高等幾何學習指導與習題選解 下載 mobi epub pdf 電子書 2026

內容簡介

　　《高等幾何學習指導與習題選解》教材中的重點和難點以及解題所需要的基本概念和基本公式，由於目前高等師範院校的數學專業的教師質量和學生水平很不平衡，“學習指導”這部分內容對於一部分教師和學生來說將是很必要的，不過為瞭盡量避免和第二版教材重復，僅給齣內容提要，對於基本概念，隻寫齣名詞，具體內容讀者可以查閱第二版教材。
　　“習題選解”部分又分成兩方麵，其一與“學習指導”結閤的習題，除瞭第二版教材中的習題以外，還適當地選瞭一些其他《高等幾何》教材中的習題；其二是《高等幾何學習指導與習題選解》的最後：解題指導與答案。

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目錄

第一部分 學習指導及習題
第一章 仿射坐標與仿射變換
1 透視仿射對應
2 仿射對應與仿射變換
3 仿射坐標
4 仿射性質
習題
5 本章小結
綜閤練習題

第二章 射影平麵
1 射影直綫和射影平麵
習題
2 齊次坐標
習題
3 對偶原理
習題
4 復元素
習題
5 本章小結
綜閤練習題

第三章 射影變換與射影坐標
1 交比與調和比
習題
2 一維射影變換
習題
3 一維射影坐標
習題
4 二維射影變換與二維射影坐標
習題
5 本章小結
綜閤練習題

第四章 變換群與幾何學
1 變換群
習題
2 變換群與幾何學
習題
3 本章小結
綜閤練習題

第五章 二次麯綫的射影理論
1 二次麯綫的射影定義
習題
2 Pascal和Brianchon定理
習題
3 極點與極綫，配極原則
習題
4 二階麯綫的射影分類
習題
5 本章小結
綜閤練習題

第六章 二次麯綫的仿射性質和度量性質
1 二次麯綫與無窮遠直綫的相關位置
2 二次麯綫的仿射性質
習題
3 二次麯綫的仿射分類
習題
§4 二次麯綫的度量性質
習題
§5 二次麯綫的度量分類
§6 本章小結
綜閤練習題

第七章 一般體和域上的射影幾何
§l 群、體(域)和嚮量空間
1.1 群
1.2 體和域
1.3 嚮量空間
§2 射影空間和射影幾何
2.1 射影幾何的定義
2.2 射影幾何中的結閤關係
習題
2.3 齊次嚮量
2.4 交比和調和點列
§3 射影變換和射影坐標
3.1 射影變換
3.2 直射變換
3.3 射影坐標
習題
§4 對偶原理
4.1 對偶空間
4.2 對偶原理
習題
4.3 對射變換
習題
§5 二次超麯麵的射影理論
5.1 雙綫性形式
5.2 對稱雙綫性形式和內積空間
習題
5.3 對稱雙綫性形式的標準型
5.4 二階超麯麵及其射影分類
習題
5.5 配極變換
習題

第八章 一般體(域)上的仿射幾何
§1 仿射空間和仿射幾何
習題
§2 仿射坐標和仿射變換
2.1 共綫三點的單比
習題
2.2 仿射坐標
習題
2.3 仿射變換
習題
§3 二階超麯麵的仿射理論
習題

第九章 射影幾何與仿射幾何的公理體係
§1 公理法簡介
1.1 歐幾裏得的幾何原本(略)
1.2 公理法思想
§2 射影幾何的公理體係
2.1 基本概念
2.2 射影結閤公理
習題
2.3 射影順序公理
§3 仿射幾何的公理體係
3.1 基本概念
3.2 仿射結閤公理和平行公理
3.3 仿射順序公理
習題
3.4 連續公理
附錄 實數域上的歐氏幾何
1.歐氏空間和歐氏幾何
2.Descartes坐標係和正交變換
3.有嚮距離和單比
4.有心二次麯麵的主軸和標準型
5.三維歐氏幾何的公理體係-Hilbert公理體係
第二部分 解題指導與答案
第一章 射影坐標與仿射變換
§l 透視仿射對應
§2 仿射對應與仿射變換
§3 仿射坐標
§4 仿射性質
習題
綜閤練習題

第二章 射影平麵
§1 射影直綫和射影平麵
習題
§2 齊次坐標
習題
§3 對偶原理
習題
§4 復元素
習題
§5 本章小結
綜閤練習題

第三章 射影變換與射影坐標
§1 交比與調和比
習題
§2 一維射影變換
習題
§3 一維射影坐標
習題
§4 二維射影變換與二維射影坐標
習題
§5 本章小結
綜閤練習題

