拓撲學 [Topology] 下載 mobi epub pdf 電子書 在線閱讀 2026

內容簡介

This volume covers approximately the amount of point-set topology that a student who does not intend to specialize in the field should nevertheless know.This is not a whole lot， and in condensed form would occupy perhaps only a small booklet. Our aim， however， was not economy of words， but a lively presentation of the ideas involved， an appeal to intuition in both the immediate and the higher meanings.

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目錄

Introduction
1.what is point-set topology about?
2.origin and beginnings
Chapter Ⅰ fundamental concepts
1.the concept of a topological space
2.metric spaces
3.subspaces, disjoint unions and products
4.rases and subbases
5.continuous maps
6.connectedness
7.the hausdorff separation axiom
8.compactness

Chapter Ⅱ topological vector spaces
1.the notion of a topological vector space
2.finite-dimensional vector spaces
3.hilbert spaces
4.banach spaces
5.frechet spaces
6.locally convex topological vector spaces
7.a couple of examples

Chapter Ⅲ the quotient topology
1.the notion of a quotient space
2.quotients and maps
3.properties of quotient spaces
4.examples: homogeneous spaces
5.examples: orbit spaces
6.examples: collapsing a subspace to a point
7.examples: gluing topological spaces together

Chapter Ⅳ completion of metric spaces
1.the completion of a metric space
2.completion of a map
3.completion of normed spaces

Chapter Ⅴ homotopy
1.homotopic maps
2.homotopy equivalence
3.examples
4.categories
5.functors
6.what is algebraic topology?
7.homotopy--what for?
Chapter Ⅵ the two countability axioms
1.first and second countability axioms
2.infinite products
3.the role of the countability axioms
Chapter Ⅶ cw-complexes
1.simplicial complexes
2.cell decompositions
3.the notion of a cw-complex
4.subcomplexes
5.cell attaching
6.why cw-complexes are more flexible
7.yes, but...?

Chapter Ⅷ construction of continuous functions on topological spaces
1.the urysohn lemma
2.the proof of the urysohn lemma
3.the tietze extension lemma
4.partitions of unity and vector bundle sections
5.paracompactness

Chapter Ⅸ covering spaces
1.topological spaces over x
2.the concept of a covering space
3.path lifting
4.introduction to the classification of covering spaces
5.fundamental group and lifting behavior
6.the classification of covering spaces
7.covering transformations and universal cover
8.the role of covering spaces in mathematics

Chapter Ⅹ the theorem of tychonoff
1.an unlikely theorem?
2.what is it good for?
3.the proof
last Chapter
set theory （by theodor br6cker）
references
table of symbols
index

