　　《大學高等代數課程創新教材：高等代數（上冊）》是由全國首屆高等學校國傢教學名師傾力打造，內容精華：重基礎，講想法，理論深刻，典型例題：例題多，題型廣，分析透徹，應用小天地：提升能力，開拓視野，用心閱讀此書，有助於您在高等代數理論上和科學思維能力上都達到相當的高度！

　　本套書作為大學高等代數課程創新教材，是作者從事教學、科研工作40年的經驗和心得的結晶，也是作者在北京大學進行高等代數課程建設和教學改革的成果。

　　《大學高等代數課程創新教材：高等

內容簡介

　　《大學高等代數課程創新教材：高等代數（上冊）》作為大學“高等代數”課程的創新教材，是國傢優秀教學團隊（北京大學基礎數學教學團隊）課程建設的組成部分，是國傢教學名師多年來進行高等代數課程建設和教學改革的成果。

　　本套書以講述綫性空間和多項式環的結構及其態射為主綫，遵循高等代數知識的內在規律和學生的認知規律安排內容體係，按照數學思維方式編寫，著重培養數學思維能力。上冊內容包括：綫性方程組，行列式，n維嚮空間Kn，矩陣的運算，歐幾裏得空間Rn，矩陣的相抵、相似，以及矩陣的閤同與二次型。下冊內容包括：多項式環，綫性空間，綫性映射，具有度量的綫性空間（歐幾裏得空間、酉空間、正交空間和辛空間），環、域和群的概念及重要例子，多重綫性代數。

　　《大學高等代數課程創新教材：高等代數（上冊）》中每節均包括內容精華、典型例題、習題，章末有補充題，還特彆設置瞭“應用小天地”闆塊。《大學高等代數課程創新教材：高等代數（上冊）》內容豐富、全麵、深刻，闡述清晰、詳盡、嚴謹，可以幫助讀者在高等代數理論上和科學思維能力上都達到相當的高度。《大學高等代數課程創新教材：高等代數（上冊）》適閤用作綜閤大學、高等師範院校和理工科大學的“高等代數”課程的教材，還可作為“高等代數”或“綫性代數”課程的教學參考書，也是數學教師和科研工作者高質量的參考書。

作者簡介

　　丘維聲，北京大學數學科學學院教授，博士生導師，全國首屆高等學校國傢級教學名師，美國數學會Mathematical Reviews評論員，中國數學會組閤數學與圖論專業委員會首屆常務理事，國傢教委高等學校數學與力學教學指導委員會（第一二屆）成員，中國高等教育學會教育數學專業委員會副理事長，《數學通報》副主編。

　　長期從事高等代數、解析幾何、抽象代數、綫性代數、群錶示論、數學的思維方式與創新等課程的教學工作（主持的”高等代數及習題”課程曾被評為北京大學優秀主乾基礎課），從事代數組閤論、群錶示論、編碼和密碼的研究，發錶學術論文46篇。承擔國傢自然科學基金重點項目2項，主持國傢自然科學基金麵上項目3項。齣版著作36部，譯著6部，發錶教學改革論文22篇。

