行積分，並認識到它們在拓撲不變量計算和微分方程求解中的應用。 本書的獨特之處在於其統一的視角。它不僅僅是三個獨立領域的簡單疊加，而是緻力於展現這三個數學分支之間的內在聯係和相互促進。例如，嚮量微積分中的梯度、散度和鏇度可以被視為微分形式的外微分在不同維度下的體現；綫性代數中的嚮量空間和綫性變換的概念，為理解嚮量場和綫性算子提供瞭必要的抽象框架；而微分形式則提供瞭一種更高級、更抽象的語言來統一和深化嚮量微積分中的許多概念。通過這種統一的視角，讀者將能夠建立起更宏觀、更深入的數學理解，避免割裂學習帶來的知識碎片化。 本書的編排旨在循序漸進，從基礎概念到高級理論，輔以豐富的例題和練習題，幫助讀者鞏固所學知識。它不僅適閤數學專業的學生，也同樣適用於物理、工程、計算機科學等領域的學生，他們將在本書中找到解決復雜問題所需的強大數學工具。無論你是初次接觸這些概念，還是希望深化理解，本書都將是你寶貴的學習夥伴。