臨沂大學博士教授文庫：非綫性偏微分方程的解析解 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

　　隨著科學技術的發展，在自然科學和社會科學領域中廣泛存在的非綫性問題，越來越引起人們的關注，而且許多非綫性問題的研究最終可歸結為非綫性偏微分方程來描述，通過對非綫性偏微分方程的求解和定性分析來研究。
　　《臨沂大學博士教授文庫：非綫性偏微分方程的解析解》給齣瞭微分幾何中的AC=BD模式，並利用吳微分特徵列法，給齣某些定理的機械化證明。
　　給齣瞭一般形式的Riccati方程多種形式的解，進而提齣瞭求非綫性偏微分方程孤波解的機械化方法，此方法可以將非綫性微分方程的求解轉化為非綫性超定代數方程組的求解，從而建立瞭吳方法與微分方程求解之間的橋梁。

內頁插圖

目錄

自強不息 厚德載物——《臨沂大學博士教授文庫》總序
前言

第一章 緒論
§1.1 微分代數與微分幾何
§1.2 孤立子研究的發展
§1.3 孤立子與微分幾何
§1.4 非綫性演化方程（組）的解發展情況
§1.4.1 非綫性演化方程解的構造性方法
§1.4.2 Painleve分析與守恒律
§1.4.3 可積係統
§1.5 吳方法和數學機械化
§1.6 本書的主要工作

第二章 AC=肋模式及其應用
§2.1 PDE求解的AC =BD模式
§2.1.1 AC=肋理論及其應用
§2.1.2 算子C和D的構造方法
§2.2 微分幾何中的AC=BD模式

第三章 齊次平衡法的改進和Backlund變換
§3.1 齊次平衡法的改進
§3.2 Boussinesq方程的Backlund變換及其精確解
§3.2.1 Boussinesq方程的Backlund變換
§3.2.2 Boussinesq方程的孤子解
§3.2.3 Boussinesq方程的雙周期解
§3.3 變係數KdV方程的Backlund變換及其精確解
§3.3.1 變係數KdV方程的Backlund變換
§3.3.2 變係數KdV方程的變速孤立波解
§3.3.3 變係數KdV方程的雙周期解
§3.4 （2+1）-維擴散長波方程的Backlund變換及其精確解
§3.4.1 DLW方程的Backlund變換及其精確解
§3.4.2 DLW方程的其它形式的精確解
§3.5 SK方程和KK方程的Backlund變換及其精確解
§3.5.1 AKNS係統
§3.5.2 SK方程和KK方程的Backlund變換
§3.5.3 SK方程和KK方程的Jacobi橢圓函數解和行波解
§3.6 （2+1）維KP方程的Backlund變換及其精確解
§3.6.1 （2+1）維KP方程的Backlund變換
§3.6.2 （2+1）維KP方程的精確解
§3.7 具有常高斯麯率類時麯麵的Backlund變換

第四章 非綫性演化方程的孤波解
§4.1 新的extended-tanh函數方法及其應用
§4.2 擴展Riccati方程法及其應用
§4.3 射影Riccati方程法及其應用
§4.4 一般形式的Riccati方程法及其應用
§4.5 一類非綫性演化方程的孤波解
……
第五章 非綫性演化方程的雙周期解
第六章 吳微分特徵列法及其應用
第七章 非綫性偏微分方程的相互作用解
參考文獻

前言/序言

　　隨著科學技術的發展，在自然科學和社會科學領域中廣泛存在的非綫性問題，越來越引起人們的關注，而且許多非綫性問題的研究最終可歸結為非綫性偏微分方程來描述，通過對非綫性偏微分方程的求解和定性分析來研究。
　　本書給齣瞭微分幾何中的AC=BD模式，並利用吳微分特徵列法，給齣某些定理的機械化證明。
　　給齣瞭一般形式的Riccati方程多種形式的解，進而提齣瞭求非綫性偏微分方程孤波解的機械化方法，此方法可以將非綫性微分方程的求解轉化為非綫性超定代數方程組的求解，從而建立瞭吳方法與微分方程求解之間的橋梁。我們求齣瞭一類非綫性偏微分方程的孤波解、周期解和有理函數解。提齣瞭改進的Jacobi橢圓函數展開法，它不僅包括瞭tanh -方法，而且也包括瞭sine-cosine方法和其他Jacobi橢圓函數展開法。給齣瞭第一種橢圓方程和第二種橢圓方程更多形式的Jacobi橢圓函數解，從而提齣瞭兩種新的求解非綫性偏微分方程雙周期解的更有效的機械化算法（橢圓方程方法）。利用該方法獲得瞭一類非綫性偏微分方程的雙周期解。
　　……

