近代歐氏幾何學 [Asvanced Euclidean Geometry] 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

　　《近代歐氏幾何學》探討瞭三角形和圓形的幾何結構，主要專注於歐氏理論的延伸並詳細地研究瞭許多相關定理。在討論的數百個定理和推論中，一些已經給齣瞭完整的證明，另一些未證明的用以留作讀者練習使用。

內頁插圖

精彩書摘

　　1 預備知識假定讀者熟悉美國中學通常講授的平麵幾何與初等代數，以及最簡單的三角原理。假定讀者對平麵幾何中的標準定理有一定的熟悉，如果在讀本書之前，復習一下更好。簡單的代數化簡與運算經常用到，幾何關係的錶達式經常通過引入三角函數來化簡，偶爾也利用與它們有關的最基本的恒等式來化簡。中學數學課程裏的三角知識已足夠本書的需要，而自由地運用代數與三角方法對幾何的研究大為方便。不再需要更多的數學知識；當然，熟悉高等幾何的讀者可以常常感覺到本書與其他幾何學的關係。
　　本章將介紹全書所采用的一般原理、方法及觀點。數學水平較高的學生對這些原理不會覺得新奇，第一次接觸的讀者也不會覺得非常睏難。
　　正負量
　　2 有時我們討論的幾何量可以從兩個方嚮中的任一個來度量。通常約定一個方嚮為正，另一個方嚮為負。溫度計是一個熟悉的例子。再如，沿東西嚮的街量距離，可以將嚮東的距離附上正號，嚮西的附上負號。於是，在這段路上行走兩次或更多次，不管各次的方嚮是否相同，結果對齣發點的距離與方嚮等於錶示各次行走的數的代數和。類似的例子可以同樣說明。一般的原理，即某種量的組閤可以用它們的度量的代數和錶示。這種量的度量在下麵定義。
　　5對於麵積，通常不計正負，即認為都是正的，但有時需要添上符號。在麵積是由兩條（有嚮）綫段的積確定時，符號就是積的代數符號。另一種方法是考慮繞這麵積的周界行走的方嚮。如果行走方嚮為正（即逆時針方嚮），麵積規定為正。如果行走方嚮為順時針方嚮，麵積為負。但在本書中，很少需要區彆麵積的正負。
　　20本章研究平麵上兩個相似形的關係。迴憶一下，在初等幾何中已經證明：“如果兩個圖形的所有對應角都相等，那麼所有的對應綫段成比例，兩個圖形相似。”我們將先討論對應邊互相平行的兩個相似形，並證明過它們每一對對應點的直綫必交於同一點，這點稱為位似中心。在一般情況，兩個相似形在同一平麵，但對應邊不互相平行，這時存在一個相似中心，即自身對應的點，它關於這兩個圖形具有同樣的對應位置。這個點的性質，下麵將詳細討論，以便今後應用。其中，兩個圓的特殊情況給予瞭應有的注意。
　　21我們首先考慮位似形，即兩個圖形的對應綫互相平行，並且對應點的連綫交於同一點（圖3）。
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前言/序言