內頁插圖

引言高等代數的內容和學習方法

第1章綫性方程組的解法

1.1 解綫性方程組的矩陣消元法

1.1.1 內容精華

1.1.2 典型例題

習題1.1

1.2 綫性方程組的解的情況及其判彆準則

1.2.1 內容精華

1.2.2 典型例題

習題1.2

1.3 數域

1.3.1 內容精華

1.3.2 典型例題

習題1.3

補充題一

應用小天地：配製食品模型

第2章行列式

2.1 n元排列

2.1.1 內容精華

2.1.2 典型例題

習題2.1

2.2 n階行列式的定義

2.2.1 內容精華

2.2.2 典型例題

習題2.2

2.3 行列式的性質

2.3.1 內容精華

2.3.2 典型例題

習題2.3

2.4 行列式按一行（列）展開

2.4.1 內容精華

2.4.2 典型例題

習題2.4

2.5 剋萊姆（Cramer）法則

2.5.1 內容精華

2.5.2 典型例題

習題2.5

2.6 行列式按k行（列）展開

2.6.1 內容精華

2.6.2 典型例題

習題2.6

補充題二

應用小天地：行列式的應用舉例

第3章綫性方程組的解集的結構

3.1 n維嚮量空間K n

3.1.1 內容精華

3.1.2 典型例題

習題3.1

3.2 綫性相關與綫性無關的嚮量組

3.2.1 內容精華

3.2.2 典型例題

習題3.2

3.3 嚮量組的秩

3.3.1 內容精華

3.3.2 典型例題

習題3.3

3.4 子空間的基與維數

3.4.1 內容精華

3.4.2 典型例題

習題3.4

3.5 矩陣的秩

3.5.1 內容精華

3.5.2 典型例題

習題3.5

3.6 綫性方程組有解的充分必要條件

3.6.1 內容精華

3.6.2 典型例題

習題3.6

3.7 齊次綫性方程組的解集的結構

3.7.1 內容精華

3.7.2 典型例題

習題3.7

3.8 非齊次綫性方程組的解集的結構

3.8.1 內容精華

3.8.2 典型例題

習題3.8

補充題三

應用小天地：綫性方程組在幾何中的應用

第4章矩陣的運算

4.1 矩陣的運算

4.1.1 內容精華

4.1.2 典型例題

習題4.1

4.2 特殊矩陣

4.2.1 內容精華

4.2.2 典型例題

習題4.2

4.3 矩陣乘積的秩與行列式

4.3.1 內容精華

4.3.2 典型例題

習題4.3

4.4 可逆矩陣

4.4.1 內容精華

4.4.2 典型例題

習題4.4

4.5 矩陣的分塊

4.5.1 內容精華

4.5.2 典型例題

習題4.5

4.6 正交矩陣·歐幾裏得空間Rn

4.6.1 內容精華

4.6.2 典型例題

習題4.6

4.7 Kn到Ks的綫性映射

4.7.1 內容精華

4.7.2 典型例題

習題4.7

補充題四

應用小天地：區組設計的關聯矩陣

第5章矩陣的相抵與相似

5.1 等價關係與集閤的劃分

5.1.1 內容精華

5.1.2 典型例題

習題5.1

5.2 矩陣的相抵

5.2.1 內容精華

5.2.2 典型例題

習題5.2

5.3 廣義逆矩陣

5.3.1 內容精華

5.3.2 典型例題

習題5.3

5.4 矩陣的相似

5.4.1 內容精華

5.4.2 典型例題

習題5.4

5.5 矩陣的特徵值和特徵嚮量

5.5.1 內容精華

5.5.2 典型例題

習題5.5

5.6 矩陣可對角化的條件

5.6.1 內容精華

5.6.2 典型例題

習題5.6

5.7 實對稱矩陣的對角化

5.7.1 內容精華

5.7.2 典型例題

習題5.7

補充題五

應用小天地：矩陣的特徵值在實際問題中的應用

第6章二次型·矩陣的閤同

6.1 二次型及其標準形

6.1.1 內容精華

6.1.2 典型例題

習題6.1

6.2 實二次型的規範形

6.2.1 內容精華

6.2.2 典型例題

習題6.2

6.3 正定二次型與正定矩陣

6.3.1 內容精華

6.3.2 典型例題

習題6.3

補充題六

應用小天地：二次麯麵的類型

習題答案與提示

第1章綫性方程組的解法

第2章行列式

第3章綫性方程組的解集的結構

第4章矩陣的運算

第5章矩陣的相抵與相似

第6章二次型·矩陣的閤同

參考文獻

作者主要著譯作品

前言/序言

　　高等代數是大學數學科學學院（或數學係，應用數學係）最主要的基礎課程之一。本套教材是作者在北京大學進行高等代數課程建設和教學改革的成果，它具有下述鮮明特色。1.明確主綫：以研究綫性空間和多項式環的結構及其態射（綫性映射，多項式環的通用性質）為主綫。自從1832年伽羅瓦（Galois）利用一元高次方程的根的置換群給齣瞭方程有求根公式的充分必要條件之後，代數學的研究對象發生瞭根本性的轉變。研究各種代數係統的結構及其態射（即保持運算的映射）成為現代代數學研究的中心問題。

　　20世紀，代數學研究結構及其態射的觀點已經滲透到現代數學的各個分支中。因此，在高等代數課程的教學中貫穿研究綫性空間和多項式環的結構及其態射這條主綫，就是把握住瞭代數學的精髓。本套教材上冊的第1，2，3章研究綫性方程組的解法、解的情況的判彆和解集的結構時，貫穿瞭研究數域K上n維嚮量空間Kn及其子空間的結構這條主綫。綫性方程組是數學中最基礎、最有用的知識，0維嚮量空間Kn是n維綫性空間的一個具體模型，n元齊次綫性方程組的解空間的維數公式本質上是綫性映射的核與值域的維數公式。因此把綫性方程組和n維嚮量空間K作為高等代數課程的開始部分的內容，既符閤學生的認知規律，又是高等代數知識的內在規律的體現。上冊的第4，5，6章研究矩陣的運算，矩陣的相抵、相似、閤同關係及與它們有關的矩陣的特徵值和特徵嚮量、二次型。研究矩陣的運算為研究綫性映射打下瞭基礎。矩陣的相抵關係在解決有關矩陣的秩的問題中起著重要作用，而矩陣的秩本質上是相應的綫性映射的值域的維數。研究矩陣的相似標準形本質上是研究綫性變換在一個閤適的基下的矩陣具有最簡單的形式。

　　研究對稱矩陣的閤同標準形與研究二次型的化簡密切相關，而二次型與綫性空間v上的雙綫性函數有密切聯係。本套教材下冊的第7章研究一元和n元多項式環的結構及其態射（多項式環的通用性質），第8章研究綫性空間的結構，第9章研究綫性映射，第10章研究具有度量的綫性空間的結構及與度量有關的綫性變換。第11章研究多重綫性代數時，基礎概念是多重綫性映射，主要工具是綫性空間的張量積。
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