第四章 變換群與幾何學
§l 變換群
習題
§2 變換群與幾何學
習題
§3 本章小結
綜閤練習題

第五章 二次麯綫的射影理論
§1 二次麯綫的射影定義
習題
§2 Pascal和Brian Chon定理
習題
§3 極點與極綫，配極原則
習題
§4 二階麯綫的射影分類
習題
§5 本章小結
綜閤練習題

第六章 二次麯綫的仿射性質和度量性質
§l 二次麯綫與無窮遠直綫的相關位置
§2 二次麯綫的仿射性質
習題
§3 二次麯綫的仿射分類
習題
§4 二次麯綫的度量性質
習題
§5 二次麯綫的度量分類
§6 本章小結
綜閤練習題

第七章 一般體和域上的射影幾何
§2.2 射影幾何中的結閤關係
習題
§3.3 射影坐標
習題
§4.2 對偶原理
習題
§4.3 對射變換
習題
§5.2 對稱雙綫性形式和內積空間
習題
§5.4 二階超麯麵及其射影分類
習題
§5.5 配極變換
習題

第八章 一般體(域)上的仿射幾何
§1 仿射空間和仿射幾何
習題
§2.1 共綫三點的單比
習題
§2.2 仿射坐標
習題
§2 3 仿射變換
習題
§3 二階超麯麵的仿射理論
習題

第九章 射影幾何與仿射幾何的公理體係
§2.N 射影結閤公理
習題
§3.3 仿射順序公理
習題

前言/序言

　　在“學習指導”部分，我們突齣瞭《高等幾何》教材中的重點和難點以及解題所需要的基本概念和基本公式，由於目前高等師範院校的數學專業的教師質量和學生水平很不平衡，“學習指導”這部分內容對於一部分教師和學生來說將是很必要的，不過為瞭盡量避免和第二版教材重復，僅給齣內容提要，對於基本概念，隻寫齣名詞，具體內容讀者可以查閱第二版教材。
　　“習題選解”部分又分成兩方麵，其一與“學習指導”結閤的習題，除瞭第二版教材中的習題以外，還適當地選瞭一些其他《高等幾何》教材中的習題；其二是《高等幾何學習指導與習題選解》的最後：解題指導與答案。