前言/序言

好的，這是一本名為《幾何學的魔力：從歐幾裏得到非歐幾何的演變》的圖書簡介，重點闡述其內容，並完全避開《拓撲學》的相關主題。 --- 幾何學的魔力：從歐幾裏得到非歐幾何的演變 內容提要 《幾何學的魔力：從歐幾裏得到非歐幾何的演變》是一部深度聚焦於幾何學思想史與結構演變的專著。本書旨在係統梳理和剖析西方數學史上，特彆是自古希臘奠基者歐幾裏得之後，關於空間認知和圖形研究的根本性轉變。它不僅僅是一部數學史記述，更是一場關於“何為空間”、“如何度量”以及“公理體係的本質”的哲學思辨之旅。全書以嚴謹的學術態度和引人入勝的敘事方式，帶領讀者穿越兩韆多年的數學探索曆程，見證歐氏幾何的輝煌及其最終的挑戰者——非歐幾何的誕生。 本書的核心內容圍繞著幾何學從基於直覺和經驗的學科，發展為高度抽象和邏輯化的演繹體係的過程展開。我們將深入探討歐幾裏得《幾何原本》所建立的宏偉藍圖，特彆是其對五大公設的依賴，以及被譽為“幾何學皇冠”的第五公設（平行公設）所蘊含的深刻張力。 第一部分：歐氏體係的輝煌與基石 第一部分將首先重塑讀者對歐幾裏得幾何學的理解。我們不僅會迴顧《幾何原本》中對點、綫、麵等基本概念的清晰界定，更重要的是分析其公理化方法的革命性意義。這一部分將詳細解析前四條公設的直觀性和自洽性，展示它們如何成功地構建瞭一個完備且在人類經驗尺度上無可辯駁的幾何世界。 重點分析將放在如何通過演繹推理，從這些基礎性的假設齣發，嚴格證明齣關於三角形內角和等於 180 度、圓的性質以及相似性等一係列定理。本部分力求揭示歐氏幾何在古代科學和中世紀哲學中所占據的至高無上的地位，它不僅是數學，更是關於宇宙秩序和理性思維的典範。 第二部分：第五公設的世紀之謎 本書的第二和第三部分構成瞭其主要論點所在：對第五公設的長期探究及其最終的顛覆。第五公設，即“過直綫外一點有且隻有一條直綫與已知直綫平行”，因其錶述的復雜性和缺乏直觀的“顯然性”，自古以來就飽受質疑。 本部分將詳盡考察曆史上眾多數學傢，如普羅剋洛斯、納西爾丁·圖西、薩凱裏和約翰·沃爾夫岡·倫巴第等人，為試圖從前四條公設中推導齣第五公設所做的無數次失敗的嘗試。我們將細緻剖析薩凱裏的“假設背反法”——即假設存在與已知直綫平行的兩條直綫，並觀察由此導齣的“可疑定理”（如三角形內角和小於 180 度，或關於等腰三角形性質的奇異結論）。這種“證明的嘗試”實際上是為非歐幾何的齣現埋下瞭思想的火種。我們探討瞭這些嘗試如何暴露瞭歐氏體係的內在邏輯結構，並預示瞭超越傳統直覺的可能性。 第三部分：非歐幾何的誕生與新視野 第三部分是全書的高潮，詳細記錄瞭十九世紀兩位巨人——尼古拉·伊萬諾維奇·羅巴切夫斯基和揚·鮑耶——獨立創立雙麯幾何（羅氏幾何）以及伯恩哈德·黎曼對橢圓幾何（黎曼幾何）的係統化描述。 羅巴切夫斯基的非歐空間： 本章將深入解析羅巴切夫斯基如何大膽地替換瞭第五公設，假設“過直綫外一點有無數條平行綫”。我們將展示他是如何從這一新的公理齣發，建立起一個內部邏輯一緻、完全自洽的幾何體係，其中三角形內角和恒小於 180 度，且不再存在相似的非全等三角形。我們將分析他是如何通過“理想點”等概念來處理這種麯率負值的空間。 黎曼的廣義麯麵： 隨後，本書轉嚮黎曼對“有限而無界”空間的構想。黎曼的貢獻在於將研究對象從平麵推廣到任意彎麯的流形，引入瞭度量和麯率的概念。我們將探討在黎曼幾何中，如果所有測地綫都是封閉的（如球麵），則平行綫不復存在，三角形內角和恒大於 180 度。 本書將清晰地論證，非歐幾何的發現並非簡單的“否定歐幾裏得”，而是一次深刻的哲學和數學範式轉移：證明瞭幾何真理的有效性依賴於所選擇的公理基礎，而非先驗的直覺。 第四部分：從純數學到宇宙圖景 在最後一部分，本書將目光投嚮幾何學思想對更廣闊科學領域的影響。我們將考察非歐幾何如何從一個純粹的數學構造，轉變為描述真實物理世界的有力工具。 重點分析將放在二十世紀初，愛因斯坦的廣義相對論如何采納瞭黎曼幾何的數學框架，將引力場解釋為時空本身的彎麯。這一曆史性的結閤，證明瞭“非歐空間”並非僅是邏輯遊戲，而是我們宇宙結構的內在屬性。 本書特色 本書的敘事綫索清晰，邏輯層次分明。它不僅詳述瞭核心的數學證明和公理推導，更注重挖掘背後數學傢們的思想掙紮、哲學睏境與突破瞬間。通過對早期嘗試和最終建構的對比分析，讀者將能深刻體會到人類理性如何一步步掙脫感官經驗的束縛，從而構建齣更抽象、更具普適性的數學模型。《幾何學的魔力》是數學愛好者、物理學學生、以及對科學史和科學哲學感興趣的讀者的理想讀物。它描繪瞭一場持續瞭兩韆年的偉大思想探險，最終改變瞭我們對“空間”的根本認知。 ---