近代欧氏几何学 [Asvanced Euclidean Geometry] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

内容简介

　　《近代欧氏几何学》探讨了三角形和圆形的几何结构，主要专注于欧氏理论的延伸并详细地研究了许多相关定理。在讨论的数百个定理和推论中，一些已经给出了完整的证明，另一些未证明的用以留作读者练习使用。

内页插图

精彩书摘

　　1 预备知识假定读者熟悉美国中学通常讲授的平面几何与初等代数，以及最简单的三角原理。假定读者对平面几何中的标准定理有一定的熟悉，如果在读本书之前，复习一下更好。简单的代数化简与运算经常用到，几何关系的表达式经常通过引入三角函数来化简，偶尔也利用与它们有关的最基本的恒等式来化简。中学数学课程里的三角知识已足够本书的需要，而自由地运用代数与三角方法对几何的研究大为方便。不再需要更多的数学知识；当然，熟悉高等几何的读者可以常常感觉到本书与其他几何学的关系。
　　本章将介绍全书所采用的一般原理、方法及观点。数学水平较高的学生对这些原理不会觉得新奇，第一次接触的读者也不会觉得非常困难。
　　正负量
　　2 有时我们讨论的几何量可以从两个方向中的任一个来度量。通常约定一个方向为正，另一个方向为负。温度计是一个熟悉的例子。再如，沿东西向的街量距离，可以将向东的距离附上正号，向西的附上负号。于是，在这段路上行走两次或更多次，不管各次的方向是否相同，结果对出发点的距离与方向等于表示各次行走的数的代数和。类似的例子可以同样说明。一般的原理，即某种量的组合可以用它们的度量的代数和表示。这种量的度量在下面定义。
　　5对于面积，通常不计正负，即认为都是正的，但有时需要添上符号。在面积是由两条（有向）线段的积确定时，符号就是积的代数符号。另一种方法是考虑绕这面积的周界行走的方向。如果行走方向为正（即逆时针方向），面积规定为正。如果行走方向为顺时针方向，面积为负。但在本书中，很少需要区别面积的正负。
　　20本章研究平面上两个相似形的关系。回忆一下，在初等几何中已经证明：“如果两个图形的所有对应角都相等，那么所有的对应线段成比例，两个图形相似。”我们将先讨论对应边互相平行的两个相似形，并证明过它们每一对对应点的直线必交于同一点，这点称为位似中心。在一般情况，两个相似形在同一平面，但对应边不互相平行，这时存在一个相似中心，即自身对应的点，它关于这两个图形具有同样的对应位置。这个点的性质，下面将详细讨论，以便今后应用。其中，两个圆的特殊情况给予了应有的注意。
　　21我们首先考虑位似形，即两个图形的对应线互相平行，并且对应点的连线交于同一点（图3）。
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前言/序言