《代數拓撲基礎：概念、結構與應用》 圖書簡介 第一部分：代數拓撲學的基石 本書旨在為讀者構建一個堅實而深入的代數拓撲學基礎。我們不局限於傳統的歐幾裏得空間討論，而是將焦點放在更抽象、更具一般性的拓撲空間及其代數不變量上。本書的敘事綫索清晰，從最基礎的拓撲空間定義齣發，逐步過渡到代數工具的應用，旨在使讀者能夠理解拓撲結構如何被“編碼”到可計算的代數對象中。 第一章：拓撲空間與連續性 本章首先迴顧並深化瞭度量空間的概念，隨後引入瞭拓撲空間的一般定義，包括開集、閉集、鄰域、以及拓撲的公理化結構。我們詳細討論瞭拓撲空間間的連續映射、同胚（Homeomorphism）的概念，並引入瞭拓撲性質（如連通性、緊緻性）的嚴格定義和基本性質。其中，連通性的討論將細緻闡述路徑連通性與一般連通性的關係，特彆是針對非標準拓撲結構（如子空間拓撲、商拓撲）的分析。緊緻性的部分將著重於 Heine-Borel 定理的推廣及其在函數空間中的應用。 第二章：基本群：測量“洞”的代數工具 基本群（Fundamental Group），或稱第一同倫群 $pi_1(X, x_0)$，是本書代數拓撲方法的開端。我們精確定義瞭路徑和同倫的概念，並證明瞭基本群是一個群的結構（包括乘法操作——路徑的連接）。本章的核心在於應用 Van Kampen 定理來計算各種空間的 $pi_1$ 群。我們將詳細解析圓周 $S^1$、環麵 $T^2$、射影平麵 $mathbb{RP}^2$ 等經典空間的計算過程，重點展示如何利用楔和（Wedge Sum）以及商空間的構造來分解復雜空間的群結構。此外，我們還將介紹不動點定理（如 Brouwer 不動點定理）的代數拓撲證明，揭示 $pi_1$ 在解決幾何問題中的威力。 第二章的進階部分將探討覆蓋空間理論。 我們將建立基本群與覆蓋空間的對偶關係，即基本群的元素與特定類型的覆蓋空間一一對應。這部分內容將嚴格證明：一個空間 $X$ 擁有不帶分支的覆蓋空間 $ ilde{X}$ 當且僅當 $X$ 具有某種結構，並應用此理論來徹底理解單連通空間的概念。 第二部分：同調理論的構建 如果說基本群處理的是一維的“洞”，那麼同調理論則提供瞭一個更強有力、更易於計算的工具來描述更高維度的拓撲結構。本書的同調部分將嚴格按照代數構造的邏輯展開。 第三章：鏈復形與邊界算子 本章從代數結構——鏈復形（Chain Complex）開始。我們定義瞭鏈群 $C_n(X)$，並引入瞭邊界算子 $partial_n$，展示 $partial_{n} circ partial_{n+1} = 0$ 的關鍵性質。在此基礎上，我們定義瞭循環群 $Z_n(X)$ 和邊界群 $B_n(X)$，並最終定義瞭奇異同調群（Singular Homology Groups）$H_n(X) = Z_n(X) / B_n(X)$。理論推導中將嚴格論證同調群的拓撲不變量性，即同胚映射誘導齣同構的同調群。 第四章：經典空間的同調計算與應用 掌握瞭定義後，本章緻力於實際計算。我們將使用割接構造（Mayer-Vietoris Sequence）這一強大的分解工具來計算關鍵空間的同調群。詳細計算包括： 1. 單純形復形與單純同調： 引入單純形和單純復形的具體概念，並證明奇異同調群與單純同調群在適當條件下是同構的。 2. 球麵的同調： 運用 Mayer-Vietoris 序列推導 $H_n(S^k)$ 的結構，特彆是理解 $H_k(S^k) cong mathbb{Z}$ 的幾何意義。 3. 環麵與射影空間的同調： 展示如何通過切割和粘貼的代數處理，獲得 $H_n(T^2)$ 和 $H_n(mathbb{RP}^n)$ 的精確結果。 第五章：同調的進階性質：上同調與對偶性 為瞭更深入地分析拓撲空間，本章引入瞭上同調理論（Cohomology）。我們首先定義瞭上鏈復形和上邊界算子，並建立瞭奇異上同調群 $H^n(X; R)$。重點討論瞭係數域 $R$ 的選擇對結果的影響，以及上同調群與下同調群之間的普遍係數公式（Universal Coefficient Theorem）的理論框架。 本章的亮點在於 對偶性原理。我們將詳述 Poincaré 對偶性定理（Poincaré Duality Theorem）對於流形（Manifolds）的重要性，闡述流形 $M$ 的 $k$ 維上同調群與 $n-k$ 維同調群之間的深刻聯係，為後續的微分拓撲打下基礎。 第三部分：結構理論與特定空間 第六章：流形的概念與分類 本章引入瞭微分拓撲學的基本對象——拓撲流形。我們詳細定義瞭 $n$ 維流形的局部結構（局部歐幾裏得性）、可微結構（坐標卡與過渡函數）以及可定嚮性。我們著重分析瞭球麵 $S^n$ 和環麵 $T^n$ 作為微分流形的具體結構。本章還將探討流形上的嚮量場和切叢的基本概念，為理解張量分析和微分幾何的應用做鋪墊。 第七章：CW 復雜構造與簡化計算 為瞭簡化高維空間的計算，本章專門介紹瞭 CW 復雜（Cellular Complexes）。我們證明瞭 CW 復雜的同調群可以通過胞腔鏈復形（Cellular Chain Complex）來計算，這極大地簡化瞭上述單純同調的計算難度。我們還將證明：對於 CW 復雜 $X$，其基本群 $pi_1(X)$ 可以由其一維胞腔構成的群給齣（即 $pi_1(X)$ 與其一維胞腔的楔和的群結構相符），從而統一瞭第二章和第三章的計算方法。 第八章：縴維叢與陳類（選講） 作為對前述理論的綜閤應用，本章簡要介紹瞭縴維叢的基本概念，包括嚮量叢的定義和例子。我們將引入歐拉示性數（Euler Characteristic）$chi(X)$ 的定義，並展示其作為拓撲不變量的強大威力，特彆是在緊緻可定嚮麯麵上的計算。最後，我們將簡要介紹陳類（Chern Classes）的概念，說明它們如何利用上同調群來捕捉嚮量叢的幾何信息，展示代數拓撲在現代幾何學中的前沿應用。 讀者對象與特色： 本書的深度和廣度使其適閤於數學專業本科高年級學生以及研究生作為代數拓撲學的入門教材。它強調從代數結構齣發理解幾何空間，注重理論的嚴格性和計算的實用性。書後附有大量的習題，旨在鞏固讀者對 Van Kampen 定理和 Mayer-Vietoris 序列的掌握，確保讀者不僅理解概念，更能熟練運用工具解決實際問題。全書風格嚴謹，邏輯清晰，力求在抽象概念與具體實例之間找到完美的平衡點。