临沂大学博士教授文库：非线性偏微分方程的解析解 pdf epub mobi txt 电子书 下载 在线阅读 2026

内容简介

　　随着科学技术的发展，在自然科学和社会科学领域中广泛存在的非线性问题，越来越引起人们的关注，而且许多非线性问题的研究最终可归结为非线性偏微分方程来描述，通过对非线性偏微分方程的求解和定性分析来研究。
　　《临沂大学博士教授文库：非线性偏微分方程的解析解》给出了微分几何中的AC=BD模式，并利用吴微分特征列法，给出某些定理的机械化证明。
　　给出了一般形式的Riccati方程多种形式的解，进而提出了求非线性偏微分方程孤波解的机械化方法，此方法可以将非线性微分方程的求解转化为非线性超定代数方程组的求解，从而建立了吴方法与微分方程求解之间的桥梁。

内页插图

目录

自强不息 厚德载物——《临沂大学博士教授文库》总序
前言

第一章 绪论
§1.1 微分代数与微分几何
§1.2 孤立子研究的发展
§1.3 孤立子与微分几何
§1.4 非线性演化方程（组）的解发展情况
§1.4.1 非线性演化方程解的构造性方法
§1.4.2 Painleve分析与守恒律
§1.4.3 可积系统
§1.5 吴方法和数学机械化
§1.6 本书的主要工作

第二章 AC=肋模式及其应用
§2.1 PDE求解的AC =BD模式
§2.1.1 AC=肋理论及其应用
§2.1.2 算子C和D的构造方法
§2.2 微分几何中的AC=BD模式

第三章 齐次平衡法的改进和Backlund变换
§3.1 齐次平衡法的改进
§3.2 Boussinesq方程的Backlund变换及其精确解
§3.2.1 Boussinesq方程的Backlund变换
§3.2.2 Boussinesq方程的孤子解
§3.2.3 Boussinesq方程的双周期解
§3.3 变系数KdV方程的Backlund变换及其精确解
§3.3.1 变系数KdV方程的Backlund变换
§3.3.2 变系数KdV方程的变速孤立波解
§3.3.3 变系数KdV方程的双周期解
§3.4 （2+1）-维扩散长波方程的Backlund变换及其精确解
§3.4.1 DLW方程的Backlund变换及其精确解
§3.4.2 DLW方程的其它形式的精确解
§3.5 SK方程和KK方程的Backlund变换及其精确解
§3.5.1 AKNS系统
§3.5.2 SK方程和KK方程的Backlund变换
§3.5.3 SK方程和KK方程的Jacobi椭圆函数解和行波解
§3.6 （2+1）维KP方程的Backlund变换及其精确解
§3.6.1 （2+1）维KP方程的Backlund变换
§3.6.2 （2+1）维KP方程的精确解
§3.7 具有常高斯曲率类时曲面的Backlund变换

第四章 非线性演化方程的孤波解
§4.1 新的extended-tanh函数方法及其应用
§4.2 扩展Riccati方程法及其应用
§4.3 射影Riccati方程法及其应用
§4.4 一般形式的Riccati方程法及其应用
§4.5 一类非线性演化方程的孤波解
……
第五章 非线性演化方程的双周期解
第六章 吴微分特征列法及其应用
第七章 非线性偏微分方程的相互作用解
参考文献

