数学经典教材：向量微积分、线性代数和微分形式（第3版）（影印版） [Vector Calculus,Linear Algebra,and Differential Forms:A Unified Approach 3rd Edition] pdf epub mobi txt 电子书 下载 在线阅读 2026

内容简介

　　《数学经典教材：向量微积分、线性代数和微分形式（第3版）（影印版）》是一部优秀的微积分教材，好评不断。《数学经典教材：向量微积分、线性代数和微分形式（第3版）（影印版）》材料的选择和编排有不同于标准方法的三点：（一）在这个水平的研究中，线性代数是研究多变量微积分的极其方便的环境和语言，非线性更像是一个衍生产品；（二）强调计算有效算法，并且通过这些算术工作来证明定理；（三）运用微分形式推广更高维的积分定理。
　　目次：预备知识；向量、矩阵和导数；解方程；流形、泰勒多项式和二次型、曲率；积分；流形的体积；形式和向量微积分。附录：分析。
　　《数学经典教材：向量微积分、线性代数和微分形式（第3版）（影印版）》读者对象：数学专业的本科生以及想学习微积分知识的广大非专业专业人士。

内页插图

目录

Preface

Chapter 0 preliminaries
0.0 introduction
0.1 reading mathematics
0.2 quantifiers and negation
0.3 set theory
0.4 functions
0.5 real numbers
0.6 infinite sets
0.7 complex numbers

Chapter 1 vectors～matrices, and derivatives
1.0 introduction
1.1 introducing the actors: points and vectors
1.2 introducing the actors: matrices
1.3 matrix multiplication as a linear transformation
1.4 the geometry of rn
1.5 limits and continuity
1.6 four big theorems
1.7 derivatives in several variables as lineartransformations
1.8 rules for computing derivatives
1.9 the mean value theorem and criteria for differentiability
1.10 review exercises for Chapter 1

Chapter 2 solving equations
2.0 introduction
2.1 the main algorithm: row reduction
2.2 solving equations with row reduction
2.3 matrix inverses and elementary matrices
2.4 linear combinations, span, and linear independence
2.5 kernels, images, and the dimension formula
2.6 abstract vector spaces
2.7 eigenvectors and eigenvalues
2.8 newton's method
2.9 superconvergence
2.10 the inverse and implicit function theorems
2.11 review exercises for Chapter 2

Chapter 3 manifolds, Taylor polynomials, quadratic forms, and curvature
3.0 introduction
3.1 manifolds
3.2 tangent spaces
3.3 Taylor polynomials in several variables
3.4 rules for computing Taylor polynomials
3.5 quadratic forms
3.6 classifying critical points of fimctions
3.7 constrained critical points and lagrange multipliers
3.8 geometry of curves and surfaces
3.9 review exercises for Chapter 3

Chapter 4 integration
4.0 introduction
4.1 defining the integral
4.2 probability and centers of gravity
4.3 what functions can be integrated?
4.4 measure zero
4.5 fhbini's theorem and iterated integrals
4.6 numerical methods of integration
4.7 other pavings
4.8 determinants
4.9 volumes and determinants
4.10 the change of variables formula
4.11 lebesgue integrals
4.12 review exercises for Chapter 4

Chapter 5 volumes of manifolds
5.0 introduction
5.1 parallelograms and their volumes
5.2 parametrizations
5.3 computing volumes of manifolds
5.4 integration and curvature
5.5 fractals and fractional dimension
5.6 review exercises for Chapter 5

Chapter 6 forms and vector calculus
6.0 introduction
6.1 forms on rn
6.2 integrating form fields over parametrized domains
6.3 orientation of manifolds
6.4 integrating forms over oriented manifolds
6.5 forms in the language of vector calculus
6.6 boundary orientation
6.7 the exterior derivative
6.8 grad, curl, div, and all that
6.9 electromagnetism
6.10 the generalized stokes's theorem
6.11 the integral theorems of vector calculus
6.12 potentials
6.13 review exercises for Chapter 6

