具体描述
内容简介
《数学分析（2）》介绍了数学分析的基本概念、基本理沦和方法，包括一元（多元） 函数极限理论、一元函数微积分学、级数理论和多元函数微积分学等。全书共分三册。本册内容包括不定积分、定积分、定积分应用和反常积分、数项级数、函数项级数、幂级数与Fourier级数。《数学分析（2）》在内容的安排上深入浅出，表达清楚，系统性和逻辑性强。书中列举了大量例题来说明数学分析的定义、定理及方法，并提供了丰富的思考题和习题，便于教师教学与学生自学。每章末都有小结，对该章的主要内容作了归纳和总结，并配有复习题，方便学生系统复习。《数学分析（2）》可作为高等师范院校数学各专业学生的教学用书，也可供相关专业的教师和科技工作者参考。
目录
第7章 不定积分7.1 原函数与不定积分的概念
7.1.1 原函数和不定积分的定义
7.1.2 运算性质和基本积分公式
7.2 不定积分的计算
7.2.1 换元法求不定积分
7.2.2 分部法求不定积分
7.3 有理函数的不定积分
*7.3.1 有理函数的部分分式分解
7.3.2 有理函数的不定积分
7.3.3 三角函数有理式的不定积分
7.3.4 某些无理根式的不定积分
小结
复习题
第8章 定积分
8.1 定积分的概念与性质
8.1.1 引例与定义
8.1.2 定积分的性质
8.2 微积分基本定理
8.2.1 变上限积分的定义与性质
8.2.2 微积分基本定理
8.3 定积分的计算
8.3.1 换元法求定积分
8.3.2 分部法求定积分
8.4 定积分存在的条件
8.4.1 达布和的定义
*8.4.2 上和与下和的性质
8.4.3 可积的充要条件
8.4.4 可积函数类
8.5 积分中值定理
8.5.1 积分第一中值定理
*8.5.2 积分第二中值定理
小结
复习题
第9章 定积分应用和反常积分
9.1 定积分应用的两种常用格式
9.2 平面图形的面积
9.2.1 直角坐标情形
9.2.2 参数方程情形
9.2.3 极坐标情形
9.3 由平行截面面积求体积
9.3.1 由平行截面面积计算体积
9.3.2 旋转体体积
9.4 平面曲线的弧长
9.4.1 平面曲线弧长的概念
9.4.2 平面曲线弧长的计算
9.5 旋转曲面的面积
9.5.1 旋转曲面面积的概念
9.5.2 旋转曲面面积的计算
*9.6 定积分在某些物理问题中的应用
9.6.1 变力做功
9.6.2 压力
9.6.3 力矩与重心
9.7 反常积分的概念与基本性质
9.7.1 反常积分的概念与统一定义
9.7.2 反常积分的基本性质
9.8 反常积分的敛散性
9.8.1 反常积分的Cauchy收敛准则
9.8.2 反常积分的绝对收敛与条件收敛
9.8.3 反常积分的比较判别法
9.8.4 Dirichlet判别法与Abel判别法
小结
复习题
第10章 数项级数
10.1 数项级数的概念与性质
10.1.1 数项级数的概念
10.1.2 级数的Cauchy收敛准则
10.1.3 级数的基本性质
10.2 正项级数
10.2.1 正项级数收敛性的一般判别法
10.2.2 根值法与比值法
*10.2.3 其他判别法
10.3 一般项级数
10.3.1 绝对收敛与条件收敛
10.3.2 交错级数
10.3.3 Dirichlet判别法和Abel判别法
*10.4 绝对收敛级数与条件收敛级数的性质
10.4.1 收敛级数的可结合性
10.4.2 收敛级数的重排
10.4.3 级数的乘积
小结
复习题
第11章 函数项级数
11.1 函数列一致收敛的概念与判定
11.1.1 逐点收敛与一致收敛的概念
11.1.2 函数列一致收敛的判定
11.2 一致收敛函数列的性质
11.3 函数项级数一致收敛的概念及其判定
11.3.1 函数项级数一致收敛的概念
11.3.2 一致收敛的判别法
11.4 和函数的分析性质
*11.5 处处不可微的连续函数
小结
复习题
第12章 幂级数与Fourier级数
12.1 幂级数的收敛域与和函数
12.1.1 幂级数的定义和收敛域
12.1.2 幂级数和函数的分析性质
12.1.3 幂级数的运算
12.2 函数的幂级数展开
12.2.1 Taylor级数与余项公式
12.2.2 几个常用的初等函数的幂级数展开
12.3 三角级数与Fourier级数
12.3.1 三角级数的概念
12.3.2 以2π为周期的函数的Fourier级数
12.3.3 以21为周期的函数的Fourier级数
12.3.4 任意区间[a，b]上的Fourier级数
12.4 Fourier级数的收敛性
12.4.1 Fourier级数的收敛判别法
*12.4.2 Dirichlet积分
*12.4.3 Riemann引理与Fourier级数收敛判别法的证明
*12.4.4 Fourier级数的分析性质
*12.4.5 Fourier级数的平方平均收敛
小结
复习题
习题答案或提示
参考文献
附录 不定积分表