前言/序言

　　随着科学技术的发展，在自然科学和社会科学领域中广泛存在的非线性问题，越来越引起人们的关注，而且许多非线性问题的研究最终可归结为非线性偏微分方程来描述，通过对非线性偏微分方程的求解和定性分析来研究。
　　本书给出了微分几何中的AC=BD模式，并利用吴微分特征列法，给出某些定理的机械化证明。
　　给出了一般形式的Riccati方程多种形式的解，进而提出了求非线性偏微分方程孤波解的机械化方法，此方法可以将非线性微分方程的求解转化为非线性超定代数方程组的求解，从而建立了吴方法与微分方程求解之间的桥梁。我们求出了一类非线性偏微分方程的孤波解、周期解和有理函数解。提出了改进的Jacobi椭圆函数展开法，它不仅包括了tanh -方法，而且也包括了sine-cosine方法和其他Jacobi椭圆函数展开法。给出了第一种椭圆方程和第二种椭圆方程更多形式的Jacobi椭圆函数解，从而提出了两种新的求解非线性偏微分方程双周期解的更有效的机械化算法（椭圆方程方法）。利用该方法获得了一类非线性偏微分方程的双周期解。
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书名：《临沂大学博士教授文库：非线性偏微分方程的解析解》 内容简介： 本书是临沂大学博士教授文库的又一力作，专注于一个在数学物理、工程科学和现代技术中占据核心地位的领域——非线性偏微分方程（Nonlinear Partial Differential Equations, NPDEs）的解析求解。 在经典物理学和工程应用中，许多基础模型都以偏微分方程的形式出现。当这些方程的线性部分不足以刻画现象的复杂性时，非线性项的引入是不可避免的。然而，一旦方程中出现非线性项，其解析求解的难度便会呈指数级增长。相较于线性方程系统可以借助傅里叶变换、拉普拉斯变换等成熟工具进行系统性求解，非线性方程的求解往往需要高度的技巧、深厚的数学直觉以及对特定方程结构特性的深刻理解。 本书并非试图涵盖所有非线性偏微分方程的理论，而是聚焦于那些能够通过精确、可控的方法——即解析解法——求解的特定方程类型。解析解，如同数学中的“精确蓝图”，它完整地描述了物理过程在所有时空点上的演变规律，这对于建立理论模型、验证数值方法的准确性以及揭示现象背后的基本机制具有不可替代的价值。 本书的结构设计旨在引导读者从基础的解析工具入手，逐步深入到处理高难度非线性问题的尖端方法。 第一部分：基础理论与工具的重申与深化 本部分首先回顾了偏微分方程理论中的必要背景知识，特别强调了函数空间理论、Sobolev空间以及分布理论在处理复杂非线性方程解的正则性（Regularity）和存在性（Existence）证明中的关键作用。随后，本书针对非线性系统的特点，系统性地介绍了以下解析基础： 不动点理论在PDE中的应用： 重点阐述了Banach不动点定理和Schauder不动点定理在证明局部存在性时的严谨性，并讨论了它们在处理强非线性项时所面临的挑战与应对策略。 变分法基础与能量泛函： 对于那些可以由能量泛函极小化导出的方程（如某些几何分析问题），本书详细讨论了如何构造合适的能量泛函，并利用泛函分析工具寻找稳定解或极值解。 第二部分：守恒律与流量理论的解析视角 许多重要的物理过程，如流体力学、污染物输运和材料断裂，都可以通过守恒律来描述，这些律通常转化为具有非线性对流项的双曲型方程。 Lax- منح（ منح）-温特夫里希（Wintherhoff）条件与熵解： 针对 Burgers 方程或欧拉方程的简化模型，本书深入探讨了经典解失效后如何引入“弱解”概念。核心在于熵条件，它确保了物理上合理的、不产生过多不连续性的解的选择。本书详细分析了熵不等式的构造及其在确定弱解唯一性中的作用。 接触不连续性与波的相互作用： 通过对特征线方法的几何化分析，本书展示了如何解析地追踪并预测简单波、复合波以及接触间断的产生、传播和合并过程。 第三部分：可积性：寻找隐藏的结构 非线性偏微分方程的解析求解在很大程度上依赖于“可积性”（Integrability）这一特性。可积系统拥有比一般非线性方程更丰富的结构，允许使用更强大的代数或几何工具进行精确求解。 反向散射变换（Inverse Scattering Transform, IST）： 这是求解 KdV、NLSE（非线性薛定谔方程）等经典可积系统的核心方法。本书详细剖析了 IST 的完整流程： 1. 谱问题构造： 将偏微分方程转化为一个谱问题（如 Schrödinger 算子或 Dirac 算子）。 2. 时间演化方程： 表明谱数据随时间的演化遵循简单的线性方程。 3. 重构公式： 利用逆散射变换将线性演化的谱数据转换回原始方程的解。本书会提供多孤子解、呼吸子解（Breathers）的详细推导过程。 怪化变换（Bäcklund Transformations）： 本方法通过构造一个微分关系，将已知解映射到另一个解，或将一个方程的解映射到另一个方程的解。本书将以 Sine-Gordon 方程为例，展示如何利用 Bäcklund 变换系统地生成多孤子解族。 第四部分：几何方法与对称性 现代偏微分方程的研究越来越依赖于几何直觉和对称性原理。 李群方法（Lie Group Approach）： 通过系统地搜索使得偏微分方程在特定连续变换群下保持不变的变换群，可以有效降低方程的阶数、识别守恒量，并直接构造出特定的行波解或周期解。本书将详细展示如何计算无穷小生成元，并利用这些生成元来寻找特定形式的解析解，例如常微分方程（ODE）简化。 共形不变性与特定场方程： 针对某些具有特定时空对称性的方程（如某些引力场或规范场方程），本书探讨了如何利用共形对称性来简化问题，并寻找具有特定不变性质的解析解。 本书特点： 本书的编写风格严谨而务实，强调从物理背景出发，通过精密的数学工具实现精确的求解。它并非一部纯粹的理论综述，而是侧重于提供可操作的、经过验证的求解范例。通过对 KdV、Sine-Gordon、非线性泊松方程等经典模型的深入剖析，本书旨在为研究生和高年级本科生提供一套坚实的解析求解武器库，并为从事非线性系统研究的科研人员提供深入的参考。本书的最终目标是使读者能够识别方程的可积性结构，并运用现代解析技术，在复杂非线性世界中，找到那条通往精确答案的“黄金路径”。