拓撲空間 [Topological Spaces: From Distance to Neighborhood] 下載 mobi epub pdf 電子書 2025

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內容簡介

《拓撲空間》是一部本科生學習拓撲空間的基礎教程。引導讀者很好的學習拓撲中有關幾何的東西什麼是最重要的。《拓撲空間》的內容分為三大部分，綫和麵、矩陣空間和拓撲空間。書中將大量的數學詞匯概念囊括其中，不要求讀者對簡單定理或者集閤知識十分瞭解，從而減少讀者理解上的難度。收斂定理的應用在幫助讀者抓住重點的同時，逐漸接觸並理解拓撲的概念，書中的知識點步步逼近，前九節重在為本科生講述矩陣空間的知識，同時也包括瞭大量的材料，這些將成為研究生學習的教程。

內頁插圖

目錄

Preface
PART Ⅰ THE LINE AND THE PLANE
Chapter 1 What Topology Is About
Topological Equivalence
Continuity and Convergence
A Few Conventions
Extra: Topological Diversions
Exercises
Chapter 2 Axioms for R
Extra: Axiom Systems
Exercises
Chapter 3 Convergent Sequences and Continuity
Subsequences
Uniform Continuity
The Plane
Extra: Bolzano （1781-1848）
Exercises
ChaPter 4 Curves in the Plane
Curves
Homeomorphic Sets
Brouwer's Theorem
Extra: L.E.J. Brouwer （1881-1966）

PART Ⅱ METRI SPACES
Chapter 5 Metrics
Extra: Camille Jordan （1838-1922）
Exercises
Chapter 6 Open and Closed Sets
Subsets of a Metric Space
Collections of Sets
Similar Metrics
Interior and Closure
The Empty Set
Extra: Cantor （1845-1918）
Exercises
Chapter 7 Completeness
Extra: Meager Sets and the Mazur Game
Exercises
Chapter 8 Uniform Convergence
Extra: Spaces of Continuous Functions
Exercises
Chapter 9 Sequential Compactness
Extra: The p-adic Numbers
Exercises
Chapter 10 Convergent Nets
Inadequacy of Sequences
Convergent Nets
-Extra: Knots
Exercises
Chapter 11 Transition to TOpology
Generalized Convergence
Topologies
Extra: The Emergence of the Professional Mathematician
Exercises

PART Ⅲ TOPOLOGICAL SPACES
Chapter 12 Topological Spaces
Extra: Map Coloring
Exercises
Chapter 13 Compactness and the Hausdorff Property
Compact Spaces
Hausdorff Spaces
Extra: Hausdorff and the Measure Problem
Exercises
Chapter 14 Products and Quotients
Product Spaces
Quotient Spaces
Extra: Surfaces
Exercises
Chapter 15 The Hahn-Tietze-Tong-Urysohn Theorems
Urysohn's Lemma
Interpolation and Extension
Extra: Nonstandard Mathematics
Exercises
Chapter 16 Connectedness
Connected Spaces
The Jordan Theorem
Extra: Continuous Deformation of Curves
Exercises
Chapter 17 Tvchonoffs Theorem
Extra: The Axiom of Choice
Exercises

PAler Ⅳ PosTsciuer
Chapter 18 A Smorgasbord for Further Study
Countability Conditions
Separation Conditions
Compactness Conditions
Compactifications
Connectivity Conditions
Extra: Dates from the History of General Topology
Exercises
Chapter 19 Countable Sets
Extra: The Continuum Hypothesis
A Farewell to the Reader
Literature
Index of Symbols
Index of Terms

前言/序言

拓撲空間 [Topological Spaces: From Distance to Neighborhood] 下載 mobi epub pdf txt 電子書 格式

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設X是拓撲空間，如果X可寫為非空開集的分離並，則X稱為連通空間；如果對X中任意兩點 ，存在X中的道路相連接，則稱X為道路連通空間 ；如果X的任意開集作成的覆蓋存在有限子覆蓋 ，則稱X為緊空間；如果X中的任意序列有收斂子列，則稱X是列緊空間 ；如果X中任意兩點都存在不相交的鄰域 ，則稱X是豪斯多夫空間（或T2空間）。上麵所提連通性，道路連通性、緊性、列緊性、T2性均是拓撲不變性。連通空間上的實值連續函數具有介值性，即若f∶X→R1連續，X是連通空間，r∈（f（x1），f（x2），則存在c∈（x1，x2）（或c∈（x2，x1）），使f（c）=r。緊空間上的實值連續函數具有最大值、最小值。緊空間上的連續函數一緻連續。若AÌRn，則A為緊，當且僅當A是有界閉集。

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空間中一條自身不相交的封閉麯綫，會發生打結現象。要問一個結能否解開（即能否變形成平放的圓圈），或者問兩個結能否互變，並且不隻做個模型試試，還要給齣證明，那就遠不是件容易的事瞭（見紐結理論）。

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什麼是麯綫？樸素的觀念是點動成綫，隨一個參數（時間）連續變化的動點所描齣的軌跡就是麯綫。可是，皮亞諾在1890年竟造齣一條這樣的“麯綫”，它填滿整個正方形！這激發瞭關於維數概念的深入探討，經過20～30年纔取得關鍵性的突破。

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③R′及空集是開集。對任一非空集閤X，若X的一個子集族J

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拓撲空間（topological space），賦予拓撲結構的集閤。如果對一個非空集閤X給予適當的結構，使之能引入微積分中的極限和連續的概念，這樣的結構就稱為拓撲，具有拓撲結構的空間稱為拓撲空間。引入拓撲結構的方法有多種，如鄰域係、開集係、閉集係、閉包係、內部係等不同方法。

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3 An Introduction to Gröbner Bases, William W. Adams, Philippe Loustaunau (1994, ISBN 978-0-8218-3804-4)

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拓撲學的需要大大刺激瞭抽象代數學的發展，並且形成瞭兩個新的代數學分支：同調代數與代數K理論。代數幾何學從50年代以來已經完全改觀。托姆的配邊理論直接促使代數簇的黎曼－羅赫定理的産生，後者又促使拓撲K 理論的産生。現代代數幾何學已完全使用上同調的語言，代數數論與代數群也在此基礎上取得許多重大成果，例如有關不定方程整數解數目估計的韋伊猜想和莫德爾猜想的證明。範疇與函子的觀念，是在概括代數拓撲的方法論時形成的。範疇論已深入數學基礎、代數幾何學等分支，對拓撲學本身也有影響。如拓撲斯的觀念大大拓廣瞭經典的拓撲空間觀念。

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