書名：《臨沂大學博士教授文庫：非綫性偏微分方程的解析解》 內容簡介： 本書是臨沂大學博士教授文庫的又一力作，專注於一個在數學物理、工程科學和現代技術中占據核心地位的領域——非綫性偏微分方程（Nonlinear Partial Differential Equations, NPDEs）的解析求解。 在經典物理學和工程應用中，許多基礎模型都以偏微分方程的形式齣現。當這些方程的綫性部分不足以刻畫現象的復雜性時，非綫性項的引入是不可避免的。然而，一旦方程中齣現非綫性項，其解析求解的難度便會呈指數級增長。相較於綫性方程係統可以藉助傅裏葉變換、拉普拉斯變換等成熟工具進行係統性求解，非綫性方程的求解往往需要高度的技巧、深厚的數學直覺以及對特定方程結構特性的深刻理解。 本書並非試圖涵蓋所有非綫性偏微分方程的理論，而是聚焦於那些能夠通過精確、可控的方法——即解析解法——求解的特定方程類型。解析解，如同數學中的“精確藍圖”，它完整地描述瞭物理過程在所有時空點上的演變規律，這對於建立理論模型、驗證數值方法的準確性以及揭示現象背後的基本機製具有不可替代的價值。 本書的結構設計旨在引導讀者從基礎的解析工具入手，逐步深入到處理高難度非綫性問題的尖端方法。 第一部分：基礎理論與工具的重申與深化 本部分首先迴顧瞭偏微分方程理論中的必要背景知識，特彆強調瞭函數空間理論、Sobolev空間以及分布理論在處理復雜非綫性方程解的正則性（Regularity）和存在性（Existence）證明中的關鍵作用。隨後，本書針對非綫性係統的特點，係統性地介紹瞭以下解析基礎： 不動點理論在PDE中的應用： 重點闡述瞭Banach不動點定理和Schauder不動點定理在證明局部存在性時的嚴謹性，並討論瞭它們在處理強非綫性項時所麵臨的挑戰與應對策略。 變分法基礎與能量泛函： 對於那些可以由能量泛函極小化導齣的方程（如某些幾何分析問題），本書詳細討論瞭如何構造閤適的能量泛函，並利用泛函分析工具尋找穩定解或極值解。 第二部分：守恒律與流量理論的解析視角 許多重要的物理過程，如流體力學、汙染物輸運和材料斷裂，都可以通過守恒律來描述，這些律通常轉化為具有非綫性對流項的雙麯型方程。 Lax- منح（ منح）-溫特夫裏希（Wintherhoff）條件與熵解： 針對 Burgers 方程或歐拉方程的簡化模型，本書深入探討瞭經典解失效後如何引入“弱解”概念。核心在於熵條件，它確保瞭物理上閤理的、不産生過多不連續性的解的選擇。本書詳細分析瞭熵不等式的構造及其在確定弱解唯一性中的作用。 接觸不連續性與波的相互作用： 通過對特徵綫方法的幾何化分析，本書展示瞭如何解析地追蹤並預測簡單波、復閤波以及接觸間斷的産生、傳播和閤並過程。 第三部分：可積性：尋找隱藏的結構 非綫性偏微分方程的解析求解在很大程度上依賴於“可積性”（Integrability）這一特性。可積係統擁有比一般非綫性方程更豐富的結構，允許使用更強大的代數或幾何工具進行精確求解。 反嚮散射變換（Inverse Scattering Transform, IST）： 這是求解 KdV、NLSE（非綫性薛定諤方程）等經典可積係統的核心方法。本書詳細剖析瞭 IST 的完整流程： 1. 譜問題構造： 將偏微分方程轉化為一個譜問題（如 Schrödinger 算子或 Dirac 算子）。 2. 時間演化方程： 錶明譜數據隨時間的演化遵循簡單的綫性方程。 3. 重構公式： 利用逆散射變換將綫性演化的譜數據轉換迴原始方程的解。本書會提供多孤子解、呼吸子解（Breathers）的詳細推導過程。 怪化變換（Bäcklund Transformations）： 本方法通過構造一個微分關係，將已知解映射到另一個解，或將一個方程的解映射到另一個方程的解。本書將以 Sine-Gordon 方程為例，展示如何利用 Bäcklund 變換係統地生成多孤子解族。 第四部分：幾何方法與對稱性 現代偏微分方程的研究越來越依賴於幾何直覺和對稱性原理。 李群方法（Lie Group Approach）： 通過係統地搜索使得偏微分方程在特定連續變換群下保持不變的變換群，可以有效降低方程的階數、識彆守恒量，並直接構造齣特定的行波解或周期解。本書將詳細展示如何計算無窮小生成元，並利用這些生成元來尋找特定形式的解析解，例如常微分方程（ODE）簡化。 共形不變性與特定場方程： 針對某些具有特定時空對稱性的方程（如某些引力場或規範場方程），本書探討瞭如何利用共形對稱性來簡化問題，並尋找具有特定不變性質的解析解。 本書特點： 本書的編寫風格嚴謹而務實，強調從物理背景齣發，通過精密的數學工具實現精確的求解。它並非一部純粹的理論綜述，而是側重於提供可操作的、經過驗證的求解範例。通過對 KdV、Sine-Gordon、非綫性泊鬆方程等經典模型的深入剖析，本書旨在為研究生和高年級本科生提供一套堅實的解析求解武器庫，並為從事非綫性係統研究的科研人員提供深入的參考。本書的最終目標是使讀者能夠識彆方程的可積性結構，並運用現代解析技術，在復雜非綫性世界中，找到那條通往精確答案的“黃金路徑”。