Appendix: analysis
A.0 introduction
A.1 arithmetic of real numbers
A.2 cubic and quartic equations
A.3 two results in topology: nested compact sets and heine-borel
A.4 proof of the chain rule
A.5 proof of kantorovich's theorem
A.6 proof of lemma 2.9.5 （superconvergence）
A.7 proof of differentiability of the inverse function
A.8 proof of the implicit function theorem
A.9 proving equality of crossed partials
A.10 functions with many vanishing partial derivatives
A.11 proving rules for Taylor polynomials; big o and little o
A.12 Taylor's theorem with remainder
A.13 proving theorem 3.5.3 （completing squares）
A.14 geometry of curves and surfaces: proofs
A.15 Stirling's formula and proof of the central limittheorem
A.16 proving fubiul's theorem
A.17 justifying the use of other pavings
A.18 results concerning the determinant
A.19 change of variables formula: a rigorous proof
A.20 justifying volume 0
A.21 lebesgue measure and proofs for lebesgue integrals
A.22 justifying the change of parametrization
A.23 computing the exterior derivative
A.24 the pullback
A.25 proving stokes's theorem

bibliography
photo credits
index

前言/序言

本书内容丰富，涵盖了数学的多个核心领域，旨在为读者提供一个清晰、连贯的学习路径。 向量微积分部分，我们将深入探索向量场在二维和三维空间中的行为。从向量场的定义和基本运算开始，逐步引入线积分、面积分和体积分的概念。读者将学习如何计算曲线积分以求功或质量，如何利用面积分计算流量，以及如何通过体积分理解物理量（如密度、热量）在三维区域内的分布。此外，本书还将详细阐述格林定理、斯托克斯定理和高斯散度定理，这些基本定理是连接不同类型积分的关键，它们揭示了保守向量场、旋度和散度之间的深刻关系，并在物理学和工程学的诸多领域有着广泛应用。我们将通过大量的例子和练习，帮助读者掌握这些概念，并能将其应用于解决实际问题。 线性代数是理解现代科学和工程学的基石。本书将从向量空间的基本概念出发，包括向量的线性组合、线性无关、基和维数。随后，我们将重点讲解矩阵的运算，如加法、减法、乘法以及逆矩阵的计算。方程组的求解是线性代数的核心应用之一，我们将介绍高斯消元法、LU分解等方法，并讨论齐次与非齐次方程组解的存在性和唯一性。特征值和特征向量是理解线性变换性质的重要工具，它们在动力系统、量子力学等领域有着不可或缺的作用。我们将详细讲解特征值和特征向量的计算，以及对角化等概念。此外，本书还将涵盖内积空间、正交性、最小二乘法等内容，为后续深入学习打下坚实基础。 微分形式是现代几何学和拓扑学的有力工具，尤其在物理学（如电磁学、广义相对论）中扮演着重要角色。本书将系统介绍微分形式的定义，包括0-形式、1-形式、2-形式以及更高阶形式。我们将重点关注外微分的运算，理解它如何推广了梯度、散度和旋度算子，以及外微分的性质，如 $(d^2=0)$。外导数和度量张量之间的关系也将得到阐述。本书将深入探讨霍奇定理，这是一个连接微分形式与流形上调和形式的重要结果，它在拓扑学和微分几何中具有深远意义。通过学习，读者将能够理解微分形式如何在流形上进行积分，并认识到它们在拓扑不变量计算和微分方程求解中的应用。 本书的独特之处在于其统一的视角。它不仅仅是三个独立领域的简单叠加，而是致力于展现这三个数学分支之间的内在联系和相互促进。例如，向量微积分中的梯度、散度和旋度可以被视为微分形式的外微分在不同维度下的体现；线性代数中的向量空间和线性变换的概念，为理解向量场和线性算子提供了必要的抽象框架；而微分形式则提供了一种更高级、更抽象的语言来统一和深化向量微积分中的许多概念。通过这种统一的视角，读者将能够建立起更宏观、更深入的数学理解，避免割裂学习带来的知识碎片化。 本书的编排旨在循序渐进，从基础概念到高级理论，辅以丰富的例题和练习题，帮助读者巩固所学知识。它不仅适合数学专业的学生，也同样适用于物理、工程、计算机科学等领域的学生，他们将在本书中找到解决复杂问题所需的强大数学工具。无论你是初次接触这些概念，还是希望深化理解，本书都将是你宝贵的学习伙伴。