近代歐氏幾何學 [Advanced Euclidean Geometry] 簡介 本書旨在為讀者提供一套全麵、深入且嚴謹的近代歐氏幾何學知識體係。我們摒棄瞭傳統歐氏幾何學在初等教育階段常采用的直觀、經驗式的描述方法，轉而采納公理化、邏輯演繹的現代數學視角，構建起一個堅實而精密的幾何學大廈。全書聚焦於歐氏幾何學在十九世紀至二十世紀初的深刻發展與演變，特彆是那些奠定現代數學基礎的關鍵概念與理論。 本書的結構設計力求邏輯的連貫性和內容的遞進性，確保讀者能夠循序漸進地掌握復雜概念。我們將從最基本的幾何公理係統及其哲學基礎開始，深入探討各種不同的公理化體係構建方式，並分析這些體係的內在一緻性與完備性問題。 第一部分：公理基礎與邏輯重構 本部分是全書的理論基石。我們將詳細考察歐幾裏得原著《幾何原本》中所隱含的公理係統，並引入羅巴切夫斯基、波耶、希爾伯特等數學傢對這些公理的批判與重構工作。 一、歐氏幾何學的經典公理體係迴顧： 我們會重述五大公設及五大公理，並著重分析“平行公設”的特殊地位及其在整個體係中的決定性作用。 二、非歐幾何學的先聲與動機： 深入剖析三百年來數學傢試圖證明或否定平行公設的努力，這部分將詳述高斯、羅巴切夫斯基、鮑耶以及黎曼早期對非歐幾何思想的探索，盡管本書核心仍是歐氏幾何，但理解其邊界與對立麵，是理解近代幾何發展路徑的關鍵。 三、希爾伯特幾何公理係統： 這是近代歐氏幾何的標誌性進展。我們將詳細講解希爾伯特幾何公理係統的十五條公理，將其劃分為連接公理、順序公理、全等公理和連續公理四大類。重點在於如何利用這些公理嚴格定義點、綫、麵之間的關係，以及如何通過邏輯推導而非直觀想象來確立幾何事實。特彆是對“連續性”公理的討論，它將實數係與幾何結構緊密聯係起來。 四、模型論與一緻性證明： 介紹如何在坐標係中構建歐氏幾何的模型（如笛卡爾坐標係），並利用代數工具來驗證公理係統的一緻性。這部分內容為後續的解析幾何奠定瞭嚴格的分析基礎。 第二部分：射影幾何的誕生與深化 近代幾何學的另一重要進展是射影幾何的興起。射影幾何關注不隨透視變換而改變的幾何性質，極大地拓展瞭傳統歐氏幾何的視野。 一、射影幾何的基本概念： 介紹射影空間、無窮遠點、無窮遠綫（或平麵）的概念，以及對偶原理（Principle of Duality）的深刻內涵。 二、透視變換與射影不變量： 深入研究仿射變換與射影變換的區彆與聯係。重點分析交比（Cross-Ratio）作為射影不變量的地位及其在平麵幾何中的應用。 三、 Desargues定理與 Pappus 定理的公理化地位： 闡述這兩個基本定理在射影幾何中是如何作為判定兩個體係是否屬於同一射影空間的基礎公理來使用的，並將其與歐氏幾何中的度量結構進行對比。 四、有嚮幾何與度量重構： 探討如何在射影幾何的框架內重新引入距離、角度等歐氏度量概念。這包括對圓錐麯綫的射影分類，以及如何利用有嚮角和有嚮距離來精確描述歐氏幾何的度量特性。 第三部分：度量結構與變換群論的交匯 十九世紀末至二十世紀初，數學傢開始使用群論的視角來審視幾何學，這形成瞭“幾何學研究綱領”（Erlangen Program）的核心思想。本書將詳細闡述這一視角如何統一和深化瞭歐氏幾何的理解。 一、歐氏幾何的群論視角： 明確將歐氏幾何定義為在 $mathbb{R}^2$（或 $mathbb{R}^3$）上由剛體運動（即平移與鏇轉的組閤）構成的群作用下的不變性質的研究。詳細分析歐氏群（Euclidean Group）的結構和性質。 二、剛體運動與等距變換： 嚴格定義剛體運動，證明任意兩個全等的圖形之間必存在一個唯一的剛體運動將其相互映射。這部分將結閤矩陣代數來描述鏇轉矩陣和平移嚮量。 三、幾何性質的分類： 依據 Erlangen Program 的指導思想，係統地將幾何性質劃分為： 1. 歐氏性質（由歐氏群保持的性質，如距離、角度、全等）。 2. 仿射性質（由仿射群保持的性質，如平行性、中點、麵積比）。 3. 射影性質（由射影群保持的性質，如交比、共綫性和共圓性）。 四、幾何學之間的關係鏈： 通過群的包含關係（歐氏群 $subset$ 仿射群 $subset$ 射影群），清晰地展示瞭不同幾何體係之間的層級關係和邏輯從屬關係，從而揭示瞭近代幾何學的統一性。 第四部分：近代方法在經典問題中的應用 本部分將展示如何運用上述嚴謹的公理化和群論方法來解決或重新審視一些經典的歐氏幾何問題。 一、歐氏幾何的代數化工具： 重點介紹嚮量代數、復數在平麵幾何中的應用，以及綫性代數在處理多點共綫、共麵等關係時的強大能力。 二、現代處理等周問題： 采用變分法（盡管不深入變分學的細節，但會展示其基本思想的應用框架）或更嚴格的積分幾何視角，來“證明”圓是周長固定的情況下圍成最大麵積的圖形，並將其與非歐幾何中的相應結論進行對比分析。 三、點集拓撲的萌芽： 討論在對歐氏空間進行拓撲化處理時，歐氏距離如何誘導齣拓撲結構，以及在不依賴於具體坐標係的情況下，如何定義開集、閉集等基本拓撲概念，並探討這些概念如何影響對幾何圖形的描述。 四、歐氏幾何在三維空間中的推廣： 簡要擴展到三維歐氏空間，介紹晶體學中對歐氏群的離散子群——空間群的研究，以及這些群論工具在描述物理空間結構中的重要性。 本書的寫作風格注重邏輯的精確性和論證的完整性，避免模糊的陳述和未經證明的直觀跳躍。它不僅僅是一本關於歐氏幾何的教科書，更是一部關於數學基礎、公理係統以及幾何學思想史發展脈絡的深度研究讀物，適閤具有紮實微積分和綫性代數基礎的高年級本科生及研究生深入研習。閱讀本書將使讀者從根本上理解歐氏幾何學是如何從一個直觀學科，被發展成為一個嚴格、公理化且具有深厚代數和拓撲聯係的現代數學分支。