索引
前言/序言
数学分析是数学各专业的学科基础课，其重要性不言而喻，我们根据多年的教学经验，在吸取一些现有教材优点的基础上，编写了本书。现有的各种数学分析教材都有其优点和缺点，本书力求在可读性、系统性和逻辑性上能具有特色，并将分层教学的理念贯穿全书。
首先，在可读性方面，对于重要概念只给一种定义形式，其他的等价定义一般放在思考题或习题中，例如，对数列极限，本书只引入了ε-N定义，目的是希望学生能吃透这个概念；数列极限的另一个等价定义放在习题中，方便基础较好的学生学习，对定理的证明，尽量采用朴素的方法进行，对书中的例题，表达尽量详细，让学生容易自学，对某些定理采取先用后证的方法讲述，例如，在第7章，先给出区间上的连续函数必定存在原函数这个结论，这样就可以介绍求不定积分的各种方法；在第8章，先给出闭区间［a，b］上的连续函数必定在［a，b］上可积这个结论，这样可以使定积分的计算提前，然后在第8章后面再证明这两个存在性定理。
其次，在系统性方面，将关系较密切的内容放在一起，例如，将发散数列和子列的概念放在同一节，将判别数列收敛的各种方法放在同一节，将定积分的应用与反常积分放在同一章，将各种情况下的Fourier级数和Fourier级数展开放在同一节，将第一型曲线积分、曲面积分和第二型曲线积分、曲面积分放在同一章，将各种积分之间的关系放在同一章等，另外，有理函数分解为部分分式的理论，国内的数学分析教材几乎都将其证明归到高等代数课程中，而高等代数教材也不写这部分内容，为了弥补这一缺陷，在本书的第7章中，将给出有理函数分解为部分分式理论的详细证明，方便教师教学与学生自学。
再次，在逻辑性方面，考虑到可读性的同时，尽量在给出定理的同时也完成对定理的证明，例如，将致密性定理放在第1章，这样数列的柯西收敛准则在第1章就可以证明，使得第1章对数列有较完整的处理；然后在第3章就可以完成闭区间上连续函数性质的证明；第6章就只需讲区间套定理、有限覆盖定理及其应用等，这样难点也分散了，在导数与微分部分，先讲微分，后讲导数，强调微分的作用，这样在后面讲定积分的微元法时，我们将给出微元法的理论依据。
用户评价
Halmos，Finite-Dimensional Vector Spaces。（这本书是西方世界最早的两本线性代数教材之一，是不是世界上最早的不得而知，因为俄罗斯数学大师Gelfand写的线性代数和他是同年出版。虽然现在线性代数一门很基本的课程，所有的专业都要学，但是40年代以前，数学系的课程表上是找不到线性代数这门课的，只有“方程式论”或者“高等代数”，主要是讲多项式理论和高次方程的解法之类，行列式和矩阵也是讲的，但是一般不讲线性变换、线性空间什么的。出现这本课程，很大程度上得益于泛函分析和抽象代数的出现，还有量子力学的推动。泛函分析里面的很多概念都可以看做是线性代数的进一步发展，比如线性算子、Hilbert空间等等，Halmos写这本书的目的就很明确，是要帮助学生学习泛函分析。这本书顾名思义，完全是讲线性空间为纲，我觉得这本书最大的好处就是线索清晰，非常几何化，而且篇幅很小，对代数和分析的结合比较强调，里面一些内容在现在的线性代数书里找不到，比如说里面从线性代数的角度讲了遍历理论的一些基本的内容。）
评分2，导数的先验估计、调和函数的解析性、解析延拓定理、Liouville定理、Phragmen-Lindelof定理。
评分10，Laplace方程的基本解、调和函数、广义调和函数、Green公式、热流定理、球面平均值定理、极值原理、Hopf-Oleinik定理、Laplace方程的Dirichlet问题解的唯一性、Dirichlet原理。
评分5，球面平均法、Kirchhoff公式、Poisson公式、d'Aleert公式、降维法、波动方程Cauchy问题解的稳定性、波的弥散、依赖集合、Duhamel原理、波动方程的边值问题与混合问题、Goursat问题。
评分3，特征流形、特征方程、Holmgren定理、Carleman定理、化二阶线性偏微分方程为标准型。
评分6，波动方程混合问题解的唯一性、波动方程混合问题解的稳定性、Holder不等式、Friedrichs不等式。
评分5，双层势的间断、双层势的法向导数的间断、一维波动方程的分离变量法。
评分12，将Sturm-Liouville问题归结为积分算子本征函数问题、双曲方程混合问题解的存在性、Laplace方程第一边值问题的Green函数、Green函数的对称性、Poisson公式、Harnack不等式。
评分8，光滑函数的局部逼近定理、光滑函数的大范围逼近定理、延拓定理、Sobolev空间中函数的迹、迹定理、零迹函数定理、H_0^1{Omega}空间上的函数的迹的连续依赖性。Gagliardo-Nirenberg—Sobolev 不等式。
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