近代欧氏几何学 [Advanced Euclidean Geometry] 简介 本书旨在为读者提供一套全面、深入且严谨的近代欧氏几何学知识体系。我们摒弃了传统欧氏几何学在初等教育阶段常采用的直观、经验式的描述方法，转而采纳公理化、逻辑演绎的现代数学视角，构建起一个坚实而精密的几何学大厦。全书聚焦于欧氏几何学在十九世纪至二十世纪初的深刻发展与演变，特别是那些奠定现代数学基础的关键概念与理论。 本书的结构设计力求逻辑的连贯性和内容的递进性，确保读者能够循序渐进地掌握复杂概念。我们将从最基本的几何公理系统及其哲学基础开始，深入探讨各种不同的公理化体系构建方式，并分析这些体系的内在一致性与完备性问题。 第一部分：公理基础与逻辑重构 本部分是全书的理论基石。我们将详细考察欧几里得原著《几何原本》中所隐含的公理系统，并引入罗巴切夫斯基、波耶、希尔伯特等数学家对这些公理的批判与重构工作。 一、欧氏几何学的经典公理体系回顾： 我们会重述五大公设及五大公理，并着重分析“平行公设”的特殊地位及其在整个体系中的决定性作用。 二、非欧几何学的先声与动机： 深入剖析三百年来数学家试图证明或否定平行公设的努力，这部分将详述高斯、罗巴切夫斯基、鲍耶以及黎曼早期对非欧几何思想的探索，尽管本书核心仍是欧氏几何，但理解其边界与对立面，是理解近代几何发展路径的关键。 三、希尔伯特几何公理系统： 这是近代欧氏几何的标志性进展。我们将详细讲解希尔伯特几何公理系统的十五条公理，将其划分为连接公理、顺序公理、全等公理和连续公理四大类。重点在于如何利用这些公理严格定义点、线、面之间的关系，以及如何通过逻辑推导而非直观想象来确立几何事实。特别是对“连续性”公理的讨论，它将实数系与几何结构紧密联系起来。 四、模型论与一致性证明： 介绍如何在坐标系中构建欧氏几何的模型（如笛卡尔坐标系），并利用代数工具来验证公理系统的一致性。这部分内容为后续的解析几何奠定了严格的分析基础。 第二部分：射影几何的诞生与深化 近代几何学的另一重要进展是射影几何的兴起。射影几何关注不随透视变换而改变的几何性质，极大地拓展了传统欧氏几何的视野。 一、射影几何的基本概念： 介绍射影空间、无穷远点、无穷远线（或平面）的概念，以及对偶原理（Principle of Duality）的深刻内涵。 二、透视变换与射影不变量： 深入研究仿射变换与射影变换的区别与联系。重点分析交比（Cross-Ratio）作为射影不变量的地位及其在平面几何中的应用。 三、 Desargues定理与 Pappus 定理的公理化地位： 阐述这两个基本定理在射影几何中是如何作为判定两个体系是否属于同一射影空间的基础公理来使用的，并将其与欧氏几何中的度量结构进行对比。 四、有向几何与度量重构： 探讨如何在射影几何的框架内重新引入距离、角度等欧氏度量概念。这包括对圆锥曲线的射影分类，以及如何利用有向角和有向距离来精确描述欧氏几何的度量特性。 第三部分：度量结构与变换群论的交汇 十九世纪末至二十世纪初，数学家开始使用群论的视角来审视几何学，这形成了“几何学研究纲领”（Erlangen Program）的核心思想。本书将详细阐述这一视角如何统一和深化了欧氏几何的理解。 一、欧氏几何的群论视角： 明确将欧氏几何定义为在 $mathbb{R}^2$（或 $mathbb{R}^3$）上由刚体运动（即平移与旋转的组合）构成的群作用下的不变性质的研究。详细分析欧氏群（Euclidean Group）的结构和性质。 二、刚体运动与等距变换： 严格定义刚体运动，证明任意两个全等的图形之间必存在一个唯一的刚体运动将其相互映射。这部分将结合矩阵代数来描述旋转矩阵和平移向量。 三、几何性质的分类： 依据 Erlangen Program 的指导思想，系统地将几何性质划分为： 1. 欧氏性质（由欧氏群保持的性质，如距离、角度、全等）。 2. 仿射性质（由仿射群保持的性质，如平行性、中点、面积比）。 3. 射影性质（由射影群保持的性质，如交比、共线性和共圆性）。 四、几何学之间的关系链： 通过群的包含关系（欧氏群 $subset$ 仿射群 $subset$ 射影群），清晰地展示了不同几何体系之间的层级关系和逻辑从属关系，从而揭示了近代几何学的统一性。 第四部分：近代方法在经典问题中的应用 本部分将展示如何运用上述严谨的公理化和群论方法来解决或重新审视一些经典的欧氏几何问题。 一、欧氏几何的代数化工具： 重点介绍向量代数、复数在平面几何中的应用，以及线性代数在处理多点共线、共面等关系时的强大能力。 二、现代处理等周问题： 采用变分法（尽管不深入变分学的细节，但会展示其基本思想的应用框架）或更严格的积分几何视角，来“证明”圆是周长固定的情况下围成最大面积的图形，并将其与非欧几何中的相应结论进行对比分析。 三、点集拓扑的萌芽： 讨论在对欧氏空间进行拓扑化处理时，欧氏距离如何诱导出拓扑结构，以及在不依赖于具体坐标系的情况下，如何定义开集、闭集等基本拓扑概念，并探讨这些概念如何影响对几何图形的描述。 四、欧氏几何在三维空间中的推广： 简要扩展到三维欧氏空间，介绍晶体学中对欧氏群的离散子群——空间群的研究，以及这些群论工具在描述物理空间结构中的重要性。 本书的写作风格注重逻辑的精确性和论证的完整性，避免模糊的陈述和未经证明的直观跳跃。它不仅仅是一本关于欧氏几何的教科书，更是一部关于数学基础、公理系统以及几何学思想史发展脉络的深度研究读物，适合具有扎实微积分和线性代数基础的高年级本科生及研究生深入研习。阅读本书将使读者从根本上理解欧氏几何学是如何从一个直观学科，被发展成为一个严格、公理化且具有深厚代数和拓扑联系的现代数学分支。